第二章應應力狀態理理論2.1體力和面力2.2應力和一點的的應力狀態2.3與坐標傾斜的的微分面上的的應力2.4平衡微分方程程應力邊邊界條件2.5轉軸時應力分分量的變換2.6主應力應應力張量不變變量＊2.7應力二次曲面面2.8最大切應力第二章應應力狀態理論論彈性力學所研研究的都是超超靜定問題。。要解決超靜靜定問題，必必須考慮靜力力學、幾何學學和物理學三三方面的條件件，缺一不可可。本章的任務是是要從靜力學學觀點出發，，分析一點的的應力狀態，，并建立連續續介質力學普普遍適用的平平衡微分方程程和應力邊界界條件。在本章的推導導中，將忽略略物體的變形形，顯然這對對小變形物體體來說是不會會引起明顯誤誤差的。2.1體力和面力作用在物體上上的外力有兩兩種類型，即即體力和面力力。1、體力：分布在物體體內所有質點點上的力（重重力、慣性力力和電磁力等等）2、面力：作用在物體體表面上的力力（風力、液液體壓力、物物體間接觸壓壓力等）體力分量投影于坐標軸軸M體力和體力矢矢量投影于坐標軸軸面力矢量面力和面力矢矢量面力分量內力內力和應力2.2應力和一點點應力狀態態1、內力：物體受外外界作用，，在物體內內部不同部部分之間產產生的相互互作用力正應力切應力投影于法線線和平面投影于坐標標軸內力和應力凡提到應力力，應同時時指明它是是對物體內內哪一點并并過該點的的哪一個微微分面來說說的。因為，通過過物體內同同一點可以以作無數個個方位不同同的微分面面。顯然，，各微分面面上的應力力一般說是是不同的。。物體內同點點各微分面面上的應力力情況，稱稱為一點的的應力狀態態。為了表示一一點的應力力狀態，過過物體內某某一點M分別作3個彼此垂直直的微分面面，使之與與坐標平面面平行此3個微分面分分別把物體體在M點的微分鄰鄰域分割成成前后、左左右以及上上下兩部分分（假定取取x軸垂直紙面面而指向讀讀者，z軸垂直向上上）我們只保留留其表面外外法線方向向和坐標軸軸正方向一一致的那一一部分（下下圖）三個特殊面面上的應力力應力張量為了表示一一點的應力力狀態，過過該點M作三個與坐坐標平面平平行的三個個特殊微分分面。分別別將物體分分成前后、、上下、左左右兩個部部分，保留留外法線方方向與坐標標軸正方向向一致的部部分，稱為為M點的三個特特殊微分面面上的9個應力分量量，即應力張量。正負號的規規定：當微分面外外法線指向向與坐標軸軸正方向一一致時，應應力分量沿沿正方向為為正；當微微分外法線線指向與坐坐標軸負方方向一致，，則應力分分量以沿坐坐標軸負方方向為正。。正應力的下下標表示作作用面的方方位和它的的方向切應力的下下標第一個個表示作用用面的方位位，第二個個下標表示示它的方向向下標的含義義：物體的受力內力外力集度應力體力面力正應力剪應力集度體力矢量集度面力矢量2.3與坐標傾斜斜的微分面面上的應力力abcMxyz由平衡條件，得同理2.4平衡微分方方程應應力邊界條條件如果一物體體在外力（（包括體力力和面力））作用下處處于平衡狀狀態，則將將其分割成成若干個任任意形狀的的單元體以以后，每一一個單元體體仍然是平平衡的；反反之，分割割后每一個個單元體的的平衡，也也保證了整整個物體的的平衡。基于這樣的的理由，假假想穿過物物體作三組組分別與3個坐標平面面平行的截截面，在物物體內部，，它們把物物體分割成成無數個微微分平行六六面體；在在靠近物體體的表面處處，只要這這三組平面面取得足夠夠密，則不不失一般性性地被切割割成微分四四面體（見見下圖）。。如果我們分分別考慮物物體內部任任意一個微微分平行六六面體和表表面處任意意一個微分分四面體的的平衡，可可以導得平平衡微分方方程和應力力邊界條件件。AABB物體受外力力作用處于于平衡狀態態也保證了了單元體的的平衡分別在物體體內取任意意一個平行行六面體和和表面處一一個四面體體分析其平平衡應滿足平衡方程：考慮，有同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應力互等等定理應力邊界條條件：表示物體體在邊界上上應力與面面力之間的平衡關關系。2.5轉軸時應力力分量的變變換當坐標系改改變時,同一點的各各應力分量量應作如何何改變易證明,如坐標系作作平移變換換,同一點的各各應力分量量是不會改改變的,因此只考慮慮轉軸的情情形§2-6主應力應應力張量量不變量既然物體內內任一確定定點的9個應力分量量要隨著坐坐標系的旋旋轉而分別別改變，于于是就產生生了一個問問題：對于于這任一確確定的點，，能否找到到這樣一個個坐標系，，在這個坐坐標系下，，該點只有有正應力分分量，而切切應力分量量為零；也也就是說，，通過該點點，能否找找到這樣3個互相垂直直的微分面面，其上只只有正應力力而無切應應力。回答是肯定定的。我們們把這樣的的微分面稱稱為主平面面，其法線線方向稱為為應力主方方向，而其其上的應力力稱為主應應力。根據主應力力和應力主主方向的定定義去建立立它們所滿滿足的方程程。設通過M點（設坐標標原點O與其重合））的與坐標標傾斜的微微分面abc為主微分平平面其法線方向向（即主方方向）v的三個方向向余弦為l，m，n，而其上的的應力矢量量f-v（即主應力力）的三個個分量為fvx，fvy，fvz。2.6主應力應應力張量量不變量通過一點M，可以找到到3個互相垂直直的微分面面，其上只只有正應力力而無切應應力。這樣樣的微分面面稱為主平平面面，其其法法線線方方向向稱稱為為應力力主主方方向向，其其上上應應力力稱稱為為主應應力力。稱為為應力力狀狀態態特特征征方方程程稱為