線性規劃在解決股票黑市崩潰帶來的破產問題中的應用（TheUseofLinearProgramminginDisentanglingtheBankruptciesofAl-ManakhStockMarketCrash）本文編譯自OperationsResearchVol.44,No.5（1996）,

原作者：A.A.Elimam（美國）,M.Girgis（美國）,S.Kotob（科威特）一個成熟的股票交易市場的支柱是建立在重要的卻很少被人了解票據交換和清算過程，它通過收支平衡機制來維持產業金融的整體性。例如，在美國，這個過程由清算中心以及有組織的交易來完成。除了普通的操作以外，清算中心還要保證每項交易成功執行，防備潛在的違約發生。出于這個目的，他們制造了許多的規定和規則。他們還控制了信用交易，以保證合同方和他們代理人之間的資金交割。總的來說，他們采用的四種基本的保證措施（Edwards1984,Rutz1984:1）征收用于清算支付和價格變動的保證金。發出當日的變動保證金催繳書，以減少在大規模價格變動中產生的風險；2）清算基金存款。清算成員在他們各自的票據交易所存入初始的保證金以清算他們的帳戶，并防范違約風險和變現力風險；3）風險管理信息系統。包括確定最小的資金需求和顧客的部位限制，維持大規模的顧客報告系統，以及關于清算成員的日常運作風險分析。4）估價權。一個票據交易所有明確的權力來結算其成員特定的，用于恢復由于清算成員違約帶來的損失的費用。這個系統包含了立法和政府干預，它足以對付個別的非市場關系的特有風險。另一方面，聯邦儲備銀行正如它在1987年的危機中表現的一樣，能成功地通過低費用的變現方式來轉移系統的大規模的市場風險。1982年科威特證券市場的崩潰是一個完全的對照。 科威特是一個小國家，它的經濟很大部分依賴于它的豐富的石油資源。在 1979第三次石油大跌價之初，政府的石油收入在二年內翻了一番，即從23億科威特元漲至58億科威特元（這里一個科威特元大約項相當于3.5美元）。這致使公共開支上升很大，在同一段時間內從17.53億科威特元上升至22.95億科威特元。由于投資機會受到限制和這段時間內經濟的順利發展等因素，產生了一個與科威特官方證券交易市場 （KuwaitStockExchange,KSE）并存的非官方證券交易市場。后者被人們稱為Soukal-Manakh（本文譯為黑市），它最初開始于那些的以在領近海灣國家注冊的公司的股票交易。這樣可以避免重新在科威特注冊一家新公司，它也參與地下的科威特聯合股票公司的股票交易，這些股份公司不能在 KSE掛牌。由于缺乏規章的限制和過量的流通性，股價急劇上升。而同時，交易仍由投機需求占主導。這誘使大量資金涌入這個黑市，同時又創造了對新股票的強烈的需求。在18個月內，不少于80家新公司相繼成立，而其中有許多家并沒有進行運作。事實上，許多公司一開始就沒有打算要運作，因為他們是為投機的目的而建立的。在一個股票發行的最初幾個禮拜里，它的黑市價在其票面價值上上漲一千倍也是很平常的。另外，一旦一個價格確定以后，它幾乎就不會再回降了。 1982年夏季之前，大約有6000個個人和公司在這個市場里進行火暴的交易。在這樣的局勢下，股價在幾周之內漲一倍時，人們更多地認為是正常的。在黑市上交易開始以投機氣泡為特征，這個事實被全體市場參與者所共有的牟利后的樂觀情緒所掩蓋。與規范的工業國家股票市場相比，股票黑市的主要特征為：1）它是非法的，它們建立從來沒有經過政府的批準；2）大部分股份屬于不進行運作的公司；3）股價與公司的經營情況幾乎無關；4）清算和交易由個別交易者執行，因而彼此規則大不相同；5）該黑市既不受中央銀行監督，也不受政府的監督；6）只有極少部分的交易者才保留有適當的交易記錄；7）股價幾乎一直上升，這就導致了讓人無法接受的杠桿水平；8）超額的利潤和過量的意外收獲波及經濟的其它方面，特別是價值受到很大吹捧的房地產市場。9）過期支票成為交易清算的承兌工具，并通常附有 60%~200%的保險金，這個保險金的比例依賴于清算期的長短。簡要地說，股票黑市就是一個無政府的股票交易場所，這里證券經常由無執照的，沒有受過訓練的經紀人以驚人的P/E比率進行交易。他們常采用粗糙的不合法的交易方式，并且在沒有任何規章或任何機構的監督下進行工作。而這個氣泡都早晚要破滅。這在1982年一個大交易者違約時發生了。在那時之前，這個黑市已經運行了2年。隨之而來市場崩潰給經濟的其它方面也帶來了沖擊，使得其余資產失去了相當部分黑市消失之前具有的價值。例如，官方的KSE股價指數下降了53%,而黑市上的證券失去了它們高峰價值的60%?98%。同樣，不動產價值也從黑市崩潰前價值上下降了40%?60%。另外，政府和中央銀行都無法防止這個結果。更糟糕的是，沒有一個機構知道發生當時交易的數量大小，例如交易者的數量，交易的規模，債務平衡，經記人的財務狀況等等。沒有人知道誰欠誰多少。那些直接進行交易的交易者只剩下手寫的“IOU”（Ioweyou）的欠條，過期支票，不同公司的股票（包括已破產的公司），一些不動產以及現金余額。大部分的這樣的交易者陷入他們在先前交易中積攢下的“ IOU”字條和過期支票的亂網之中。由于黑市的崩潰直接或間接影響了一大部分人，它引發了一個全國性的均衡危機。政府成立了一個特別工作隊，由財政部長領導來解決這個危機。這個特別工作隊開始重新建立交易的記錄，而隨之暴露的事實讓人感到震驚：1）這次危機的卷入者不僅包含個體投機者，還包含合法的銀行，工業企業和商業公司；2）總債務累計達940億美元，大約為國民生產總值的4.3倍；3）過期支票面值超過320億科威特元；4）95%的總帳面債務僅包含18個交易者；5）在危機發生過程中的前幾天宣布破產的企業達350家。黑市崩潰后的混亂難以解決是有許多原因的。首先，在崩潰時沒有交易者間的交易記錄。即使這些記錄可以獲得，他們的作用也會因為資產價值的逐日下降（這個下降在不同資產間不成比例）而受到限制。其次，即使這兩個障礙不產生任何影響，由于破產的交易者同時的彼此間的依賴性和Domino效應，也使得一次性解決該危機成為不可能。為了解釋清楚，假設有一個交易者A,在黑市崩潰之日，他的應收款項和現有的資產不夠支付他應支付的債務。他無法確認他對他每欠的一元實際可以償還多少，這是因為當破產的交易者B可收到的應收帳款可能依賴于C時，A并不知道B能對他欠自己的每一元債務償還多少。一個本來有償付能力交易者可能也就因為他的一個或多個債務人破產或他們資產的市場價值下降了而破產。特別工作隊第一要做的就是要掌握該危機的規模。 他們收集每個交易者資產和負債的財務信息，并估計他們不動產的市場價值。接下來，它再要派一下特別的分析小組，在本文作者主持下，提出一個合適的方案，來解決股票黑市的崩潰問題。小組一開始想到采用一個模擬的線性等式系統來產生一組資產負債比率，以便于消除危機。財政部長認為該建議是中肯的，他也意識到要解決問題就不可避免地要運用運籌學的方法。他直接地領導小組的工作，并調查了“數學”解的政治含義。當小組提供了他們提出的線性規劃的六種不同的目標函數時，這是相當有用的。本文提出的數學模型提供了法庭作決策所依賴的基礎。 它們同時也提供了政府最后解決方案的基礎，該方案包含對債權人如何作出補償和債務人再償還債務的計劃。這些模型被證明是有效的，公正的，而且是有力的。財政部長在最后解決方案的新聞公布會上總結了這一點。因此本文的目的，就是報告在解決黑市崩潰后產生的破產問題中所運用的數學方法。特別地，本文還致力于1）把有清償能力的交易者從已破產的交易者分辨出來；2）決定每個交易者的債務清償比例；3）依據交易者持有的資產的類型分配債務的清償比率。運用模擬線性等式系統并根據資產類型分配債務清償比率后， 本人提出了產生解決黑市問題方案的線性模型。本文還用了有具體數字的例子來解釋該方法。在文章結尾時，還列出了一些主要的關于數學方案實際運用的文獻。.問題的定義股票交易者iei被劃分為四類：不會破產的交易者；看起來不會破產的交易者；具有應收款項的肯定會破產的交易者和沒有應收款項的肯定會破產的交易者。 可如下歸類：不會破產的交易者：Ii={iCl|qi>pi},其中，qi為交易者i除應收款項外所擁有的全部資產，pi為交易者i對所有交易者的全部債務。看起來不會破產的交易者：I2={iCl|qi<pi，且qi+Ri>pi},其中，Ri為交易者i所有的應收款項Ri=2Nj=1,jirij （1）rij為交易者i對交易者j擁有的應收款項，N為交易者的總數。這群交易者被稱為看起來不會破產的交易者，可以這樣來想象：對交易者 i,即使他總共的現有資產加上應收款項超過他的債務，但是當他的一些債務人違約不足額清償債務時，他擁有的現有實際資產與能收回的應收款項之和就可能小于他所負的債務。這時，一個原來有清償能力的交易者也會變得無力清償債務。與這類市場導出的破產相比照，一個交易者可能會因抱著市場會轉為對他有利的希望，而通過保證金交易和類似的方法在市場上過度擴張，這種特有的個別違約可的用以下兩種類型來描述。有債權的肯定會破產的交易者：|3={i€l|qi<pi,qi+Ri<pi且Ri>0}o沒有債權的肯定會破產的交易者：|4={i€l|qi<pi,qi+Ri<pi且Ri=0}。并假設I3和|4非空。.一種線性規劃方法我們提出了一個線性規劃的模型來區分在所有的看似破產的交易者中哪些已經由于市場環境的惡化而肯定地要破產。另外，這個模型同時還能求出債務的清償比率 i,即每個交易者i實際償還的對市場崩潰倒塌前所欠債務的比率。這個模型是在一個推廣的與每個交易者的債權債務及資產有關的線性等式系統基礎上建立起來的。我們做了兩個重要的假設。第一個是每個破產的交易者對他的債權人一視同仁，將以相同的清償比率償還給他們的債務。如果說法律上規定在將資產分配給債權人之前應先將資產用于清償某些法律條文規定的事項，那么我們只能將余額納入模型中來。第二條假設是所有資產都是同質的，完全可替代的，并有相同的風險。在問題歸結初期首先要做的決策是，哪些交易者應該納入模型中加以考慮。注意到很大部分的黑市交易者由小的沒破產的交易者構成，在判定哪些交易者破產時，我們先排除那些Il定義的肯定不會破產的交易者和由I4定義的無債權的肯定會破產的交易者。這樣做僅是為了簡便，并不影響最終的結果。既然肯定不會破產的交易者能全部地清償他們所欠的債務，我們可以將他們排除。而|4內的交易者被排除是因為他們沒有應收帳款可以收回。 |1與|4內交易者對|2和|35內交易者的債務直接在線性模型之外一個單獨的算法中計算出來，并用來相應的增加 I2與I3內顧客的資產(不是指應收帳款)。所以，I1內交易者的債務將全額的加進去，而I4內交易者的貢獻則依其總現有資產與債務的比率來計算。這樣，問題可簡化為從一個較小的不確定是否破產的交易者集合中找出那些不破產的交易者以及估計 I2和I3內交易者的債務清償比率，這些交易者的資產應用于債務清償。這些交易者的資產分布為：a=qi+2Nj￡Iirij+2NjI4Xjrij,i€I2UI3, (2)這里ai為交易者i的包括實際從Ii和I4內交易者收到的應收帳款在內的所有資產，入j為肯定破產的交易者j償還其所有債權人的債務的清償比率。然而，作為該方法相應的結果，I2內的某交易者可能是不會破產并能將其歸并到集合I1里面。類似地，I3里的某交易者也可能會歸并入I4內。這樣，我們需要重復地計算Ii和I4交易者資產的分布若干次，直到剩下的I2與I3內的交易者不能再歸并入Ii和I4內。所有交易者之間的一般關系可以表示為：pi-2j=i,2,fi+1,Nij&(或＞)a, i=1,2,……N (3)由于某些交易者會破產，pi和rij都不會全額清償。問題的解應能分辨出這樣的一些交易者，他們的債務小于其資產加上他實際能收回的應收帳款。并且，模型將決定出債務清償比率，這會使不平衡趨近于平衡。關系式DX=A以矩陣形式代表了公式(3)。這里，D是債務矩陣。入為債務清償比率組成的向量， A為資產向量。D可以這樣給出：「Pi-ri2 -riN、-r2i P2 -r2N-r3i -r32 -r3NTOC\o"1-5"\h\zD=. . .■ ■ .. . .--rNi -rN2 Pn (4)D的主對角線上的元素代表總的交易者債務，第 i行的非主對角線的元素為他的應收帳款。第j列的非主對角線元素則代表他所欠的應付帳款。破產者的確認和債務清償比率的計算可通過解下面規劃( P)同時完成。■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Imaxi=iNCii (5)s.t. pi入i-2Nj=i,jirij入jai, i=1,2, ,N(6)Xi1 i=1,2,……,N(7)

Xi0 i=1,2,……,N（8）其中，Ci為一正數。■1??■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■I■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■I■■■■■I

目標函數目的在于求入j的正線性組合的最大值。選擇這樣的目標函數出自于這樣的考慮：1）如果所有的交易者都全額清償他們所欠的債務，那債務處理問題就自然小時了。所以，目標函數目標在于極大化入j的正線性組合。2）為了減緩這次市場崩潰對經濟的總的沖擊力，通過極大化入 j的值來最小化不能清償的債務是很慎重的。既然那些破產者會失去所有的財產，這樣就顯得更合理了。3）為了公平，所有的交易者都應公平對待。最優點:另外，對應任意正數Cj的規化的最優解其實與嚴格小于1的入j對應的行和列的組成的線性方程D^=A的解是相同的。換句話說，就是規劃（P）的最優基本可行解與Cj的取值無關，只要Cj保持正值（證明過程見附錄）。這可用含兩個交易者的問題來解釋：最優點:兩個交易者都不會破產兩個交易者都會破產僅交易者2會破產僅交易者1會破產（圖1）2-交易者問題的最優解這個圖表明可行域的形狀和最優基本可行解會根據兩個交易者或其中一個交易者是否有完全清償能力而變動。四種可能的解在圖中畫出來：1）兩個交易者都不破產，即由兩個交易者對應的不等式約束交于 e。在這種情況之下，唯一的極點a對應最優的基本可行解，在該點1=1,2=1；2）兩個交易者都破產，這時解用兩條虛線的交點 b給出，最優解為1<1,2<1；3）交易者1破產，而交易者2不破產，這時點c代表了最優基本可行解，1<1, 2=1；4）交易者2破產，而交易者1破產，這時1=1,2<1,點d代表最優基本可行解。該圖還畫出當兩個交易者都不破產時的了目標函數對應的線。 顯然無論在前述哪種情形之下，對應的最優可行解并不隨Ci的取值而改變。所以只要目標函數的系數保持取正值，他們不對最優解產生影響。規劃（P）包含有N個變量，N個由（6）給出的不等式約束，N個⑺給出的上界約束和（8）給出的非負約束。假設Ci=1,我們用IBM的數學規劃軟件包MPSX370在IBM4341型計算機上求解出了該規劃：1）（6）中第i行的松弛變量xsi的值，它表示交易者最后剩下的資產的價值。若該值大于0,則表示相應的交易者能償還債務，不致于破產。2）交易者在不超過上界的約束下的最大的債務清償比率 i0不會破產的交易者可以由i=1和xsi>0確認出來。他們的資產可調整為ai=ai-xsi這里a「為他們用于償債的那部分資產。求解出新的線性方程D=A'以后，結果i將與（P）的最優基本可行解一致。我們用一個含有四個交易者的例子來解釋一下I1到I4內的交易者的構成。這個例子同時說明如何用方程（2）來調整I2和I3內的交易者的資產。調整后的I2和I3內的交易者的資產將用來歸結為一個2-交易者的線性規劃模型（如圖一所描述）設：廠83-42-5-15^10D=-965-40-15Q=3-74-2345-2085I00050>.30,交易者1,2,3,4分別屬于I3,I2,I1和I4。他們的所有的債務和等于所有的債權和，正好形成一個閉的系統。求解這個例子時，能很容易地看出只有交易者3是不會破產的交易者，而交易者4是沒有任何債權的肯定會破產的。所以3=1,4=30/50=06用公式（2）對交易者1的資產進行調整a1=24（原有的10+從交易者3收回的應收款項5+從交易者4收回的60%的應收款項1560%）,同樣交易者2的資產為攵=52。為了確定1和2,我們歸結出下面的線性模型。值得提出的是原來的包含四個交易者的模型會產生相同的結果。max1+2,s.t.83142234,-91+65252,11, 21,10, 20.該規劃的解為1=0.746,2=0.903。圖1中的點b就代表了該最優解。這兩個交易者都會破產，而前面又已知道交易者4也將破產，所以這個例子下只有一個交易者即交易者3不會破產。破產者的資產加上他們實際收回的應收款項用于還債，交易者1只還74.6%,而交易者2與交易者4分別只還90.3%^口60%。在這個例子里，注意到一開始4個交易者共有128元資產。到最后，交易者1,2和4均只有0元，而交易者3將擁有全部的128元。交易者3將先將其欠交易者1和2的債務還清（分別為5元和40元），這時他從原有85元剩下40元。當LP解決后，他從交易者1那收回55.2元（74元的74.6%）,再從交易者2那收回20.8元（23元的90.3%）,從交易者4那收回12元（20元的60%）。這樣他最后擁有128元。這個簡單的例子說明了我們是怎樣用LP來解決問題的。這樣的方法使大規模問題也簡單了一些。在第四部分，我們提出了一個10個交易者的例子來解釋另一些補充的應用問題。3.按資產類型的清償比例到目前為止，討論已進行到可以將不會破產的交易者從會破產的交易者中確認出來，并確定每個交易者的債務清償比率。換句話說，我們已經知道為了將債務危機消除，每一個債務應為他所欠的每一科威特元支付多少錢。但是，這還保留了一個問題需要解決。既然每個交易者所有的資產包括許多類型（如股票，債券，現金不動產等）這些資產具有不同的風險，那么應如何組合各些金融工具來支付給每一個債權人么？正由于資產的價值僅代表現在名義的市場價值，我們認為只有按與債務人資產組合相同的比例來分配他們的資產給他們的債權人才是公平的。當考慮到某些資產的所有權會在各交易者之間轉移，而它的質量和形式都是無法預知時，這個問題就會變得復雜起來。于是，有必要設計一個系統，通過它，分配交易者的資產（假如有m種），而且使分配給他的債權人資產的構成比例與他的資產構成比率相同。這樣，就能達到公正的要求。這可以通過解決交易者問關于每種類型的資產 k的債務糾紛來完成。我們對每種類型的資產設計了一個聯立的方程來解決所有交易者個之間的糾紛。假設某交易者的資產a等于其所有各類資產的價值和。向量A用矩陣可表示為：

A=A=Ai+A2+(9)其中aaik、32kAk= .■3nkxJaik為交易者i擁有的k類資產的價值量。將（6）中不等式換為等式，并替換A,得到一個線形等式系統:TOC\o"1-5"\h\zD_=Ai+A2+ + Am所以_=D-1A1+D-1A2+……+D-1Am (10)設_k=D-1Ak, (k=1, ,m) (11)那么_=_1+_2+ + _m (12)等式（12）說明一個交易者的債務清償比率等于他所擁有的各種資產的債務清償比率之和。而且D-1顯然不依賴于各種資產類型k0所以，只需要求得D的逆陣并將D-1乘上m個資產向量Ak來得到m個_k的值。可把前面所講的根據資產類型來分配債務清償包含在一個稍大 LP內以直接提供每種資產k的_k。這可通過重新改寫約束（6）完成，每個約束將向量_k做為變量，向量Ak作為右邊值。應付款項pi和應收款項rij無論資產類型都保持一樣。再另給參數 k來表示不破產的交易者用完各種資產的優先級。這樣，可擴展規劃 P,以求出_k=（1k,2k，…，Nk）：（Pk） maxi=1Ni=1NCikiks.t. pi入ik-2Nj=1,jirijXjk Hk, i=1,2,…，N,k=1,2,…，m,2k=1m入ik1, i=1,2,…，N,入ik0, i=1,2,…，N,k=1,2,…，m.規劃（Pk）含有Nm個變量，N（m+1）個約束和Nm個非負約束，而規劃（P）僅含有N變量，N個約束，N個上界限制和N個非負限制，所以規劃（Pk）比（P）要大。求解（Pk）比求解（P）也要復雜。我們可以有兩種選擇來求解（Pk）。即直接求解和依10

據等式（11）按步求解（P）。在結果中的_k可用來計算實際的交易者的各種資產的債權債務清償數。 這個方法保證了一個唯一而且公平的資產支付方式和解決所有交易者問債務問題的方法。4.模型的應用：一個有具體數字的解釋性例子到目前為止，本文給出了三個模型：線性規劃模型（P）,債務清償分配的線形系統等式（11）,以及擴展后的線性規劃模型（Pk）o有兩種選擇可以應用這些模型。一是用（P）將不會破產的交易者從破產的交易者中分辨出來，如果所有的交易者都要破產，那么按等式（11）來資產類型非債務清償比率。但如果某些交易者不會破產，那我們就要根據一些事先定好的偏好系統按資產類型調整不會破產的交易者的資產價值。 在當前的問題里，資產被分為四類：現金及KSE資產，不動產從不會破產的交易者那里收回的債權，以及黑市的股票。政府規定的資產優先級為現金，不動產，債權和黑市公司股票。調整后的新的資產向量用在等式（11）中計算按資產類型分配的債務清償比例。我們也可以一開始就用（Pk）一次性求解。下面這個包含有10個交易者的數值性例子,2010607Q2-4-2-1-20-1-2-2-1220-3-6-2-4-3-5-2-2-3-40150-10-8-1-2-4-5-2TOC\o"1-5"\h\z2 -15 -10 800 -25 0 -10 -4 -2D=0-10-12-960-5-6-5-3-26 -12 -15 -2 -7 100 -2 0 -6 -21 -4 -10 -12 -2 -2 50 -2 -3 -14 -8 -20 -4-2-10 -3 60 -3 -30 0 0 0 0 00 040 01 -2 -3 -1 0 -2-1 -2-2 20矩陣滿足下列條件1）所有對角線元素為正；2）所有非對角線元素非正；3）對每個交易者，債務和嚴格小于債權之和。依據四種交易者類型的劃分原則，這10個交易者可如下劃分:1）不會破產者11={i=1022>20};2）看似不會破產者I2={[i=1 20<28,36>28],[i=5 18<60,70>60],[i=6 80<100,11132>100]};3）擁有債權，但肯定會破產的交易者13={[i=210<220,38<220,28>0],[i=360<150,135<150,75>0],[i=47<80,75<80,68>0],[i=79<50,46<50,37>0],[i=82<60,59<60,57>0]};4）沒有債權，肯定會破產的交易者 I4={i=940>5,R=0}。以上劃分嚴格遵照債務債權及現有資產間的不等式關系。 可以用它在現實生活中劃分交易者類型，求解方程D=Q,可以部分地完成劃分。解為：T=[1.120,0.145,0.610,0.694,0.822,1.098,0.645,0.701,0.125,1.521].開始時，認為根據線性等式系統的解，任何一個 1的交易者都屬于不會破產的交易者，但這并不是必然的情形。原因在于>1表明不會破產的交易者在理論上應清償大于100%的債務，這樣就增加了所有的s的值，使那些在破產邊界點的交易者不會破產。依據這個情況，交易者1,6,10都有大于1的值。因此，都屬于不會破產的交易者或相當接近于不會破產。真正的要辨認這些交易者只能通過解規劃（P）來完成。這個規劃限制不能超過1。通過LP方法來加上這個限制，使得該方法因不會產生大于1的而優于前面的線性方程組。債務清償比率求出為：T=[1,0.133,0.588,0.634,0.771,1,0.604,0.635,0.125,1].正如預料中那樣，交易者10的值等于1,因為他是唯一的一個排除應收款項以外現有資產大于債務的交易者。也就是，即使他從他的債務人那收不回任何東西，他也有能力完全清償他的債務。交易者1,5,6為看似不會破產的交易者，是因為他們只有在收回應收款項時才不會破產。正如求解結果一樣，交易者1和6從I2中轉移到I1；交易者5破產了，因為他的=0.771;交易者9的清償比率可以簡單地用其資產比上債務得到。這個例子表明了原始的依照IiI4對交易者的劃分并不總能夠將破產和不破產區分開來。同樣地，求解D=Q最好情況下也只能提供部分的解，最壞的情形下，是一個錯誤的解。我們只能通過求解LP的模型（P）來得到準確的解（如表1）（表1）債務處理結果交狀資應應貸方實際應付款構成12易收付-資者態產款款應收款產計1SS20162881.009.5418.4628.002I1028220-1820.1319.3510.0029.263I6075150-150.5928.2260.0088.204I76880-50.6343.737.0050.725SI185260100.7728.2718.0046.266SS8052100321.0027.0572.95100.007I93750-40.6021.219.0030.208I25760-10.6436.102.0038.109ZR5040-350.130.005.005.0010S221420161.007.7912.2120.00合計233399808-1760.539221.26214.60435.74S:有償付能力的，I:要破產的，SI:有償付能力轉為要破產的，SS:有償付能力轉為有償付能力的，ZR:要破產且應收款為零的例如，雖然交易者1看似不會破產，因為他有28元的應付款項，36元的資產應收款項（包括現有的20元資產和6元的應收款項），他必須至少收回他的16元應收款項中的8元，才能避免破產。依據他的8個債務人（即除交易者7以外的所有交易者）的值，他收回了9.544元的應收款項，因此沒有破產。但交易者 5卻沒有這么幸運，盡管他開始時有10元的凈資產，但他只收回了60元應收款項中的28.7元，當這些錢加到他現有的除應收款項外的資產中，也不夠完全清償他所欠的 50元的債務。他只能清償77%的債務并破產。再看破產的交易者2,3,4,7,8,9:他們的凈資產在表一中第五列中表示出來，都為負值。他們的命運早就知道了。他們最后將失去他們擁有的各種資產，并只能依照他們的清償比率來償還債務。以交易者7為例，他現有資產9元，債權37元，但他欠了50元債務這樣，他凈資產為-4=（9+37-50）,當一切妥當后，他只能收回21.21元的債權，這些錢加上他現有的資產，只夠他償還30.2元的債務，也就是他所有債務的60.4%一個不尋常的情形就是假想的交易者9。他沒有應收款項，又只擁有較少的資產，并且負有沉重的債務。像這樣的交易者，他們負有沉重的債務，同時沒有應收款項或只有少得可以忽視的資產，通常我們懷疑他們隱瞞了真實的資產數額。對這10個交易者，或者對一個整體的市場，讀者可注意到：1）與一開始共有4個不會破產的交易者和6個會破產的交易者相比，消除債務的模型產生了3個不破產的交易者和7個會破產的交易者；2）總共的債務清償比率為0.539,也就是只有差不多一半的債務會得到清償；3）市場崩潰后的802元的債務中，372.1元得不到清償，214.6元由資產的分配來清償，13剩下的221.3元通過10個交易者之間的清算消除掉。接下來要做的是確定按照資產的類型來分配債務清償時的支付結構。 它賴于各個交易者原始的資產組合以及他從他的債務人那里收回的應收款項的數量和類型。 與真實的市場研究一致，表2給出了四種類型的資產：現金、不動產、債權和黑市證券。表的頂部的矩陣給出了原始的每個交易者的資產結構狀況， 中間的表給出了新得到的包含原有資產和實際收回應收款項的資產的結構， 最下面的部分為各個交易者最后的資產分配系數。下面來說明一下資產的分配，借以解釋這個問題在黑市背景下提出的方式。以交易者1為例來說明不會破產的交易者的情況。他的原始資產結構為3元現金，5元不動產，5元債權和7元的黑市證券。在加上他實際收到的應收款項后，他四個類型資產分別為5.07元,7.99元,8.11元和8.37元。因為他不會破產，他的值之和必為1（0.18+0.26+0.26+03。也就是他將這樣來清償他的債務：50.7元用現金，7.22元用不動產，7.34元用債權，8.37元用黑市證券。在償還債務以后，他剩下 0元現金，0.77元不動產，0.77元債權和0元的黑市證券。作為破產交易者的例子，我們來考慮交易者 3。他原始的資產結構為10元的現金，20元的不動產，27元的債權和3元的黑市證券；加上他實際收回的應收款項后，資產結構變為各類資產分別為15.49元，29.37元，35.8元和7.56元。既然他欠的每1元債務只能償還58.8分，那他將這樣來償還他的每一元債務：用現金償還 10.3分，用不動產償還19.6分，用債權償還23.9分，而用黑市證券償還5分。注意，對每個破產交易者而言，他們償還債務的支付方式按資產類型來劃分，各類型資產所占的比例與他們原始的資產加上實際收到的應收款項的各類資產的分布百分比是一樣的。但正如交易者 1所顯示的那樣，對不會破產的交易者而言，情況并非如此。因為他們并不需要耗掉他們所有的資產。模型同時還能給出各個不會破產的交易者各類資產的余額（表中沒有列出來）。表2的最后一列給出的各交易者的 值與表1第六列中的數值是一樣的。（表2）按資產類型分配債務清償比率交易者現金 /、動廠 應收款 黑市證券 合計1一.初始資產組合3 5 5 7 2014

2134210310202736041123752105118620302648071620980200291211510467522合計43857926233二.資產加實際應收款15.0727.9878.1148.37129.54425.0939.35310.1884.71529.349315.49129.37135.8047.55588.221410.87315.08716.8007.97250.73257.81219.34314.6044.51646.274624.99538.88734.8148.353107.04875.29012.7649.2432.91530.21287.47513.50512.2764.84038.09791.0002.0001.0001.0005.000105.5788.5709.6126.02929.790三.按資產類型的債務清償率分配10.18110.25780.26210.29901.00020.02310.04250.04630.02140.13330.10330.19580.23870.05040.58840.13590.18860.21000.09970.63450.13020.32240.24340.07530.77160.24990.32300.34350.08351.00070.10580.25530.18490.05830.60480.12460.22510.20460.08070.63590.02500.05000.02500.02500.125100.26800.22410.23080.27711.0005.法律和金融方面的考慮解決象科威特這樣的小國家內發生的政券市場危機也包括了復雜的金融、法律、政治和社會問題。雖然作者擔任的任務只是數學的定義和合適的債務清償比率，但如果不描述其它一些主要的解決黑市問題中的舉足輕重的問題，就會顯得不完全。因為這次市場崩潰已經損壞了人們對銀行系統的信心，而這又反過來嚴重地威脅到整個經濟的興衰。所以政府一開始就決定要負起完全的責任來解決這次的危機。 接下來,政府采取了兩個重要的步驟來解決危機。第一，通過承擔所有交易者的債務、資產和應收款項及決定合適的解決危機的方案來扮演一個控股公司的角色。 由于不動產和另外一些有形資產的不可分割性，政府作為一個控股公司是很有效的。接下來就是繁瑣的數據15收集工作和尋找各種各樣的方法來使交易者之間不再有債務瓜葛。 由于黑市交易者和經紀人的低質量的交易記錄，建立一個健全的數據庫是一個很煩瑣的工作，而這項工作花掉了14個月的時間。由于政策制定者很清楚地認識到破產者們實際的加權債務清償比率只有 0.25,政府進行了另外一個擴充的審議過程。他們的目標是選擇最合適的補償債權人的方案，處置債務人，支持銀行并恢復人們對國家經濟的信心。所有這些都控制在政府能承擔的盡可能少的花費以內，并且要盡快的阻止資產的貶值。實際上，在處理這個危機中政府遇到的最大的問題是面對交易者金融數據的匱乏和資產價值的進一步貶值帶來的不可避免的延遲時，他們需要做的是嘗試作出又快又令人滿意的結論。在組織上，政府成立了幾個委員會和任務組來解決危機。他們是：1）票據交換所：它的任務是報告、收集、匹配、修正和系統化個別的金融帳目；2）清算代理處：它的目的在于設計和運用結束危機的政策。票據交換所面臨許多的問題。如交易匹配的不確定，市場導致的不參加證券市場活動的普通商業企業的破產，持續的不對稱的證券和不動產的價值的下跌。另外，他們還得處理一些包括流動資金流向國外這樣的資金抽逃在內的事件。 特別在清楚地知道政府會象在1978年那樣幫助破產者擺脫困境時，這就顯得尤為重要。這兒也有許多法律問題。最有爭議的是破產者是否應受到科威特現行商業法律的約束。該法律規定那些沒有足夠資金卻開出支票的人應蹲監獄。既然幾乎所有的破產者都開出了不能付款的支票，那這些人都應因觸犯法律而坐牢。這個結果從政治、社會和經濟的角度來看都是不可取的。另外許多原本不會破產的交易者也會破產，盡管他們自己并沒有犯什么錯。另外一個看法就是建立一個特殊的法庭專門處理破產事件。這是一個很流行的觀點，因為它保證了那些故意犯法或犯錯的交易者受到現有法律的制裁。因此一個特殊的法庭就這樣建立起來了，它有著宣布最后法令的權利。在危機發生期間，還有許多引人矚目的事件。一個就是人們懷疑政府所扮演的角色。來自國內和國外的謠言和恐懼心理使得國家經濟的面貌進一步惡化。 在最需要它來扭轉經濟時，違約債務卻充斥了整個信用市場。資產的貶值也導致了經濟的進一步失敗和無數包括銀行系統在內的未清債務。另一方面，一些人反對政府出面幫助破產者脫離困境，他們的理由是政府如果承擔應由個別交易者承擔的商業風險是極不謹慎的。 這個爭論受到這個事實的支持，那就是在1978年，政府已經幫助了一些在相同卻相對較小的證券市場上的破產交易者。166.黑市解決方案為了決定人的值，清算代理處分三輪執行了方案。第一輪包含了包括最大的 18個交易者在內的120個交易者，他們后來被證實構成了集合I2和I3中所有的交易者。這一組內的債務占了總帳面債務的95%0一年以后，當足夠的數據收集好以后，包含有254個交易者的第二輪開始進行。幾個月以后，最后一輪也開始進行，這一輪里包含了約100個新的破產交易者。由于資產的不斷貶值，一些在第一輪里沒有破產的交易者在第二輪進行時破產了，這樣就增加了破產交易者的數目。另外，個別交易者的入值也因總資產和應收款項價值的下跌而持續下降。迫于不斷增加的要隱藏危機的政治壓力和要向公眾公開入值，清算代理處被迫在第二輪和最后一輪中假設資產的價值與第一輪進行時的價值相同。這樣，從方法論的角度看，前一輪的人值一后一輪的人值不會不相同。當資產價值低于其原始價值時，政府不得不承擔貶值帶來的損失。于是清算代理處按破產者的資產（決定其入值前的資產）收取1%的手續費來支付這筆損失。最后的解決方案包含了以下一些政府行為：1）政府在KSE上大量地收購證券，以恢復公眾對官方證券交易的信心，使其達到1984年底以前它達到的占有所有公開發行分額的50%這一水平。但由于投資者的信心不足，使得同時市場的資本總額又下降了10%,這說明政府的這一舉措是無效的；2）新程序出臺，加強了中央銀行對銀行系統的監督和 KSE的管理；3）政府在銀行系統設立了大量的交易資金和低利率存款，保證私人存款的安全性，并確保銀行的股份持有者能應付他們資產價值的損失。這些都是為了恢復銀行進行正常商業活動的能力；4）在1986年會付給小黑市債權人，即那些具有小于或等于 170萬元債權的交易者現金和（或）政府債券，以交換他們對政府的要求權，這樣大大的減少了黑市債券人的數目；5）對其他所有的破產者，政府制定了一個包含銀行系統在內的計劃（即人們熟知的1986年DifficultCreditFacilitiesSettlementProgram）,依據這個計劃，有關的銀行要制定出一個有關與各個違約者將簽定軟條件的償還計劃，這可使交易者換得各種政府抵押品和支持方案。從前面的敘述可以看出，這個解決危機的方案是相當耗費才力的，要恢復對銀行系