幾何圖形本課內容本節內容4.1

現實世界充滿了多姿多彩的圖形.

我們怎樣從數學的角度來認識圖形呢？

小學階段，我們已經初步認識了長方體、正方體、圓柱、球、點、線段、三角形、四邊形等，它們都是從各式各樣的物體外形中抽象出來的圖形，我們把這種圖形統稱為幾何圖形.

有些幾何圖形的各部分不都在同一平面內，它們是立體圖形，例如，長方體、圓柱、圓錐、球等.觀察觀察圖形，它們分別與哪種立體圖形對應？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（a）（b）（c）（d）（e）（f）像圖（a）（d）這樣的立體圖形叫棱柱.像圖（e）這樣的立體圖形叫棱椎.

有些幾何圖形的各部分都在同一個平面內，它們是平面圖形，例如，點、線段、直線、三角形、長方形、圓等.

圖中所示的各交通標志中，分別包含有哪些平面圖形？說一說

雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是相互聯系的，立體圖形中某些部分是平面圖形，如正方體的每個側面都是正方形.

從不同方向看立體圖形，往往會得到不同形狀的平面圖形.看不同側面，看到的是長方形或正方形；如圖，整體上看，我們看到的是長方體；

從長方形或正方形中，我們還可以看到點、線段.長方體長方形正方形點線段

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形.1.請你分別說出從下列實物中能抽象出的立體圖形.練習棱椎長方體球體正方體圓柱體多邊體2.下圖中的圖案分別由哪些平面圖形構成？請用不同的顏色描出來.練習線段、射線、直線本課內容本節內容4.2觀察

圖中可以近似地看做線段、射線、直線的分別有哪些？

繃緊的鋼拉索、筆直的路燈桿等實物都給我們以線段的形象，線段有兩個端點.線段向一端無限延長形成了射線，射線有一個端點.線段向兩端無限延長形成了直線，直線沒有端點.我們可以用以下方式表示線段、射線、直線.名稱圖形表示方法線段線段AB（或BA）線段a射線射線AB射線BA直線直線AB（或BA）直線lABaABABABl

一條線段向兩端無限延長就得到一條直線，這說明一條直線有兩個方向，它們是互為相反的方向，取定一個方向，就確定了另一個方向.

如圖中的直線AB，一個是從A到B的方向，一個是從B到A的方向.AB

例如，把一條筆直的自行車專用道看成一條直線，那么自行車專用道就有兩個互為相反的方向.動手畫一畫，點與直線有哪幾種位置關系？做一做

點與直線有兩種位置關系：點在直線上或點在直線外，也可以說直線經過這個點或直線不經過這個點.

如圖，點P在直線l上（直線l經過點P），QlP

點Q在直線l外（直線l不經過點Q）.

當兩條不同的直線只有一個公共點時，我們稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.l1

如圖，直線l1與l2相交于點O.l2O（1）將一根小木條固定在墻面上，至少需要

幾顆釘子？動腦筋（2）如圖，過一個點可以畫多少條直線？過兩點呢？ACB過一個點可以畫無數條直線.過兩點只能畫一條直線.結論過兩點有且只有一條直線.從生活經驗中我們可以總結出以下基本事實：簡單說成：兩點確定一條直線.練習1.

如圖，判斷下列語句是否正確？（1）點O在直線AB上；（2）點B是直線AB的一個端點；（3）點O在射線AB上．答：正確答：不正確（因為直線沒有端點）答：不正確（因為射線AB是以A為端點）（4）射線AO和射線OA是同一條射線.答：不正確（因為射線AO以A為端點，OA以O為端點）2.按下列語句分別畫出圖形：（1）點P在直線l外；（2）以O為端點的三條射線OA，OB，OC；lP（3）點C在線段AB上.OABCABC怎樣比較圖中的線段AB，CD的長短呢？做一做我用刻度尺測量的辦法.把其中一條線段移到另一條上作比較.

像圖中這樣，將線段AB移到CD上，使點A與點C重合，點B與點D都在點C的同側，這時可能出現的情形如下表：圖形線段AB與CD的關系記做AB小于CDAB<CDAB

等于CDAB=CDAB

大于CDAB>CDCADBCADBCADB

如圖，點C落在線段AB的延長線（即以A為端點，方向為A到B的射線）上，ABCa

設AB=a

，AC=b，

BC=c

，則線段AC就是a與c的和，記做b=a+c

；

線段BC就是b與a的差，記做c=b

-

a.cb

杭州灣跨海大橋是跨越杭州灣的便捷通道.大橋北起嘉興市，跨越寬闊的杭州灣海域后止于寧波市，全長36km.大橋建成后寧波至上海間的陸路距離縮短了約120km.你知道這是根據什么原理嗎？動腦筋結論兩點之間的所有連線中，線段最短.人們根據長期實踐經驗得到以下基本事實:簡單說成：兩點之間線段最短.

連接兩點的線段的長度，叫做這兩點間的距離.舉例例1如圖，已知線段a，借助圓規和直尺作一條線段使它等于2a.作法：（1）作射線AD；（2）在AD上順次截取AB=BC=a;則AC就是所要求作的線段.ABCD

像這樣僅用圓規和沒有刻度的直尺作圖的方法叫尺規作圖.

若點B在線段AC上，且把線段AC分成相等的兩條線段AB與BC，這時點B叫做線段AC的中點.

如圖，點B是線段AC的中點，則AB=BC=AC.

類似地，還有線段的三等分點、四等分點等.ADCB舉例例2如圖，已知線段a，b(a>b)作一條線段使它等于a-b.作法：（1）作射線AF；（2）在射線AF上截取AC=a;（3）在線段AC上截取AB=b.則線段BC就是所要求作的線段.AFCBab練習1.用圓規截取的方法比較圖中下列兩組線段的大小：（1）AC和AB；（2）

BC

和AB.（1）AC<AB（2）BC<AB2.如圖，線段AB=6cm，點C是AB的中點，點D是AC的中點，求線段AC，AD的長.答：AC長為3cm，AD長為1.5cm.3.

如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于a+b.線段a+b中考試題例1四條直線兩兩相交時，交點的個數可能有（）

A.1個或4個B.1個或5個

C.1個或6個D.1個、4個或6個解析要分三種情況：①

若4條直線交于同一點，交點有一個；②第4條直線過3條直線3個交點中任一個，并與這3

條直線均相交，交點有4個；③若其中任意3條直線沒有公共交點，交點有6個.故選D.D中考試題例2

如圖，共有線段

條，分別是

，射線

條，直線

條.解析線段有2個端點，所以有3條，射線只有1個端點，所以A、B、C為端點的射線分別都有2條，共有6條，直線只有1條.6AB、BC、AC134.3.1角與角的大小比較觀察

如圖，鐘面上的時針與分針、圓規的兩只腳之間、折扇的扇骨與扇骨之間都給我們以什么樣的形象？這里有許多角……角是由具有公共端點的兩條射線組成的圖形.

如圖，將射線OA繞點O旋轉到OB位置時，就出現了角的形象.

因此，我們把一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一位置時所成的圖形叫做角.BOA其中，射線的端點O叫做角的頂點.始邊終邊角的內部BOA

射線原來所在的位置OA叫做角的始邊，

旋轉后的位置OB叫做角的終邊，

角的始邊和終邊統稱為角的邊.

從始邊旋轉到終邊所掃過的區域，叫做角的內部.

角的大小由角的始邊繞頂點旋轉至終邊時旋轉的量的大小決定.

當射線繞端點旋轉到與原來的位置在同一直線上但方向相反時，所成的角叫做平角.當射線繞端點旋轉一周，又重新回到原來的位置時，所成的角叫做周角.BOAOA（B）

角的始邊可以繞頂點沿順時針或逆時針方向旋轉，本書只研究角的大小，不計方向.注意

如果沒有特別說明，本書所講的角只限于不大于平角的角.角通常可用如圖所示的方法來表示.OAB1∠AOB，∠BOA

或∠O∠1怎樣比較圖中的∠ABC

和∠DEF的大小？探究BCAEFD可用量角器量與線段長短的比較類似，可以把它們疊合在一起比較大小

先將∠DEF移動，使它的頂點E與∠ABC的頂點B重合，并且使∠DEF的一條邊EF與∠ABC的一條邊BC重合，邊ED，BA都在BC的同側.這時可能出現的情形如下表：情形圖形∠ABC與∠DEF的關系ED與BA重合∠ABC=∠DEFED落在∠ABC內部∠ABC>∠DEFED落在∠ABC外部∠ABC

<∠DEFA(D)C(F)B(E)AC(F)B(E)DDC(F)B(E)A

以一個角的頂點為端點的一條射線，如果把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.如圖，若OC是∠AOB的平分線，則OABC練習1.圖中有哪幾個角？用適當的方式將這些角表示出來．答：∠ABC，∠BCE，

∠BCD，∠ECD.圖3-242.對于如圖所示的各個角，用

“>”、“<”

或“=”

填空：∠AOB

∠AOC，∠DOB

∠BOC，∠BOC

∠AOD，

∠AOD

∠BOD.<>><圖3-253.在一張紙片上畫一個角，通過折紙折出這個角的平分線.4.3.2角的度量與計算

我們用角的始邊繞頂點旋轉到終邊位置的旋轉量來度量角的大小，旋轉量用“度”來表示.

把一個周角（即它的旋轉量）分為360等份，每一等份叫做1度，記做1°，如圖.因此，一個周角等于360°，一個平角等于180°.

平角的一半（即90°的角）叫做直角.

小于直角（即小于90°）的角叫做銳角.

大于直角但小于平角（即大于90°但小于180°）的角叫做鈍角.

我們可以用量角器來測量一個角的大小，但有時一個角的度數并不一定是整數，這時與長度單位一樣，需要考慮用更小的單位來度量.

把1°的角分成60等份，每一等份叫做1分，記做1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，記做1″.即

度、分、秒是角的基本度量單位.度、分、秒之間的換算是60進制，這與時間的時、分、秒之間的換算是一樣的.舉例例1用度、分、秒表示54.26°.解

54.26°=54°+0.26°.

又

0.26°=0.26×60′

=15.6′=15′+0.6′，

而

0.6′=0.6×60″=36″，因此，54.26°=54°15′36″.舉例例2用度表示48°25′48″.解因此48°25′48″=

48.43°舉例例3計算：（1）37°28′+24°35′；（2）83°20′-45°38′20″解

（1）37°28′+24°35′=61°63′=62°3′；（2）83°20′-45°38′20″=82°79′60″-45°38′20″=37°41′40″.練習1.填空：（1）0.65°=

′；（2）32.43°=

°

′

″；（3）120°36′54〃=

°；（4）108°42′36″=

°.39322548120.615108.712.計算：（1）72°12′+50°40′30″；（2）113°50′40″-57°48′42″.122°52′30″56°1′58″3.10時整，鐘表的時針與分針之間所成的角的度數是多少？15時整呢？答：10點整，鐘表的時針與分針之間所成的角度數為60度，15點整所成的角是90度.做一做

如圖，量一量，算一算，∠1+∠2，∠3+∠4

的度數分別是多少？1234∠1=30°,∠2=60°∠1+∠2=90°.∠3=120°,∠4=60°∠3+∠4=180°.

如果兩個角的和等于一個平角，那么說這兩個角互為補角(簡稱互補)，也說其中一個角是另一個角的補角.

如果兩個角的和等于一個直角，那么說這兩個角互為余角(簡稱互余)，也說其中一個角是另一個角的余角.

例如，34°的角與56°的角互為余角，圖(a)中的∠1與∠2互為余角；48°的角與132°的角互為補角，圖(b)中∠3與∠4互為補角.12（a）34（b）（1）如圖（a），∠1與∠2互補，∠1與∠3互補，

那么∠2與∠3的大小有什么關系？動腦筋相等（a）由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代換）.（a）結論同角(或等角)的補角相等.（2）如圖（b），∠4與∠5互余，∠4與∠6互余，

那么∠5與∠6的大小有什么關系？相等（b）類似地，我們可以得到∠5=∠6.（b）結論同角（或等角）的余角相等.舉例例4如圖，∠AOB與∠BOD互為余角，OC是∠BOD的平分線，∠AOB=29.66°，求∠COD的度數.解因為∠AOB與∠BOD互為余角，所以∠BOD=90°-∠AOB

=90°-29.66°=60.34°.

又因為OC是∠BOD的平分線，因此，∠COD

的度數為30.17°.

29.66°60.34°所以30.17°舉例例5已知一個角的余角是這個角的補角的，求這個角的度數解

設這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，補角為（180-x）°.

根據題意，得