八年級數學上冊第十三章典型例題解說八年級數學上冊第十三章典型例題解說八年級數學上冊第十三章典型例題解說第十三章軸對稱【典型例題解說】拓展天地（1）以給定的圖形“○○，△△，＝”(兩個圓，兩個三角形，兩條平行線)為構件，構想獨到而存心義的軸對稱圖形，以下左圖所示，是切合要求的圖形，請你在圖中方框里構想出一幅其余的圖形，并寫出一兩句貼切、幽默的解說詞．兩盞電燈【分析】兩條平行線可當作2，兩個圓當作兩個0，由200聯想到2008，兩個三角形正好可構成一個8，再聯合2008北京奧運會得出答案．【解】以下圖：解說詞：北京好運拓展天地(2)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，延伸CA到點E，使AE＝AF，點F在AB上，求證EF∥AD.【分析】由AB＝AC，AD⊥BC，可得Rt△ABD≌Rt△ACD，進而∠1＝∠2，過點A作AG⊥EF，垂足為G，∵AE＝AF，可得Rt△AEG≌Rt△AFG，進而∠3＝∠4，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∴∠1＝∠3.∴AD∥EF.【證明】過點A作AG⊥EF，垂足為G，在Rt△AEG和Rt△AFG中，AE＝AF，AG＝AG，∴Rt△AEG≌Rt△AFG，∴∠3＝∠4,同理，∠1＝∠2，∵∠BAC＝∠3＋∠4，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4，2∠1＝2∠3，∴∠1＝∠3.∴AD∥EF.拓展天地(3)如圖，左側的樹經過幾次軸對稱變換

，能夠變為右側的樹？你能設計一種變換方案嗎？【分析】此題會有很多種不一樣的解法，一般需作四次軸對稱變換，最少的是兩次軸對稱變換．【解】以下圖，經過兩次軸對稱變換就能夠將左側的樹變為右側的樹．拓展天地(4)以下圖，(1)A，B是直線m異側的兩點，在直線m上求一點P，使PA＋PB的長度最短．(2)C，D是直線n同側的兩點，在直線n上求一點Q，使QC＋QD的長度最短．【分析】(1)連結AB交直線m于點P，則點P為所求點．(2)C，D是直線n同側的兩點，可考慮將它們轉變為(1)的情況，不如假想將點C轉變為對于直線n的對稱點C′，即無論直線n上任何一點Q，都應知足QC＝QC′，這樣，C，D與直線n上隨意一點的距離之和就轉變為C′，D與直線n上隨意一點的距離之和．由QC＝QC′知，點Q在線段CC′的垂直均分線上，由Q的隨意性知，直線n是線段CC′的垂直均分線．(1)

(2)【解】

(圖略)(1)連結

AB，交直線

m于點

P，則點

P即為所求的點．(2)作點C對于直線n的對稱點C′，連結C′D交直線n于點Q，則點Q即為所求的點．拓展天地（5）在平面直角坐標系內畫出以下各點：(3，－2)，(－5，3)，(－2，2)，(－1，－3)．將各點繞坐標原點旋轉180°，求旋轉后各點的坐標，并指出旋轉前后點的坐標的變化規律．【分析】利用平面直角坐標系中的網格及全等三角形的判斷，簡單發現已知點繞原點旋轉180°后的坐標．【解】點(3，－2)繞原點旋轉180°后所得點的坐標為(－3，2)，點(－5，3)繞原點旋轉180°后所得點的坐標為(－1，－3)繞原點旋轉

(5，－3)，點(－2，2)繞原點旋轉180°后所得點的坐標為(2，－2)，點180°后所得點的坐標為(1，3)．變化規律是：旋轉后所得點的橫、縱坐標都是旋轉前點的橫、縱坐標的相反數．拓展天地（6）如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA，OB上分別取點A1，B1，使得OA1＝OB1，連結A1B1；在B1A1，B1B上分別取點A2，B2，使B1B2＝B1A2，連結A2B2按此規律下去，記∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，，∠An＋1BnBn＋1＝θn，則(1)θ1＝________________；(2)θn＝________________．【分析】這是一個已知等腰三角形的頂角求其底角度數的問題．由∠AOB＝α可求得∠θ1＝180°＋α180°＋α3×180°＋α3×180°＋α2，由∠θ1＝2可求得∠θ2＝，由∠θ2＝可求得∠θ344＝7×180°＋α8，以此類推．【答案】(1)∠θ180°＋α(2)∠θ（2n－1）180°＋α1＝2n＝2n拓展天地（7）已知如圖，銳角△ABC的兩條高BE，CD訂交于點O，且OB＝OC，求證△ABC是等腰三角形．【分析】由OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB，即∠BCD＝∠CBE，再由BE，CD是高，可發現題中隱含全等三角形：△BDC≌△CEB，進而得∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【證明】∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.BE，CD是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．拓展天地（8）如圖，C是AB上一點，△ACD，△BCE都是等邊三角形，AE，CD訂交于點M，BD，CE訂交于點N，求證△CMN是等邊三角形．【分析】由已知條件易知，∠MCN＝60°，所以，只要證明△MCN中有兩邊相等，就能夠證明△MCN是等邊三角形．【證明】∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2＝60°，∴∠3＝180°－∠1－∠2＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°.在△ACE和△DCB中，AC＝DC，CE＝CB，∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB，∴∠4＝∠5.在△BCN和△ECM中，∠2＝∠3，BC＝CE，∠5＝∠4，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，又∵∠3＝60°，∴△CMN是等邊三角形．拓展天地（9）1如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AB，求證∠A＝30°.【分析】此題是“含30°角的直角三角形性質”中將問題的結論與此中一個條件互換1而得的，對于BC＝2AB，其辦理方法還是“截半”或“倍長”．【解】如圖，作

AB

的垂直均分線

DE，交

AB

于點

D，交

AC

于點

E，連結

EB.∵DE

垂直均分

AB

1，∴BD＝2AB，∠EDB＝90°，AE＝EB，∴∠A＝∠1.11∵BC＝2AB，BD＝