2020中考數學幾何壓軸題匯編：三角形與平行四邊形（含答案）1.如圖，設E、F分別為正方形ABCD邊BC、CD上的點，且/EAF=45°,過E、F分別作AC的垂線，垂足分別為P、Q.（1）試找出圖中相似三角形（至少3對，全等除外）；⑵求證：AB2=AP?AQ;⑶設正方形的邊長為4,當P、Q重合時，求BE的長.第1題圖⑴解：圖中相似三角形有：△ABCsACQF,AEPCs^ADC,△CPEs^CQF,△CQFs^ADC,△ABEs^AQF,△APEs^ADF等（寫出任意3對，即可得分）．⑵證明：t/BAE+/EAP=/EAP+/QAF=45°,.\/BAE=ZQAF.在厶ABE與AAQF中，//BAE=ZQAFVZB=ZAQF=90°,.?.△ABEs^AQF,ABAE…AQ=AF同理，在△AEP￡△AFD中，'/EAP=ZFADV，ZEPA=/D=90°.?.△AEPsAAFD.APAE*ad=af，ABAP*aq=ad，\-ab=ad,.■AB2=AP?AQ.⑶解：如解圖，當P、Q重合時,t/EPC=/FQC=90°,.E、P、F在同一直線上．.?./ECP=/FCQ=45°,.EP=FQ，在厶AEP和AAFP中，‘AP=AQ</APE=ZAQF,、EP=FQ/.△AEP^^AFP(SAS),11.?./EAP=kX45°=22.5°,2，,\ZBAE=45°-ZEAP=22.5°,/.△AEB^^AEP(AAS),/.EB=EP,AB=AP=4,?.?四邊形ABCD為正方形，.?./ACB=45°,AC=4\/2,又vEP=PC,第1題解圖2.已知：在厶ABC中，/ABC=/ACB=a,點D是AB邊上任意一點，將射線DC繞點D逆時針旋轉a與過點A且平行于BC邊的直線交于點E.⑴如圖①，當a=60°時，請直接寫出線段BD與AE之間的數量關系；⑵如圖②，當a=45。時，判斷線段BD與AE之間的數量關系，并進行證明；⑶如圖③，當a為任意銳角時，依題意補全圖形，判斷線段BD與AE之間的數量關系，并進行證明.（用含a的式子表示，其中O°Va<90°）第2題圖解：⑴BD=AE;【解法提示】如解圖①，連接EC,當a=60°時，△ABC.△DCE均為等邊三角形，.\EC=DC,AC=BC,ZACB=ZDCE=60°,.?./ACB—/ACD=/DCE—/ACD,即ZBCD=/ACE,在厶BCD和厶ACE中，‘CD=EC</BCD=ZACE,、BC=AC.?.△BCDSAACE(SAS),,\BD=AE；第2題解圖①證明：如解圖②，過點D作DF//AC,交BC于點F.第2題解圖②tDF//AC,.?./ACB=/DFB,?.?/ABC=/ACB=a,a=45°,.?./ABC=/ACB=/DFB=45°..?.△DFB是等腰直角三角形，.?.bd=df=￡bf.2tAE//BC,./ABC+/BAE=180°,t/DFB+/DFC=180°,./BAE=/DFC,t/ABC＋/BCD=/ADC,/CDE＋/ADE=/ADC,/ABC=/CDE=a,

.?./ADE=/BCD,.?.△ADE^AFCD,AEAD.DF=CF-■/DF//AC,BDAD.^=CF，■，DF=BF=^T，.?.BD=DF=；；2AE；(3)補全圖形如解圖③，BD=2cosa?AE.第2題解圖③證明：連接EC,設AC與DE交于點O,.■AE//BC,/EAC=/ACB=a,又?//EDC=a,

.?./EAC=/EDC=a,?.?/AOE=/DOC,.?.△AOE^ADOC,AOOE…DO=OC，t/AOD=/EOC,/.△AOD^^EOC,/?Z1=Z2,又T/1=180°—a—/3（A、D、B三點共線）,Z4=180°-a-/3（三角形內角和為180°）,??/1=/4,??/2=/1=/4.又?.EAC=/ABC=a,.?.△BDCs^AEC,BDBC…AE=AC，BC又：又：AC=2cosa，Z.BD=2cosa?AE.在厶ABC中，點D在直線AB上，在直線BC上取一點E,連接AE,DE,使得AE=DE,DE交AC于點G,過點D作DFHAC，交直線BC于點F，/EAC=/DEF.⑴如圖①，當點E在BC的延長線上，求證：/EGC=/AEC;⑵如圖①，當點E在BC的延長線上，D為AB的中點，若DF=3,求BE的長度；⑶當點E在BC上，點D在AB的延長線上時，如圖②所示，若CE=10,5EG=2DE,求AG的長度.第3題圖證明：TDF//AC,.?./DFE=/ACE在厶ACE和AEFD中，'/EAC=ZDEF<ZACE=/EFD,、AE=ED/.△ACE^^EFD(AAS),/，ZAEC=ZEDF.■/DF//AC,EGC=ZEDF,

EGC=/AEC;解：TDF//AC,.?.△BDFsABAC,BFDFBD■，BC=AC=BA-?.?D為AB的中點,BD1BD1■BA=2,11■BF=2BC，DF=2AC-.BF=CF，AC=2DF=6，由⑴可知厶ace^^efd,.AC=EF=6，CE=FD=3..BF=FC=EF－CE=3，.BE=BF＋FE=9;解：TDF//AC,/，ZACE=/EFD.在厶ACE和AEFD中，'/EAC=ZDEF<ZACE=/EFD,、AE=ED/.△ACE^^EFD(AAS),.CE=FD=10，AC=EF.?DF/AC，.?.△DEFs^GEC,EFDFDE■*EC=GC=GE.?/5EG=2DE,CE=FD=10,.■EF=25,GC=4,.■AG=AC—GC=EF一GC=25一4=21.⑴如圖①，在△ABC中，/A=90°,/B=30。，點D,E分別在AB，BC上，且ZCDE=90°,EF丄AB于點F,BE=2AD,求證：DE=CD；⑵如圖②，在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,點D在BC上，連接AD,E為AD上一點，過點E作BC的平行線分別交AB,AC于點F,G,連接BE,CE,若/BEC=135°，求證：ABFEs^EGC；BE⑶在⑵的條件下，若BD=2DC,求CE的值.第4題圖⑴證明：由題意可得，/BFE=/DFE=90°=/A=/CDE,t/ADC+/EDF=/FED+/EDF=180°—90°=90°,.?./ADC=/FED.?/ZBFE=90°,ZB=30°,.?.BE=2FE.tBE=2AD,.?.FE=AD,在厶FED和厶ADC中，'/FED=ZADC<FE=AD、/DFE=ZCAD/.△FED^^ADC(ASA),.DE=CD；⑵證明：tAB=AC,/BAC=90°,.?./ABC=/ACB=45°,'/FG//BC,.?./AFG=/ABC=/ACB=/AGF=45°,.?./BFE=/EGC=135°=/BEC,.AF=AG，BF=GC，?/ZGEC+/BEC=ZGEB=ZBFE+/FBE,FBE=ZGEC,.?.△BFEs^EGC;⑶解：由⑵知，△BFEs^EGC,

BEBFFE*CE=EG=GC，?.?FG//BC,.?.△AFEsAABD,AAEG^AADC,FEAEAEEG*bd=ad，ad=dc，FEEG*bd=dc，?/BD=2DC,■FE=2EG,BFFE又?BFFE又?EG=GC，BF=GC，BF2EG■.eg=^f，bf_■EG=*2，BEbfl■■CE=EG=/2-在矩形ABCD中，AD=4,M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.⑴如圖①，求證：AAEM坐△DFM;⑵如圖②，若AB=2,過點M作MG丄EF交線段BC于點G,求證：AGEF是等腰直角三角形；⑶如圖③，若AB=2,j3過點M作MG丄EF交線段BC的延長MG線于點6,求耐的值.第5題圖⑴證明tABCD是矩形，.?./EAM=/FDM=90°,?.?M是AD的中點，.AM=DM,<ZA=ZFDB在厶ame和admf中，］am=dm,、/ame=zdmf/.△AME^^DMF(ASA)；⑵證明：過點G作GH丄AD于H,如解圖①，t/A=/B=/AHG=90°,.四邊形abgh是矩形..GH=AB=2,?.?M是AD的中點，11.?.AM=_AD=2,?.AM=GH,2''tMG丄EF,./GME=90°.?./AME+/GMH=90°.t/AME+/AEM=90°,/./AEM=ZGMH,^AM=GH在厶AEM和AHMG中，（/AEM=/GMH,、/A=/AHG/.△AEM^^HMG,.?.ME=MG,?./EGM=45°,由⑴得△AEM^^DFM,.ME=MF,tMG丄EF,.?.GE=GF,.?./EGF=2/EGM=90°,.?.AGEF是等腰直角三角形．第5題解圖①⑶解：過點G作GH丄AD交AD延長線于點H,如解圖②,t/A=/B=/AHG=90°,四邊形ABGH是矩形，GH=GH=AB=tMG丄EF,./tMG丄EF,./GME=90°,.?./AME+/GMH=90°,t/AME+/AEM=90°,./AEM=/GMH，又t/A=/GHM=90°,.?.△AEMs^HMG,EMAM…mg=ghEMAM…mg=gh,在RtAGME中，tan/MEG=第5題解圖②已知D是厶ABC的BC邊上的中點，DE丄AB于點E、DF丄AC于點F,且BE=CF,點M、N分別是AE、DE上的點，AN丄FM于點G.⑴如圖①，當ZBAC=90。時；求證：四邊形AEDF是正方形；試問AN與FM之間的數量關系與四邊形AEDF的兩對角線的數量關系相同嗎？請證明你的結論；⑵如圖②，當AF:DF=2：1時，求AN:FM的值.第6題圖⑴①證明：???/BAC=90°,/AED=/AFD=90°,四邊形AEDF是矩形，?/BD=DC,ZDEB=ZDFC=90°,be=cf,?Rt^BED^Rt^CFD(HL),/.DE=DF,矩形AEDF是正方形；②解：AN與FM之間的數量關系與四邊形AEDF的兩條對角線的數量關系相同；理由：在正方形AEDF中，AF=AE,又tAN丄FM于G,ZAMF=/ANE,ZAEN=ZMAF=90°,Rt^AEN^^Rt^FAM(AAS),,\AN=FM,又T正方形aedf的對角線相等，.AN與FM之間的數量關系與四邊形AEDF的兩對角線的數量關系相同；⑵解：如解圖，連接AD、EF,且AD與EF相交于點O,設AF=2k,DF=k,在RtAADF中，AD=■/Rt^BED^Rt^CFD(HL),../B=/C,DE=DF,/.AB=AC,AE=AF,1/?AD垂直平分EF,則OF=2EF,DF丄AC于點F,1_12"52；5k?OF=2k?k^2,.OF=—k,/.EF=k,5又t/NEM=/MGN=90°,ZGME+/ENG=/DNG+/ENG=180°,/AEO+/EAO=ZADE+/EAD=180°,.?./EMF=ZDNA,ZAEO=ZNDA,.?.△FME^AAND,ANAD5…FM=EF=4.第6題解圖已知正方形ABCD中，點E在BC上，連接AE,過點B作BF丄AE于點G,交CD于點F.第7題圖⑴如圖①，連接AF,若AB=4,BE=1,求AF的長；⑵如圖②，連接BD,交AE于點N,連接AC,分別交BD、BF于點O、M，連接GO,求證：GO平分ZAGF;⑶如圖③，在第⑵問的條件下，連接CG,若CG丄GO,求證：AG=.i,r2CG.⑴解：???四邊形ABCD是正方形，.?.BC=CD=AD=AB=4,/ABE=/C=/D=90°,z./ABG+/CBF=90°,tBF丄AE,../ABG+/BAE=90°,../BAE=/CBF,'/C=/ABE在△BCF和△ABE中，5BC=AB,、/CBF=ZBAE/.△BCF^^ABE(ASA),.?.CF=BE=1,.，.DF=CD—CF=3,⑵證明：tAC丄BD,BF丄AE,.?./AOB=/AGB=/AGF=90°,.A、B、G、O四點共圓，../AGO=/ABO=45°,/.ZFGO=90°一45°=45°=/AGO,..GO平分ZAGF；⑶證明：連接EF,如解圖所示：tCG丄GO,./ZOGC=90°,tZEGF=ZBCD=90°,.ZEGF＋ZBCD=180°,.C、E、G、F四點共圓,./ZEFC=ZEGC=180°—90°—45°=45°,./△CEF是等腰直角三角形，./CE=CF，同⑴得：△BCF^^ABE,1./CF=BE,/CE=BE=_BC,2'2'21./OA=_AC=2由⑴得：A、B、G、O四點共圓,.ZBOG=ZBAE,tZGEC=90°＋ZBAE,ZGOA=90°＋ZBOG,.ZGOA=ZGEC,

又t/EGC=/AGO=45°,.?.△aog^aceg,AGOAacg=AGOAacg=ceag=CG.第7題解圖已知點日在厶ABC內，/ABC=/EBD=a,/ACB=/EDB=60°,/AEB=150°,/BEC=90°.⑴如圖①，當a=60°，求證：△ABES^CBD;⑵在⑴的條件下，連接CD,若AE=1,試求BD的長；BD⑶如圖②，當a=90°時，請寫出旺的值.第8題圖⑴證明：如解圖①，連接DC,?.?/ABC=/ACB=60°,.?.△ABC是等邊三角形.同理△EBD也是等邊三角形，,\AB=BC,BE=BD,ZABE=60°-ZEBC=ZCBD,‘AB=BC在厶ABE與厶CBD中，＜ZABE=/CBD,、BE=BD/.△ABE^^CBD；

第8題解圖①⑵證明：?.?△ABE4ACBD,.?.AE=CD,/AEB=/CDB=150°,.\ZEDC=150°-ZBDE=90°,ZCED=ZBEC-ZBED=90°-60°=30oCD在Rt^CD在Rt^EDC中，ED=tan30°⑶解：如解圖②，連接DC,T/ABC=/EBD=90°,/ACB=/EDB=60°,.?.△ABCs^EBD,ABBCABEB…EB=BD，即BC=BD，又t/ABE=90°—/EBC=/CBD,..△ABEsACBD,/AEB=/CDB=150°,AEBE■*CD=BD，.?./EDC=150°—/BDE=90°,/CED=/BEC—/BED=90°—(90°—/BDE)=60°,設BD=x,則在Rt^EBD中，DE=2x,BE=x,CD?BEZ/3■AE=BD=x,CD?BEZ/3■AE=BD==6x=6BD,BD1即AE=6.第8題解圖②在銳角△ABC中，AB=6,BC=11,ZACB=30°,將厶ABC繞點B逆時針旋轉，得到△ABC.11⑴如圖①，當點C在線段CA的延長線上時，/CCA=111⑵如圖②，連接AA,CC.若厶ABA的面積為24,求厶CBC的1111面積；⑶如圖③，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B逆時針旋轉過程中，點P的對應點是P,求在旋轉過程1中，線段EP長度的最大值與最小值的差.1第9題圖(1)解：60；【解法提示】由旋轉得：/ACB=/C=30°,BC=BC,111/，ZC=ZBCC=30°,1/./CCA=60°.11⑵解：?.?△AB3AABC,11.\BA=BA,BC=BC,/ABC=/ABC,1111BABA-=i…BC=BC，1

ABA=/CBC,11△ABA^△CBCSABA1AB6SABA1AB636(BC)2=(11)2121'SCBC1?/S^ABA=24,1242S^CBC=13⑶解：如解圖，過點B作BD丄AC,D為垂足，■/△ABC為銳角三角形，.點D在線段AC上,在Rt^BCD中，BD=BC?sin30°=5.5,以B為圓心，BD長為半徑畫圓交AB于點P‘，BP有最小值11BP'.1.EP的最小值為5.5－3=2.5,1以B為圓心，BC長為半徑畫圓交AB的延長線于點P〃，BP有11最大值BP〃.1此時EP的最大值為11+3=14,1.線段EP的最大值與最小值的差為14—2.5=11.5.1第9題解圖如圖，在厶ABC中，/ABC=45°,AD丄BC于點D,BE丄AC于點E,BE與AD相交于F.過F作FG丄BE,過A作AG丄AB,AG與FG相交于G⑴如圖①，若AC=5,DF=3，求AB的長；⑵證明：ABFC是等腰直角三角