理科數學專項復習PAGEPAGE9溫故而知新，下筆如有神！專題十計數原理【真題探秘】10.1排列、組合探考情悟真題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點計數原理、排列、組合(1)分類加法計數原理、分步乘法計數原理①理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理.②會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題.(2)排列與組合①理解排列、組合的概念.②能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.③能解決簡單的實際問題2019課標Ⅰ,6,5分組合概率★★★2018課標Ⅰ,15,5分組合問題、分類加法計數原理2017課標Ⅱ,6,5分排列與組合的綜合應用、分步乘法計數原理2016課標Ⅲ,12,5分分類加法計數原理、組合問題分析解讀從近五年的考查情況來看,本節主要考查分類加法計數原理、分步乘法計數原理以及排列、組合的應用,一般以選擇題、填空題的形式單獨考查或以古典概型為載體進行考查,有時也與概率問題相結合以解答題的形式呈現.主要考查學生的邏輯推理能力.破考點練考向【考點集訓】考點計數原理、排列、組合1.(2020屆山西大同開學學情調研,4)從6名大學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人,組成4人知識競賽代表隊,則不同的選法共有()A.15種 B.180種 C.360種 D.90種答案B2.(2019陜西漢中二模,10)漢中市2019年油菜花節在漢臺區舉辦,組委會將甲、乙等6名工作人員分配到兩個不同的接待處負責接待工作,每個接待處至少2人,則甲、乙兩人不在同一接待處的分配方法共有()A.12種 B.22種 C.28種 D.30種答案C3.(2018四川德陽三校聯考,7)從5名學生中選出4名分別參加數學,物理,化學,生物競賽,其中甲不能參加生物競賽,則不同的參賽方案種數為()A.48 B.72 C.90 D.96答案D煉技法提能力【方法集訓】方法1求解排列問題的常用方法1.(2020屆重慶巴蜀中學高三適應性月考一,8)6個高矮互不相同的人站成兩排,后排每個人都高于站在他前面的同學的概率為()A.14 B.16 C.18答案C2.(2020屆吉林延邊二中9月月考,8)某次演出共有6位演員參加,規定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,則不同的演出順序共有()A.24種 B.144種 C.48種 D.96種答案D3.(2018安徽合肥調研性檢測,9)用數字0,1,2,3,4組成沒有重復數字且大于3000的四位數,這樣的四位數有()A.250個 B.249個 C.48個 D.24個答案C方法2分組、分配問題的求解策略1.(2019遼寧大連模擬,7)把標號為1,2,3,4的四個小球分別放入標號為1,2,3,4的四個盒子中,每個盒子只放一個小球,則1號球不放入1號盒子的方法共有()A.18種 B.9種 C.6種 D.3種答案A2.(2020屆河南八市重點高中聯盟9月“領軍考試”,15)甲、乙、丙、丁四名同學申報3所不同的985高校的自主招生,要求每名同學只能申報一所學校,每所學校必須有同學申報,甲、乙或甲、丙均不能申報同一所學校,則不同的申報方案有種.

答案243.(2019山西高考考前適應性模擬(三),15)將5名學生分配到3個社區參加社會實踐活動,每個社區至少分配一人,則不同的分配方案有種.(填寫數字)

答案150【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點計數原理、排列、組合1.(2016課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A.24 B.18 C.12 D.9答案B2.(2016課標Ⅲ,12,5分)定義“規范01數列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數不少于1的個數,若m=4,則不同的“規范01數列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個答案C3.(2018課標Ⅰ,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數字填寫答案)

答案16B組自主命題·省(區、市)卷題組考點計數原理、排列、組合1.(2015四川,6,5分)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有()A.144個 B.120個 C.96個 D.72個答案B2.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數字,從0,2,4,6中任取2個數字,一共可以組成個沒有重復數字的四位數.(用數字作答)

答案12603.(2017天津,14,5分)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字,且至多有一個數字是偶數的四位數,這樣的四位數一共有個.(用數字作答)

答案1080

4.(2017浙江,16,4分)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數字作答)

答案660C組教師專用題組1.(2014重慶,9,5分)某次聯歡會要安排3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序,則同類節目不相鄰的排法種數是()A.72 B.120 C.144 D.168答案B2.(2015廣東,12,5分)某高三畢業班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言,那么全班共寫了條畢業留言.(用數字作答)

答案15603.(2018江蘇,23,10分)設n∈N*,對1,2,…,n的一個排列i1i2…in,如果當s<t時,有is>it,則稱(is,it)是排列i1i2…in的一個逆序,排列i1i2…in的所有逆序的總個數稱為其逆序數,例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數為2.記fn(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數為k的全部排列的個數.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示).解析本小題主要考查計數原理、排列等基礎知識,考查運算求解能力和推理論證能力.(1)記τ(abc)為排列abc的逆序數,對1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數字4添加進去,4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數為0的排列只有一個:12…n,所以fn(0)=1.逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.為計算fn+1(2),當1,2,…,n的排列及其逆序數確定后,將n+1添加進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.當n≥5時,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2因此,當n≥5時,fn(2)=n2疑難突破要做好本題,關鍵是理解“逆序”“逆序數”“fn(k)”的含義,不妨從比較小的1,2,3入手去理解這幾個概念,這樣就能得到f3(2).f4(2)是指1,2,3,4這4個數中逆序數為2的全部排列的個數,可以通過與f3(2),f3(1),f3(0)聯系得到,4分別添加在f3(2)的排列中最后一個位置、f3(1)的排列中的倒數第2個位置、f3(0)的排列中的倒數第3個位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)與fn(2),fn(1),fn(0)的關系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,從而得到fn(2)(n≥5)的表達式.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共50分)1.(2020屆河南第一次聯考,10)2019年7月1日迎來了我國建黨98周年,6名老黨員在這天相約來到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名當年在同一個班,他們站成一排拍照留念時,要求同班的3名老黨員站在一起,且滿足條件的每種排法都要拍一張照片,若將照片洗出來,每張照片0.5元(不含過塑費),且有一半的照片需要過塑,每張過塑費為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員(過塑的照片也要平均分),則每名老黨員需要支付的照片費為()A.20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元答案B2.(2019寧夏六盤山二模,6)某小區有排成一排的7個車位,現有3輛不同型號的車需要停放,如果要求剩下的4個車位連在一起,那么不同的停放方法的種數為()A.18 B.24 C.32 D.64答案B3.(2020屆廣東廣州天河一模,7)中國古代十進制的算籌計數法,在數學史上是一個偉大的創造,算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖是利用算籌表示數1~9的一種方法.例如:3可表示為“≡”,26可表示為“=⊥”.現有6根算籌,據此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1~9這9個數字表示兩位數的個數為()A.13 B.14 C.15 D.16答案D4.(2020屆湖南長沙第一次月考,8)中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種,現有十二生肖的吉祥物各一個,甲、乙、丙三位同學依次選一個作為禮物,甲同學喜歡牛和馬,乙同學喜歡牛、兔、狗和羊,丙同學哪個吉祥物都喜歡,如果讓三位同學選取的禮物都滿意,那么不同的選法有()A.50種 B.60種 C.70種 D.90種答案C5.(2020屆四川成都雙流中學10月月考,10)為迎接雙流中學建校80周年校慶,雙流區政府計劃提升雙流中學辦學條件.區政府聯合雙流中學組成工作組,與某建設公司計劃進行6個重點項目的洽談,考慮到工程時間緊迫的現狀,工作組對項目洽談的順序提出了如下要求:重點項目甲必須排在前三位,且項目丙、丁必須排在一起,則這六個項目的不同安排方案共有()A.240種 B.188種 C.156種 D.120種答案D6.(2018福建福州二模,8)福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個展區提供服務,要求甲、乙兩個展區各安排一個人,剩下兩個展區各安排兩個人,則不同的安排方案共有()A.90種 B.180種 C.270種 D.360種答案B7.(2019安徽蚌埠一模,7)某電商為某次活動設計了“和諧”“愛國”“敬業”三種紅包,活動規定每人可以依次點擊4次,每次都會獲得三種紅包中的一種,若集全三種即可獲獎,但三種紅包出現的順序不同對應的獎次也不同.員工甲按規定依次點擊了4次,直到第4次才獲獎.則他獲得獎次的不同情形種數為()A.9 B.12 C.18 D.24答案C8.(2019河南鄭州一模)如圖所示的幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成,現用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有()A.6種 B.9種 C.12種 D.36種答案C9.(2018豫北名校聯考,9)2018年元旦假期,高三的8名同學準備拼車去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各兩名,分乘甲乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不考慮位置),其中(1)班兩位同學是孿生姐妹,需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自同一個班的乘坐方式共有()A.18種 B.24種 C.48種 D.36種答案B10.(2019江西南昌模擬,8)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產品,有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的,沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危險的.現用編號為1,2,3的三個倉庫存放這6種化工產品,每個倉庫放2種,那么安全存放的不同方法種數為()A.12 B.24 C.36 D.48答案D二、填空題(每小題5分,共15分)11.(2020屆山東夏季高考模擬,13)某元宵燈謎競猜節目,有6名守擂選手和6名復活選手,從復活選手中挑選1名選手為攻擂者,從守擂選手中挑選1名選手為