.z.高三數學導數與積分經典例題以及答案一.教學內容：導數與積分二.重點、難點：1.導數公式：2.運算公式3.切線，過P（）為切點的的切線，4.單調區間不等式，解為的增區間，解為的減區間。5.極值（1）時，，時，∴為極大值（2）時，時，∴為的極小值。【典型例題】[例1]求下列函數的導數。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。分析：直接應用導數公式和導數的運算法則解析：（1）（2）當時，；當時，，∴（3）（4）（5）（6）[例2]如果函數的圖象在處的切線過點（0，）并且與圓C：相離，則點（）與圓C的位置關系。解：∴切過（0，）∴∴與圓相離，∴∴∴點（）在圓內[例3]函數在上可導，且，則時有（）A.B.C.D.解：令∴∴∴∴任取∴即故選C[例4]分別為定義在R上的奇函數、偶函數。時，，則不等式的解為。解：令∴∴奇，偶奇函數∵∴∴解為[例5]已知函數在處取得極值2。（1）求的解析式；（2）滿足什么條件時，區間（）為函數增區間；（3）若P（）為圖象上任一點，與切于點P求的傾斜角的正切值的取值范圍。解：∴∴列表∴（－1，1）↑（1，+∞）↓令∴[例6]（1）在*=1，*=3處取得極值，求；（2）在，且，求證：（3）在（2）的條件下，比較與大小關系。解：（1）∴（2）∴（3）*∵∴∴*式∴[例7]已知拋物線和。如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。（1）取什么值時，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（2）若和有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。分析：分別利用曲線方程求切線的方程再比較，從而求得滿足條件；對于（2）兩條公切線段互相平分，也就是兩公切線段的中點坐標相同。解析：（1）函數的導數，曲線在點的切線方程是即①函數的導數曲線在點的切線方程是即②如果直線是過P和Q的公切線，則①式和②式都是的方程所以消去得方程若判別式，即時解得，此時點P與Q重合即當時，和有且僅有一條公切線由①得公切線方程為（2）由（1）可知，當時和有兩條公切線設一條公切線上切點為，其中P在上，Q在上，則有線段PQ的中點為同理，另一條公切線段的中點也是所以公切線段PQ和互相平分[例8]已知拋物線過點，且在點處與直線相切，求的值。解析：∵∴∵拋物線在點處與直線相切∴，且即又拋物線過點（1，1）∴（3）將（1）（2）（3）聯立解得[例9]設函數的圖象與軸的交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為，若函數在處取得極值為0，試確定函數的解析式。解析：∵的圖象與y軸交點為P∴點P的坐標為∵曲線在P點處的切線方程為，故P點坐標適合此方程，將代入后得又切線的斜率為而，∴又函數在處取得極值0∴且即由（1）（2）解得∴[例10]已知曲線。（1）求曲線在點P（1，1）處的切線方程；（2）求曲線過點Q（1，0）的切線方程；（3）求滿足斜率為的曲線的切線方程。解析：（1）∵，又P（1，1）是曲線上的點∴P為切點，所求切線的斜率為∴曲線在P點處的切線方程為，即（2）顯然Q（1，0）不在曲線上，則可設過該點的切線的切點為，則該切線斜率為則切線方程為（*）將Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切線方程為（3）設切點坐標為，則切線的斜率為解得∴或，代入點斜式方程得或即切線方程為或[例11]已知，函數，設，記曲線在點處的切線為。（1）求的方程；（2）設與*軸交點為，證明：①；②若，則。解析：（1）求的導數：，由此得切線的方程：（2）依題意，切線方程中令①∴當且僅當時等號成立②若，則，，且由①，所以[例12]設函數，其中，求的單調區間。解析：由已知得函數的定義域為，且（1）當時，由知，函數在上單調遞減（2）當時，由，解得隨*的變化情況如下表：*－0+↓極小值↑從上表可知當時，0，函數在上單調遞減當時，，函數在上單調遞增綜上所述：當時，函數在上單調遞減當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增[例13]已知函數在R上是減函數，求的取值范圍。分析：因為在R上為減函數，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函數的導數：（1）當時，是減函數，且所以，當時，由知是減函數；（2）當時，由函數在R上的單調性，可知當時，是減函數；（3）當時，在R上存在一個區間，其上有所以，當時，函數不是減函數綜上，所求的取值范圍是[例14]設為實數，函數在和上都是增函數，求的取值范圍。解析：其判別式（1）若，即當或時，，在上為增函數∴（2）若，恒有，在上為增函數∴即（3）若，即，令解得，當或時，，為增函數當時，，為減函數依題意得由得，解得由得解得從而綜上，的取值范圍為即【模擬試題】（答題時間：60分鐘）1.已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）A.3 B.2 C.1 D.2.設，，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是（）A. B. C. D.3.在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（）A.3 B.2 C.1 D.04.的導數為（）A. B.C. D.5.已知函數在處的導數為3，則的解析式可能為（）A. B.C. D.6.設分別為定義在R上的奇函數和偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7.函數的導數為（）A. B.C. D.8.設是函數的導函數，的圖象如下圖所示，則的圖象最有可能的是（）9.函數在處的導數等于（）A.1 B.2 C.3 D.410.已知與是定義在R上的連續函數，如果與僅當時的函數值為0，且，則下列情形不可能出現的是（）A.0是的極大值，也是的極大值B.0是的極小值，也是的極小值C.0是的極大值，但不是的極值D.0是的極小值，但不是的極值11.已知二次函數的導數為，對于任意實數，都有，則的最小值為（）A.3 B. C.2 D.12.設函數是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（）A. B.0 C. D.513.已知對任意實數*，有，，且時，，，則時（）A. B.C. D.14.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.15.設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）16.若對任意，，則是（）A. B.C. D.17.是定義在上的非負可導函數，且滿足任意正數，若，則必有（）A. B.C. D.18.曲線在點處切線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.135° D.－45°19.設，，，……，，則等于（）A. B. C. D.20.拋物線到直線的最短距離為（）A. B. C. D.以上答案都不對21.已知函數的圖象與*軸切于非原點的一點，且。（1）求的值；（2）函數，若函數在區間上單調，求m的取值范圍。22.已知函數是R上的奇函數，且，。（1）求的值；（2）在的圖象C上任取一點P，在點P處的切線與圖象C的另一個交點為Q，設點P的橫坐標為，線段PQ中點R的縱坐標為。①用表示；②當時，求的最大值。23.已知函數，（為常數），若直線與，的圖象都相切，且與的圖象相切的切點橫坐標為1。（1）求直線的方程及的值；（2）當時，求在上的最大值。24.已知函數。（1）若在上是增函數，求實數的取值范圍；（2）若方程至多有兩個解，求實數的取值范圍。【試題答案】1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C8.C 9.D 10.C 11.C 12.B 13.B 14.A15.D 16.B 17.C 18.B 19.C 20.B21.解：（1）設函數的圖象與*軸切于點∵∴①又②由①－②，代入①式得把代入中，則令，當時，當時，，不符合題意綜上所述，（2）由（1）知∴∵在上單調，即在上恒大于零或恒小于零又由二次函數性質，有恒大于零當時，∴當時，∴m無解綜上所述22.解：（1）由為奇函