11高中數學新人教版必修一知識講解及練習附答案函數及其表示方法編稿：審稿：【學習目標】(1)會用集合與對應的語言刻畫函數，會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用 .(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法.了解每種方法的優點.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數 ^(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用.【要點梳理】要點一、函數的概念.函數的定義設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系 f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x),xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x A}叫做函數的值域.要點詮釋：1)A、B集合的非空性；(2)對應關系的存在性、唯一性、確定性； (3)A中元素的無剩余性；(4)B中元素的可剩余性。.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域①構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域 .由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等 (或為同一函數)；②兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關 ^.區間的概念(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示.區間表示：{x|axb}(a,b);{x|a<x<b}=[a,b]；{x|axb}a,b；{x|axb}a,b；{x|xb}-,b;{x|ax}a,要點二、函數的表示法優點：簡明，給自變量求函數值

優點：直觀形象，反應變化趨勢

優點：不需計算就可看出函數值.函數的三種表示方法：優點：簡明，給自變量求函數值

優點：直觀形象，反應變化趨勢

優點：不需計算就可看出函數值解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系..分段函數：分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.要點三、映射與函數.映射定義：設A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應法則 f,對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從 A到B的映射；記為f:ZB.象與原象：如果給定一個從集合 A到集合B的映射，那么A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要點詮釋：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a)..如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應關系中，即可求出象 .對于給出象，要求原象的問題，可先假設原象，再代入對應關系中得已知的象，從而求出原象；也可根據對應關系，由象逆推出原象 ^.函數與映射的區別與聯系：設A、B是兩個非空數集，若f:A-B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數，記為y=f(x).要點詮釋：(1)函數一定是映射，映射不一定是函數；(2)函數三要素：定義域、值域、對應法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值域=象集合..函數定義域的求法(1)當函數是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數解析式有意義的自變量的取值的集合 .具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數、式大于或等于零，零次哥的底數不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義 ^(3)求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區間來表示..函數值域的求法實際上求函數的值域是個比較復雜的問題， 雖然給定了函數的定義域及其對應法則以后， 值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數解析式的簡單變形， 利用熟知的基本函數的值域， 或利用函數的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數的值域；配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些“分式”函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域.求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數形結合法等.總之，求函數的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約 ^【典型例題】類型一、函數的概念例1:下列式子是否能確定y是x的函數？x2y22;Jx1Jy11;【答案】(1)不能(2)能(3)不能【解析】(1)由x2y22,得y 。2"^,因此由它不能確定y是x的函數，如當x1時，由它所確定的y值有兩個，即y=1.(2)由6―TJy―11,得y(1xx―1)21,當x在x|x1中任取一個值時，由它可以確定唯一的y值與之對應，故由它可以確定 y是x的函數.(3)由x20,得x,x0故由它不能確定y是x的函數.【總結升華】判斷由一個式子是否能確定 y是x的函數的程序是：對于由式子有意義所確定的 x的取值的集合中任意一個x的值，由式子是否可確定唯一的一個 y的值與之對應，也可以看由式子解出的 x的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自變量在定義域內取任意一個值，其函數值必須對應著唯一的值.【高清課程：函數的概念與定義域 356673例2】例2.下列函數f(x)與g(x)是否表示同一個函數，為什么？f(x)(x1)0；g(x)1f(x)x；g(x)xx2f(x)x2；g(x)(x1)2f(x)|x|;g(x)Vx7【思路點撥】對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立【答案】(1)不是(2)不是(3)不是(4)是【解析】⑴f(x)與g(x)的定義域不同，前者是 x|x1,xR,后者是x|x0,xR,因此是不同的函數;(2)g(x)|x|,因此f(x)與g(x)的對應關系不同，是不同的函數；⑶f(x)與g(x)的對應關系不同，因此是不相同的函數；(4)f(x)與g(x)的定義域相同，對應關系相同，是同一函數.【總結升華】函數概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則 f,其中核心是對應法則f,它是函數關系的本質特征.只有當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數也就不同；(2)對應法則不同，兩個函數也是不同的 .(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與y(1)y=x-1與yx1(2)y\x2與y=|x|是同一函數;⑶y(3/Xj3與y(、*)2是同一函數;X X(X0)」 2 一“工f(x) 與g(x)=x-|x|是同一函數.X2 x(x0)【答案】(1)、⑶是假命題，(2)、(4)是真命題⑴、(3)⑴、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.例3.求下列函數的定義域(用區間表示).⑴f(x)x-1

x2⑴f(x)x-1

x2-3(2)f(x)j3x-8； 1⑶f(x).2-x ..x6.(1)是分式，只要分母不為 0【思路點撥】由定義域概念可知定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍即可；(2)是二次根式，需根式有意義； .(1)是分式，只要分母不為 0【答案】(1)( ，邪)(先何(后)(2)8, (3) 6,23【解析】f(x)與」的定義域為x2-3w0, x品定義域為：( ,曲)(x/3j3)h/3,);x3TOC\o"1-5"\h\zf(x)?3x-8,由3x-80得，x8,定義域為8, ;\o"CurrentDocument"3 3 1r2x07口x2f(x)v2x/ ,由 行 止乂域為 6,2.x6x60x-6【總結升華】使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零；②偶次根式中，被開方數非負 .當函數解析式是由多個式子構成時， 要使這多個式子對同一個自變量 x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解 .舉一反三：【變式1】求下列函數的定義域(用區間表示) ：⑴f(x) —3—; (2)f(x)—彳^;(3)f(x)TfxTx.|x1|2 x1【答案】(1)(-8,-1)u(-1,3)U(3,+8)；⑵ 3,1 (1, );(3)0,1.【解析】一，、 ， 3(1)當|x-1|-2=0,即x=-1或x=3時， 無息義，當|x-1|-2W0,即xw-1且xw3時，分式有息義,所以函數的定義域是(-8,-1)U(-1,3)U(3,+8)；(2)要使函數有意義，須使 x10,即x 3且x 1,所以函數的定義域是 3,1 (1,)；x30⑶要使函數有意義，須使1x0,,所以函數的定義域為 0,1.x0.【總結升華】小結幾類函數的定義域:(1)如果f(x)(2)如果f(x)(3)如果f(x)(4)如果f(x)各集合白勺交集)是整式，那么函數的定義域是實數集R;是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合；是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合;是由幾個部分的數學式子構成的,那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合;(即求(5)滿足實際問題有意義.類型三、求函數的值及值域例4.已知f(x)=2x2-3x-25,(1)f(2) ,g(2); (2)f(g(2))g(x)=2x-5,求:【思路點撥】根據函數符號的意義,得.【答案】(1)-23,-1;(2)-20,【解析】g(f(2))；可以知道-51；⑶(3)f(g(x)) ,g(f(x))f(g(2))表示的是函數f(x)在x=g(2)處的函數值，其它同理可8x2-46x+40,4x2-6x-55.(1)f(2)=2X22-3X2-25=-23;g(2)=2X2-5=-1;(2)f(g(2))=f(-1)=2X(-1)2-3X(-1)-25=-20;g(f(2))=g(-23)=2X(-23)-5=-51 ;(3)f(g(x))=f(2x-5)=2X(2x-5)2-3X(2x-5)-25=8x2-46x+40;g(f(x))=g(2x【總結升華】數之分，如2-3x-25)=2X(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.求函數值時，遇到本例題中 (2)(3)(這種類型的函數稱為復合函數,f(g(x))，里層函數就是g(x)外層函數就是f(x)一般有里層函數與外層函其對應關系可以理解為xgg(x)ff(g(x)),類似的g(f(x))為xff(x)gg(f(x)),類似的函數，需要先求出最里層的函數值，再求出倒數第二層，直到最后求出最終結果例5.求值域(用區間表示)：(1)y=x2-2x+4,⑵f(x) .?^;⑶f(x)甘【答案】(1)[7,28][312];(2)五;(3)(-巴1)U(1,+OO).【解析】(1)法一：配方法求值域.2 2yx22x4(x1)23,①當x4,1時，ymax28,ymin7，，值域為［7,28］;②當x2,3時,ymax 12,ymin3,值域為[3,12].法二：圖象法求值域二次函數圖象(如下圖)的開口向上，對稱軸為x1,所以函數在區間,1上單調遞減，在區間1,上單調遞增.所以①當x4,1時，值域為［728];②當x2,3時，值域為[3,12].(2)yJx2-2x37（x-1）22拒，值域為近,(2)y2x3-51-4—,”“—0,y1,??.函數的值域為(-巴1)U(1,+8).x3x3x31x3【總結升華】（1）求函數的值域問題關鍵是將解析式作變形，通過觀察或利用熟知的基本函數的值域，逐步推出函數的值域.（2）求函數的值域沒有固定的方法和模式，要靠自己經驗的積累，掌握規律.求函數的值域不但要重視對應關系（解析式）的作用，而且要注意定義域對值域的制約作用.別忘了，函數的圖象在求函數的值域中也起著十分重要的作用.舉一反三：【變式1】求下列函數的值域：y(3)1x2*一、yk(4)y54xx2(1)1,;(2)y|y(3) 1,1；(4)(1)即所求函數的值域為1,y2x2x2(x3)7y(3)1x2*一、yk(4)y54xx2(1)1,;(2)y|y(3) 1,1；(4)(1)即所求函數的值域為1,y2x2x2(x3)7y2,即函數的值域為y|yy2x2xY函數的定義域為11,0R21x22,y1,1,即函數的值域為Iy.54x.(x2)29一2一(x2) 9所求函數的值域為類型四、映射與函數【高清課程：函數的概念與定義域例6.判斷下列對應哪些是從集合例1】A到集合類型四、映射與函數【高清課程：函數的概念與定義域例6.判斷下列對應哪些是從集合例1】A到集合B的映射，哪些是從集合A到集合B的函數?(1)A=｛直角坐標平面上的點｝B=｛（x,y）|xR,yR｝,對應法則是：A中的點與B中的（x,y)對應.A={0,1,2},B={4,1,0},對應法則是f:xA={0,1,2},B={0,1,1},對應法則是f:B中唯2B中唯【思路點撥】根據映射定義分析是否滿足“ A中任意”【解析】(1)是映射，不是函數，因為集合 A、B不是數集，是點集；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形白外接圓)與之對應,這是因為不共線的三點可以確定一個圓；不是函數.(3)是映射，也是函數，函數解析式為f(x)0,(x2n)1,(x2n1)(4)是映射，也是函數.(5)對于集合A中的元素“0”，由對應法則“取倒數”后，在集合 B中沒有元素與它對應，所以不是映射,也不是函數.【總結升華】判斷一個對應是不是映射和函數， 要根據映射和函數的定義去判斷,函數一定是映射，反過來,映射不一定是函數，從數集到數集的映射才是函數.舉一反三：(3)是映射，也是函數，函數解析式為f(x)0,(x2n)1,(x2n1)(4)是映射，也是函數.(5)對于集合A中的元素“0”，由對應法則“取倒數”后，在集合 B中沒有元素與它對應，所以不是映射,也不是函數.【總結升華】判斷一個對應是不是映射和函數， 要根據映射和函數的定義去判斷,函數一定是映射，反過來,映射不一定是函數，從數集到數集的映射才是函數.舉一反三：【變式1】下列對應哪些是從A到B的映射？是從A到B的——映射嗎？是從A到B的函數嗎?(1)A=N(2)A=NB={1B=N+(3)A=RB=Rf:xy=(-1)x;y二|x-3|;1x(4)A=Z(5)A=N(6)A=N【解析】B二N|B=ZB二N|⑴、(4)、y二|x|y二|x|y二|x|.(5)、(6)是從A到B的映射也是從A至ijB的函數，但只有(6)是從A至ijB的一一映射;(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A至ijB的函數.類型五、函數解析式的求法例7.例7.求函數的解析式- 2一,一-f(x)x2x,求f(2x1)；(2)_ 2(2)f(x1)2x1,求f(x);f(x).一一一1f(x).已知f(x)2f(-)3x2,求

x【答案】(1)f(x)4x28x3；【答案】(1)f(x)4x28x3；(2)f(x)2x24x3；(3)f(x)x-2.

x【解析】求函數的表達式可由兩種途徑(1)用代入法，f(2x_ 21)(1)用代入法，f(2x_ 21)(2x1)2(2x1)4x28x3.(2)法一：換元法1,所以f(t)1,所以f(t)_ 22(t1)212t24t3即：f(x)2x24x3.法二：湊配法_ _2 _ 2 2 _f(x1)2x1=2(x1) 4(x1)3,所以f(x)2x4x3.(3)yf(x)2f(-)3x2①，用-代替上式中的x,得f(1)2f(x)32②x x x x由①②聯立，消去 f(」)，得xf(x)x22x故所求的函數為f(x)x-2.x【總結升華】(1)由yf(x)求yfg(x),一般使用代入法；(2)湊配法和換元法有時可以并用，而換元法更具有一般性，同時，在使用換元法時一定要注意新元的取值范圍； (3)若解析式中的兩個變量具有互為倒數或互為相反數的特征，可聯立方程組用消元法解出 y f(x)的解析式.舉一反三：【變式1】已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x).【答案】f(x)=x2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1;(法2)令x+1=t,..x=t-1,?.f(t)=(t-1) 2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1;(法3)設f(x)=ax2+bx+c貝Uf(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2a1 a12ab4b2 f(x)x22x1；abc2c1【總結升華】求函數解析式常用方法：(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數法等.注意：用換元法解求對應法則問題時，要關注新變元的范圍.類型六、函數的圖象例8.作出下列函數的圖象.2x1 o(1)y1x(x{2,1,01,2})；(2)y ；(3)y|x2x|1.x1【思路點撥】先把要畫的函數圖象進行變形，依據所學習過的基本函數圖象，通過函數圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象?！窘馕觥?1)2,先作函數2x1【解析】(1)2,先作函數2x1x13y一的圖象x1,0,1,2}，，圖象為一條直