數學教學心理學編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:重提數學教學心理學張興華不久前拜讀了鄭毓信教授一篇論述變式理論的文章，文中提出了“中國數學教育優秀傳統的繼承和發展的問題”，并倡導“理論視角下的小學數學教學”，給我許多啟示。由此想起了小學數學教學心理學實在也算得上是優秀的傳統理論，因為多年來許多教師的教學之所以富有成效，多半是自覺與不自覺地運用心理學的原理、規律于實踐的結果。只是，近幾年在理論上我們比較關注新課程理念，而數學教學心理學卻漸漸淡出了我們的視線。也就是說，現在青年教師們已經缺失了數學教學心理學，我們的小學數學教學課程還沒有置于科學理論的視角下。數學教學心理學：經典課堂的永恒支柱我們不妨留意一下，近年來省級和省級以上教育報刊發表的數學教學論文中已經很少有“數學教學心理學”的核心詞。即使有，也是很成問題的。最近常見到“表象”這個詞，但多作表面現象講，如“從表象看，……”列舉了一些表面現象后說“……這些都是表象，透過表象，其實質是……”天哪！表象是感知過的事物留在腦中的形象……，怎么能望文生義說成是表面現象呢？再一個就是“變式”。變式只是心理學理論滄海之一粟，不知什么時候引得大家的熱捧和關注，談得不少。有上升為“變式理論”的，有總結為“變式教學模式”的，也還有解釋為變化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之類，只要式子變化了就是變式！學科教學心理學這塊剛被開墾的處女地，現在又是雜草叢生，滿目荒蕪了。但是，耐人尋味的是，每每經典的、引人注目的教學設計，在其背后都能找到數學教學心理學的內核。我們不妨來看看張齊華老師“認識分數”的一個片段：一開始，通過分蛋糕和簡短的討論，讓學生知道：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2。接著，張老師給每位學生準備了同樣的長方形紙，讓學生“動手折一折”，并“涂出它的1/2”。學生折啊，涂啊。交流的時候，有的學生橫著對折，涂出了其中的1/2：，有的學生豎著對折，涂出它的1/2：，有的斜著平均折成兩份，涂出了它的1/2：，張老師指著這些不同形狀的陰影部分問學生：“這些陰影部分形狀不同，為什么都是這張紙的1/2？”學生一一回答：“我把這張紙橫著對折，就是把它平均分成兩份，其中這一份當然是它的1/2?！薄拔野堰@張紙豎著對折，就是把它平均分成兩份，每一份是它的1/2?！薄拔译m然是斜著折的，但是是把這張紙平均折成了兩份，這一份雖然形狀不同，但也是這張紙的1/2?！睆埨蠋熣f，不管把紙怎樣折，也不管折成的每一份是什么形狀，只要是把這張紙平均分成兩份，每一份就是它的1/2。后來，認識1/4時，張老師給學生準備了各種不同形狀的紙，要求學生折一折，并涂出其中的1/4，學生折啊，涂啊，出現了這些情況：

張老師又問學生：這里圖形的形狀也不相同了，陰影部分形狀和大小也都不同，為什么都是原來這個圖形的1/4。學生一一回答，都是說我把這張紙平均分成了4份，每一份是這張紙的1/4。最后老師總結道：不管是什么形狀的紙，也不管涂色部分是什么形狀，只要把它平均分成4份，每份就是這張紙的1/4。這樣，學生對1/2、1/4分數的認識達到了概括化程度很高的理解。為什么呢？就是因為運用了心理學變式原理！

然而，當我私下里與老師們溝通時，卻發現大家對這一片段的認識多著眼于當下時髦的學習方式的改善上。有的說這是讓學生動手實踐得好，折出那么多的1/2、1/4；有的說這是讓學生自主探索得好，這是算法多樣化，折法多樣化，涂法多樣化；有的說這是合作交流得充分。有老師甚至不理解張老師兩次運用變式的奧妙，覺得兩次操作后兩次發問幾乎一樣，是不是有重復和雷同感……他們不知道，張老師在這里兩次運用了變式原理，而兩次的著眼點不同，第一次用同一張紙，第二次用不同的紙。那什么是變式呢？心理學研究表明，抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。變式就是從不同角度組織感性材料，變換事物的非本質特征，在各種表現形式中突出事物的本質特征，從而使學生對概念的理解達到越來越高的概括化程度。張老師是深諳此理的，為了使學生能深刻認識1/2、1/4，變換非本質屬性，讓學生用不同方法折出、涂出各種形狀的1/2、1/4，從而突出不管用什么紙折，不管怎樣折，只要把紙平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把紙平均分成4份，每份就是它的1/4。理論的光芒是普照的。你真正掌握了變式原理，就可以普遍地運用于概念教學中。比如學習垂直概念，教師開始往往出示標準的垂直圖形，讓學生初步認識，相交成直角的兩條直線互相垂直，這概念是表征得不錯，但這一標準圖形的提供，無形中就增加了概念的內涵：相交成直角的豎直、水平方向的兩條直線，互相垂直。而看到就不認賬，這種錯誤的認識，常常影響到畫垂線和在三角形、平行四邊形、梯形中畫高，而張老師教學垂直，由于深諳變式原理，不僅提供垂直的標準式，而且提供垂直的各種變式，過直線外或直線上一點畫垂線，不僅要畫水平方向直線的垂線，而且要畫出鉛直方向的、斜方向的直線的垂線。這樣學生對互相垂直就達到了概括化的理解：不管直線方向如何，只要兩條直線相交成直角就互相垂直。掌握教學心理的老師在概念教學中就可以自如地普遍應用變式，不懂得教學心理的老師只能是依樣學樣，機械克隆，如法拷貝。在概念教學中，說到變式，常常還要說到“反例”。現在的教育心理學已把反例整合到變式中去了，請允許我在這里仍然沿用反例的說法。什么是反例呢？反例就是故意變換事物的本質特征，使之質變為與之形似的他事物，在比較與思辨中反襯和突出事物的本質特征，從而更準確地認識概念，在教學中反例常常和變式一并提供。例如讓學生辨析：

下面的圖形，哪些是角，哪些不是角（略）

又如讓學生辨析，下面哪些圖形是梯形，在梯形下面的括號里打√：（略）

如果說，變式是多方面地從正面強化概念的本質屬性的話，那么，反例恰恰是從反面來反襯和激生對概念的本質屬性的認識。我們再來看一個教學片段：面積單位（平方分米）的教學。學生學過平方厘米，知道邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米，而且已經形成了平方厘米的空間表象，之后我讓學生用平方厘米度量相關圖形的面積、郵票的面積，然后不露聲色地讓學生度量課始出現的鏡框玻璃或凳面的面積，有的學生有點猶豫，有的學生還真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都覺得這樣量很麻煩時，我問大家有什么想法，學生說：最好有一個大一點的面積單位來度量，我趁勢讓學生創造一個大一點的面積單位。有學生創造出了平方分米，我就說：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？學生猜想（實際上是類比推理）：邊長1分米的正方形，面積是1平方分米。我隨即出示一個平方分米的模型，橘紅色的（這里還有感知原理），指著比劃著說：“哎！邊長1分米的正方形，面積是1平方分米，現在我們來仔細觀察平方分米這個面積單位。這里，平方分米是什么形狀的（生答：正方形。）它有多大（生答：邊長1分米的正方形這么大?。┛辞辶藛幔ㄉ穑嚎辞辶?。）看清了，就請大家把眼睛閉起來，在腦子里面想：剛才看到的平方分米是什么形狀的有多大”（全體學生閉眼回想。）一會兒，我說：大家在腦子里留下了平方分米了嗎（

學生仍閉著眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睜開。現在請把信封里的平面圖形拿出來（每個人的信封里預先都裝著三四個正方形，邊長1.2分米的、邊長1分米的、邊長0.8分米的……）我說：誰能很快地把平方分米挑出來。很多學生都很快地把平方分米挑了出來，相互交流。也有少數學生挑錯了，我再引導糾正。這個教學案例中實際上有五六個心理學原理：如何激發學習動機，如何引起聯想，如何激發再造想象，如何組織首次感知，如何建立表象。但是，課上下來，老師們卻較多地關注閉眼回想的環節，都覺得讓學生“先觀察，再閉眼睛回想，又在一堆圖形中挑出”特別好，說是把平方分米的意義教活了。至于平方分米的顏色為何是顯眼的橘紅色，為何要閉眼，為何要挑圖形，則不知底里！有的老師在后來自己的教學中竟也樂于讓學生閉眼。有一次在隨意聽課時，我就看到這種情況，老師教的是應用題。通過例題教學，得出了一個數量關系式：總數量÷相對應的份數=平均數，課講得很好！但是接著就見老師講：請大家把這個數量關系式仔細觀察一下，然后把眼睛閉起來，在腦子里想一想，剛才我們觀察的數量關系式是怎樣的，在腦子里留下來了嗎？學生答：留下了。老師說：留下了就把眼睛睜開。天哪！我讓學生閉眼回想是為了讓學生把感知過的平方分米的樣子留在腦子里，形成表象。兒童認知概念是循著“形象—表象—抽象”的過程進行的。數量關系式已是抽象規則，怎能再拽回到形象、表象的階段，讓學生閉眼回想呢？以上兩個案例說明現在許多教師數學教學心理學的缺失。盡管許多優秀教師在教學過程中也都注意了解學生的學習狀況，改進教學方法，研究并解決各種教學問題，但是都是憑著教學經驗而為。當然，教學經驗也能幫助我們解決問題，但這種經驗沒有經過理性思辨，并不能對學和教做出科學的解讀，也就常常不具備一般意義。正如上述認識分數教學，僅認識1/2、1/4可以如是拷貝，而不能普遍運用于概念教學中。認識平方分米中的“閉眼回想”，不是包治百病的靈丹妙藥，到處可用，而只是為了讓學生形成平方分米的表象，把它在腦子里留下來。顯然，我們的數學教學確實要置于數學教學心理學理論的視角之下了。數學教學心理學關注什么說到這里，究竟什么是數學教學心理學呢數學教學心理學有哪些內容呢今天又準備怎樣重提數學教學心理學呢心理學獨立地成為一門科學，至今已有130年歷史。但是，從它誕生之日起，就與教育密切地結合在一起，形成了教育心理學（教學心理學）的應用性研究。把心理學原理應用于學科教學，盡管只有五六十年歷史，但已成為學科教學的迫切需要。小學數學的學與教，時刻反映著人的心理活動，亟需在心理學的理論指導下進行實踐。數學教學心理學作為一門科學，具有豐富的內容，很難三言兩語說清楚。這里不妨從奧蘇伯爾的一段話說起，來略談一二吧！關于學習的過程，著名認知心理學家奧蘇伯爾說過：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學生學習新知的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道些什么。要探明這一點，并據此進行教學。”現在，我們不妨把這高度濃縮的一條原理化解開來，看看有哪些心理學原理，讓我選擇幾條來重提一下。第一，許多心理學原理關注“學生已經知道了什么”。1．傳統的認知心理學中的準備學習就關注“學生已經知道了什么”。奧蘇伯爾的認知心理理論認為：“一切新的學習都是在原有學習的根基上產生的，新知總是通過與原有認知結構中的相關知識相互聯系、相互作用后獲得意義的。”這樣，探明新知賴以建立的相關舊知，使“新知之舟泊于其錨樁上”，就成為學生獲得新知的重要前提了。所以，教學某項新知前，教師應在學生原有認知結構中探明：新知需要哪些舊知支撐，并且組織重現、喚起、激活，使學生學習新知處于良好的準備狀態，這便是認知心理學的準備學習。例如，學生學習20以內進位加法“9加幾”的計算，教師組織了如下已知進行復習、激活。（1）學生逐題分解后，師說：唉，這些數都可以分成1和另外一個數。（2）9＋（

）＝10生齊答：9＋（1）＝10師（強調）：唉，9加上了1，就正好湊成了10，9和1是一對好朋友。（3）把下面“△”外的三個數連加起來。動腦筋，很快算出結果來。

師：（指名算得快的學生）你們為什么算得這么快？

生：因為9加上1可以湊成10，我先把9加1得10，再用10加上第三個數，10加幾一下就算出十幾。教師在親切的談話中復現、激活相關舊知，加上學生解答后的追問、強化，凸顯了9加幾轉化為10加幾的認知趨勢。作為“先行組織者”，相關舊知的復習緊緊對準了新知，促進新舊知識充分地積極地相互作用，形成了固定新知的準備態勢和積極的學習心向，把學生的認知推進了新知的門檻。2.建構主義學習理論關注的是全體學生各自的建構潛能。新一輪基礎教育課程改革，建構主義學習理論是其重要的支撐理論。建構主義學習理論認為，學習者的知識不是由教師傳授而獲得的，而是學習者在一定的社會文化背景下，根據已有的知識、經驗、方法（在同伴及教師的幫助下）主動地通過意義建構的方式而獲得的。其間涉及情境、協作、會話和意義建構四大要素。而所謂“意義建構”，即是要使學習者將新的學習內容與自身已有的知識、經驗之間建立起實質性的、非人為的聯系，借助自身“已經知道了什么”賦予新知識以意義。這里，學習者已有的知識、經驗對于其能否實現對新知識的意義建構具有至關重要的作用。有人會說，這與傳統的準備學習不是同一回事嗎？其實，這不是一回事！準備學習，是對那些支撐新知學習的已有知識進行復習、喚醒、激活，為新知學習作準備，是教師組織的；建構主義學習不是教師統一組織相關知識復習，而是在一定的情境中由學生自主地調度各自已有的知識、經驗、方法（我把它叫建構潛能），與新知相互作用，建構新知意義。因為學生家庭環境、文化背景和思維方式不同，他們已有的知識、經驗、方法、思維方式等建構潛能也有差異，基于各自已有經驗的建構過程和結果也有不同，這樣就出現了算法多樣化，但是他們都在主動地建構、主動地發展。建構主義學習的一個重要意義就在于能使全體學生都能有差異地得到發展。

仍以9加幾的教學為例，教師創設了一個問題情境，讓學生計算9＋6?？稍鯓佑嬎隳?？老師說：“小朋友們一定能自己設法計算出結果?！边@是調用學生各自的相關已知來建構新知方法。此時，基于各自原有知識經驗建構起來的方法真是豐富極了！有學生說，9＋6，我就從9起，一個一個往上數6個，數得15個；有學生說，我從6里拿出1來，加到9上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學生說，我從9里拿出4來加到6上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學生說，我把9看成10，就多看了1（多加了1），從6里去掉1，10加5得15；還有學生說，我把9和6都看成5，5＋5得10，再加上少加的4和1，得15……有人說，這不是算法多樣化嗎？這是的！從教育心理學的角度說，這是建構主義學習理論，讓學生在一定的情境中主動地基于各自的已有知識建構新知意義，才出現算法多樣化，全體學生都能有差異地得到發展。第一種是基于他數數的經驗，第二、三、四種都基于湊10、連加等已有經驗建構的方法，第五種則基于樸素的假設思想而建構的方法。3．關注“學生已經知道了什么”，我們可以借助“原型啟發”，解決問題。我們知道，學習者進行新的學習，比如認識新事物、學習新的概念或規則、解決新的問題等，常?？梢允艿揭郧罢J知的某些類似事物和知識的啟示，從而找到獲取新知或解決新問題的途徑。這種儲備在學習者認知結構中的類似事物就是“原型”，它對學習者認識新事物、解決新問題所起的作用，心理學上叫作原型啟發。比如，魯班發明鋸子，鳥與飛機，蝙蝠與雷達，簡算42/（43×42）等，當然，學習者認知結構中是否具有鮮明的“原型”以及學習者能否根據新的學習任務的特點，自覺地調動相應的原型，以實現“原型”的啟發價值，對于個體的學習活動是至關重要的?！诙?，許多心理學原理還關注著學生對相關已知的掌握程度。1．遷移。遷移是一種學習對另一種學習的影響。就小學數學的學習而言，遷移主要指先前的知識、技能對后來學習新的知識、技能的影響，如果是積極影響，就稱為正遷移（或簡稱遷移）；如果是消極影響，就稱為負遷移（簡稱干擾）。由于數學知識都是內在聯系著的，所以，遷移現象普遍存在于學生的學習活動中。從教學任務看，我們所期望并努力實現的當然是促進性的正遷移（并注意避免干擾性負遷移）。把握遷移原理的教師十分注意利用學生先前獲得的認知結構對后繼學習施以積極影響，遷移為新的認知結構，并使原有認知結構得以擴展和壯大。從遷移的原理來看，學生原有的認知結構（也就是已經知道了什么）當然是影響遷移的最關鍵因素。而直接影響遷移的原有認知結構，有三個變量：可利用性，即在新的學習任務面前，學生原有認知結構中是否有適當的起固定作用的觀念可以利用；可辨別性，就是新的有潛在意義的學習任務與同化它的原有概念系統的可辨別程度如何也就是說，學習者原有知識與要學習的新知識之間的異同是否分辨清楚；穩定性，就是在新的學習任務面前，原有的起固定作用的觀念的穩定性和清晰性如何原有觀念越穩固越清晰，越有助于新的學習。

知道了這一點，組織學生學習時就要注意：在學生原有認知結構中尋找和確定可以固定新知的相關舊知，為新的學習提供最佳關系和固定點。如學習一個數乘以分數的意義，可以從一個數乘以整數、一個數乘以小數的意義中類推；學習比的基本性質，可以根據比與除法、分數的內在聯系，從除法的商不變規律、分數的基本性質中遷移學習。學生掌握了三角形面積計算的推導方法，再學習梯形面積，可利用拼合圖形推導這一共同渠道，誘導學生自行遷移到梯形面積的推導中來。2.同化和順應。我們發現，建構主義理論只是籠統地說明學習者基于已有知識建構新知意義，并沒有說明學習者是怎樣利用舊知建構新知意義的。關于這一點，傳統的數學教學心理學解釋得清清楚楚，那就是同化和順應。所學的新知識由于符合原有的認知結構，從而順利地為原有認知結構所接納，即為知識同化。如學習長方形面積計算后，學習正方形的面積計算，由于“正方形是一種特殊的長方形”這一內在聯系，很快感受到新舊知識間的相關契合，順利發生如下的同化過程：（1）感知新知問題情境：正方形面積計算（2）新舊知相互作用：正方形是一種特殊的長方形（長和寬相等的長方形）長方形的長→正方形邊長長方形的寬→正方形邊長（3）同化新知：長方形面積=長×寬正方形面積=邊長×邊長正方形面積的計算就同化在長方形面積計算的方法中了。又如學生在學習正方形、長方形、等腰三角形時已形成了軸對稱圖形的概念，學習圓時，學生發現圓具有軸對稱圖形的一切特征。因此圓也是軸對稱圖形。有些知識一時無法被個體原有認知結構所直接接受，必須進行調整、重組乃至改造，重建新的認知結構，這便是順應。比如學習異分母分數加減法，教師先讓學生計算：56+36，3.45+33.8，+，然后逐題討論：（1）在豎式中整數加減法為什么要數位對齊（突出：計數位相同才能相加）（2）在豎式中計算小數加減法為什么要把小數點對齊（突出：小數點對齊數位就對齊，計數單位相同才能加。）（3）同分母分數加減法為什么分母相同分子可直接相加（突出：分母相同，表示分數單位相同，分子可以直接相加。）此時，學生已然明白，所有的加減法計算，只有在計數單位相同時才能直接相加。接著，出示異分母分數加法+，問學生：分子能直接相加嗎生答：不能。師問：為什么呢