PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.(2016·蚌埠高二檢測)已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，則b與平面α的位置關系是()A.b?平面αB.b⊥平面αC.b∥平面αD.b與平面α相交，或b∥平面α【解析】選D.直線a顯然不可能在平面α內，平行與相交都有可能，故選D.2.下列敘述中，正確的是()A.四邊形是平面圖形B.有三個公共點的兩個平面重合C.兩兩相交的三條直線必在同一個平面內D.三角形必是平面圖形【解析】選D.A中四邊形可以是空間四邊形；B中兩個相交平面的交線上有無數個公共點；C中若三條直線有一個公共點，可得三條直線不一定在一個平面內，故A，B，C不正確，D正確.3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【解題指南】根據線、面垂直的定義判斷.【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因為n⊥β,所以n⊥l.4.(2016·銀川高一檢測)空間四邊形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，則AC與BD所成角為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.取AC中點E，連接BE，DE，因為AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A.C1D1⊥B1C B.BD1C.BD1∥B1C D.∠ACB1【解析】選C.因為C1D1⊥平面B1C，B1C?平面B所以C1D1⊥B1C所以A選項正確；由于AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，B選項正確；因為三角形AB1C所以∠ACB1=60°，即D選項正確.由于BD1與B1C6.(2016·鞍山高一檢測)設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A.若l⊥α，α⊥β，則l?βB.若l∥α，α∥β，則l?βC.若l⊥α，α∥β，則l⊥βD.若l∥α，α⊥β，則l⊥β【解析】選C.若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A不正確；若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故B不正確；若l⊥α，α∥β，則l⊥β，故C正確；若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β或l∥β，故D不正確.7.(2016·衡水高二檢測)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點，給出下列結論①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選D.①因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因為BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因為M為A1B1的中點，所以C1M⊥A1B1，因為平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正確；②由①知，C1M⊥A1B，又因為AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因為M，N分別是A1B1，AB的中點，所以ANB1M是平行四邊形，所以AM∥NB1，因為A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正確；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因為A18.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF=QUOTE，則下列結論中錯誤的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等【解析】選D.A.由題意及圖形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命題正確，不符合題意；B.EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A1B1C1D1故有EF∥平面ABCD，此命題正確，不符合題意；C.三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B的距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確，不符合題意；D.由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積相等不正確，故D是錯誤的.9.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°【解析】選D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；連接AC，易證BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可證AC1⊥B1C，因為BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；對于選項D，因為BC∥AD，所以∠B1CB即為AD與CB1所成的角，此角為45°，故D錯10.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為QUOTE，其余各棱長都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為AC=QUOTE，其余各棱長均為1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中點分別為E，F，連接EF，BF，BE，則EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=QUOTEAD=QUOTE，BF=QUOTEAC=QUOTE，BE⊥CD，且BE=QUOTE，所以∠FEB為二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF為直角三角形，所以cos∠FEB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.11.(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1AA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.如圖所示:因為α∥平面CB1D1,所以若設平面CB1D1∩平面ABCD=m1,則m1∥m.又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1結合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小與B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均為面對角線),因此∠CD1B1=QUOTE,即sin∠CD1B1=QUOTE.12.一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖如圖，M，N分別為A1B，B1C1下列結論中正確的個數有()①直線MN與A1C②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1④三棱錐N-A1BC的體積為QUOTE=QUOTEa3.A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體是底面為等腰直角三角形且側棱與底面垂直的三棱柱.取邊BC中點E，連ME，NE，則ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直線MN與A1C相交錯誤，故③正確，①錯誤.因為三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且側棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正確.QUOTE=QUOTE=QUOTE×a×QUOTE×a×a=QUOTEa3，故④正確.所以②③④正確.二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C①直線AM與直線C1C相交②直線AM與直線DD1異面；③直線AM與直線BN平行；④直線BN與直線MB1異面.其中正確結論的序號為________(填入所有正確結論的序號).【解析】由異面直線判定定理知：①直線AM與直線CC1異面；②直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面，因為直線BN與直線AE平行(E為DD1的中點)，所以③直線AM與直線BN異面.答案：②④14.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點有兩個時，a的取值范圍是________.【解析】由題意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE=P，所以DE⊥面PAE，所以DE⊥AE.易證△ABE∽△ECD.設BE=x，則QUOTE=QUOTE，即QUOTE=QUOTE.所以x2-ax+9=0，由Δ>0，解得a>6.答案：a>615.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，點M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的即可).【解題指南】可以證明BD⊥PC，因此只需確定M的位置，使BM⊥PC即可.(DM⊥PC也可).【解析】因為四邊形ABCD的邊長相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中兩條相交直線，所以當BM⊥PC時，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.答案：BM⊥PC(其他合理即可)16.(2016·成都高二檢測)如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB=QUOTEBC，將△ABE沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：①AB與DE所成角的正切值是QUOTE；②AB∥CE；③VB-ACE的體積是QUOTEa2；④平面ABC⊥平面ADC；⑤直線EA與平面ADB所成角為30°.其中正確的有________.(填寫你認為正確的序號)【解析】由題意，AB=QUOTEBC，AE=QUOTEa，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=QUOTEa，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其補角)為AB與DE所成角.因為AB=QUOTEa，BC=a，AC=QUOTEa，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=QUOTE，故①正確；②由圖象可知AB與CE是異面直線，故②錯誤.③VB-ACE的體積是QUOTES△BCE×AD=QUOTE×QUOTEa3=QUOTEa3，故③錯誤；④因為AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，所以AD⊥BC，因為BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC，因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正確；⑤連接CE交BD于F，則EF⊥BD，因為平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，連接AF，則∠AFE為直線AE與平面ABD所成角，在△AFE中，EF=QUOTEa，AE=QUOTEa，所以sin∠EAF=QUOTE=QUOTE，則∠EAF=30°，故⑤正確.答案：①④⑤三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別為D1C1，C1B1AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：(1)D，B，E，F四點共面.(2)若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，【證明】(1)連接B1D1.因為E，F分別為D1C1，C1B1的中點，所以EF∥B1D1，又因為B1D1所以EF∥BD，所以EF與BD共面，所以E，F，B，D四點共面.(2)因為AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1同理，Q∈平面AA1C1因為A1C所以R∈平面AA1C1所以P，Q，R三點共線.18.(12分)(2016·菏澤高一檢測)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C是菱形，AC1與A1(1)求證：OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.【解析】(1)連接BC1，因為側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O，所以O為AC1的中點，又因為E是AB的中點，所以OE∥BC1，因為OE?平面BCC1BC1?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因為側面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因為AC1⊥A1B，A1C∩AA1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因為BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC.19.(12分)如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求證：EC⊥CD.(2)求證：AG∥平面BDE.【證明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，所以EC⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，故EC⊥CD.(2)在平面BCEG中，過G作GN⊥CE交BE于M，連接DM，則由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=QUOTEBC，所以MG∥AD，MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，所以AG∥DM，因為DM?平面BDE，AG?平面BDE，所以AG∥平面BDE.20.(12分)(2016·泰安高一檢測)如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.(1)求證：平面AEF⊥平面PBC.(2)求二面角P-BC-A的大小.【解題指南】(1)要證平面AEF⊥平面PBC，可通過證明AE⊥平面PBC得出，而要證AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，則證出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以證出.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知為45°.【解析】(1)因為PA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB與PA相交于點A，所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB與BC相交于點B，所以AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BC，又AB⊥BC，所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△PAB中，因為PA=AB，所以∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小為45°.21.(12分)(2016·北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.(3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由.【解析】(1)因為PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因為AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)取PB中點F.連接CE,EF,CF.因為E為AB中點,所以PA∥EF.又因為PA?平面CEF,