6.4

平面向量的應用6.4.1

平面幾何中的向量方法6.4.2

向量在物理中的應用舉例課后篇鞏固提升基礎鞏固1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點,則cos∠BDC=(

)A.-

B.

C.0

D.答案B解析如圖建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC為的夾角,∴cos∠BDC=.2.兩個大小相等的共點力F1,F2,當它們的夾角為90°時,合力的大小為20N,則當它們的夾角為120°時,合力的大小為(

)A.40N

B.10N

C.20N

D.N答案B解析對于兩個大小相等的共點力F1,F2,當它們的夾角為90°,合力的大小為20N時,由三角形法則可知,這兩個力的大小都是10N;當它們的夾角為120°時,由三角形法則可知力的合成構成一個等邊三角形,因此合力的大小為10N.3.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向對岸,則小船在靜水中的速度大小為

(

)A.10m/s

B.2m/sC.4m/s

D.12m/s答案B解析由題意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意圖如圖.∴|v|==2(m/s).4.(多選題)已知O是四邊形ABCD內一點,若=0,則下列結論錯誤的是(

)A.四邊形ABCD為正方形,點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的對角線交點C.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點答案ABC解析由=0知,=-().設AB,CD的中點分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知=0,O是EF的中點;同理,設AD,BC的中點分別為M,N,則O是MN的中點,所以O是EF,MN的交點.5.已知A(3,2),B(-1,-1),若點P在線段AB的中垂線上,則x=

.

答案解析設AB的中點為M,則M=(x-1,-1),由題意可知=(-4,-3),,則=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.6.一個物體在大小為10N的力F的作用下產生的位移s的大小為50m,且力F所做的功W=250J,則F與s的夾角等于

.

答案解析設F與s的夾角為θ,由W=F·s,得250=10×50×cosθ,∴cosθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.7.如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.證明=()·()====-|2+|2.因為CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.8.某人騎車以速度a向正東方向行駛,感到風從正北方向吹來,而當速度為2a時,感到風從東北方向吹來,試求實際風速的大小和方向.解設實際風速為v,由題意可知,此人以速度a向正東方向行駛時,感到的風速為v-a,當速度為2a時感到的風速為v-2a.如圖,設=-a,=-2a,=v.∵,∴=v-a,這就是速度為a時感到的由正北方向吹來的風速.∵,∴=v-2a,這就是速度為2a時感到的由東北方向吹來的風速,由題意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB為等腰直角三角形,∴∠APO=45°,||=||=|a|,即|v|=|a|.∴實際風速的大小是|a|,為西北風.能力提升1.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3+4+5=0,則的值為(

)A.-

B.

C.-

D.答案A解析因為3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因為A,B,C在圓上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.2.一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達對岸時,船的實際行程為8km,則河水的流速是

km/h.

答案2解析如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實際航行速度.由圖知,||=4,||=8,則∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=2.即河水的流速是2km/h.3.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,設A(0,2),C(2,0),則D(1,0),=(2,-2).設=λ,則=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由題設,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以.又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.4.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有動點P從P0(-1,2)開始,沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|e1+e2|;另一動點Q從Q0(-2,-1)開始,沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e1+2e2|.設P,Q在t=0s時分別在P0,Q0處,當時所需的時間t為多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其單位向量為;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其單位向量為.依題意知,||=t,||=t,∴=|=