2.1.2換元積分法

直接利用基本積分表和分項積分法所能計算的不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進更多的方法和技巧本節和下節就來介紹求積分的兩大基本方法——換元積分法和分部積分法。

在微分學中，復合函數的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運算，也有相應的方法。利用中間變量的代換，得到復合函數的積分法——換元積分法。通常根據換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元。問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換元法（湊微分法）說明結果正確將上例的解法一般化：設則如果（可微）將上述作法總結成定理，使之合法化，可得——換元法積分公式第一類換元公式（湊微分法）定理1注①定理說明：若已知則因此該定理的意義就在于把中的換成另一個的可微函數后，式子仍成立——又稱為積分的形式不變性這樣一來，可使基本積分表中的積分公式的適用范圍變得更加廣泛。②由定理可見，雖然是一整體記號，但可把視為自變量微分——湊微分③湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對被積表達式進行變形，主要考慮如何變化湊微分法的基本思路：

與基本積分公式相比較，將不同的部分——中間變量和積分變量——變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5解例6

求解例7解注意：拆項是常用的技巧例8

求解例9

求解例10

求解例11

求原式例12

求解或例13

求解說明當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分.例14

求解例15

求解（一）（使用了三角函數恒等變形）解（二）解（三）類似地可推出解例16

設求.令例17解（一）分子分母同乘以解（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導數

第一類換元積分法在積分中是經常使用的方法，不過如何適當地選取代換卻沒有一般的規律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數的微分公式，并善于根據這些微分公式對被積表達式做適當的微分變形，拼湊出合適的微分因子。作業：P78[2.2](2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35)問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法證設為的原函數,令則則有換元公式定理2第二類積分換元公式例19

求解令例20

求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規律如下：當被積函數中含有可令可令可令注意：所作代換的單調性。對三角代換而言，掌握著取單調區間即可。說明(2)

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定.例22

求解令例23

求解令說明(3)當分母的階較高時,可采用倒代換例24

求解令說明(4)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數的最小公倍數）例26

求解令基本積分表三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)P79[2.3](1)(5)(6)(9)(10)(11)(12)注：文本框可根據需求改變顏色、移動位置；文字可編輯POWERPOINT模板適用于簡約清新及相關類別演示1234點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本目錄點擊添加標題點擊添加標題點擊添加標題點擊添加標題點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加標題點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本會議基調年會視頻：會議主題1、攜手超越，馭領未來2、你在我心里面

---用心創造新未來