一、課程目標解讀選修系列4-5專題不等式選講，內容包括：不等式的基本性質、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、數學歸納法與不等式。通過本專題的教學，使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系和相等關系都是基本的數學關系，它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用；使學生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內容分析作為一個選修專題，雖然學生已經學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內容的完整性，教材回顧了已學過的不等式6個基本性質，從“數與運算”的思想出發，強調了比較大小的基本方法。回顧了二元基本不等式，突出幾何背景和實際應用，同時推廣到n個正數的情形，但教學中只要求理解掌握并會應用二個和三個正數的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數學教學中的內容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經學過，此處再現也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應通過實際實際例子，使學生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應用基本不等式進行放縮等(見分節教學設計)。本講內容也是本專題的一個基礎內第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質上的新增內容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數極值中的應用是教材編寫和我們教學的重點。事實上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如猜想——證明——應用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關知識。第四講是“數學歸納法證明不等式”．數學歸納法在選修2-2中也學過，建議放在第二講，結合放縮法的教學，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數學估算方面的初步運用。三、教學目標要求本性質掌握不等式的基本性質，會應用基本性質進行簡單的不等式變形。2．含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法4．幾個著名的不等式(1)認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數的算術—幾何平均不等式并應用。5．利用不等式求最大(小)值會用兩個或三個正數的算術—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數的最值。6．數學歸納法與不等式了解數學歸納法的原理及其使用范圍；會用數學歸納法證明簡單的不等式。會用數學歸納法證明貝努利不等式。四、教學重點難點1、本專題的教學重點：不等式基本性質、均值不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應用、排序不等式；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學總體建議1、回顧并重視學生已學知識學習本專題，學生已掌握的知識有：第一、初中課標要求的不等式與不等式組(1)根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數軸確定解集。(3)根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的不等式(組)的實際背景。(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題。(4)基本不等式及其應用(求最值)。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等內恰當的習題，采用題組教學的形式，達到復習鞏固系統化的效果，類似于高考第二輪的專題復習，構建知識體系。2、控制難度不拓展于未知數的函數主要限于一次函數。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數學歸納法，應用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。說，往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數學思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的技巧之中。3、重視不等式的問題主要是用二個或三個正數平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應用不作要求。4、重視展現著名不等式的背景幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應當引導學生了解重要不等式的數學意義和幾何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質。特別是對第一講不等式和絕對值不等式等式的基本性質，并能加以證明；會用不等式的基本性質判斷不等關系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。教學重點：應用不等式的基本性質推理判斷命題的真假；代數證明，特別是反證法。一、引入：日常生活中息息相關的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、等，都屬于不等關系的問題，需要借助不等式的相關知識才能得到解決。而且，不等式在數學研究中也起著相當重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數學歸納法和它的簡單應用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結構，事與事成因與結果的不同等等都表現出不等的關系，這表明現實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發，說明本章知識的地位和作用。分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，只要證>即aa+ma+ma可。怎么證呢?二、不等式的基本性質：軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數軸上的表示可a<b一ab<0教學札記得出結論：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可。三、典型例題：0的大小關系，得出這兩個多項式的大小關系。例3、已知a>b>0，c>d>0，求證：ab>。dc課堂練習：2：已知a>b>0，c<d<0,求證：<。acbd五、課后作業：六、教學后記：推導并掌握均值不等式定理；2.能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。證證明：因為x，y都是正數，所以≥xy2由上面的結論，我們又可得到2證明：∵(a)2＋(b)2≥2ab∴a＋b∴a＋b≥2ab，即≥ab22定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.4)幾何意義.42(1)積xy為定值P時，有≥P∴x＋y≥2P2S1241(2)和x＋y為定值S時，有xy≤S1241說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：ⅰ)函數式中各項必須都是正數;)函數式中含變數的各項的和或積必須是常數；ⅲ)等號成立條件必須存在。(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.2(ab＋cd)(ac＋(ab＋cd)(ac＋bd)4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcdm低總造分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理.lxl＝240000＋720(x＋xx＝240000＋720×2×40＝297600x元.評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件.1通過本節學習，要求大家掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，五、課后作業101．能利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；2．了解基本不等式的推廣形式。教學難點：利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題定理3：如果a,b,cR，那么>3abc。當且僅當a=b=c時，等號成立。+3a+a+^+a推廣：12n≥naa^a。當且僅當a=a=^=a時，等號成立。n12n12na=b=c時，等號成立)呢？試證明。x3111解一：y=2x2+=2x2++>332x2.xxxx33解二：y=2x2+>22x2.=26x當2x2xx∴y=26.=23312=26324min2R，那么a3+b3+c3>3abc(當且僅當+2xmin=即x=時x21+(ab)b若a,bR且a>b,求+(ab)b由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要_____________________例2：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積變式訓練2已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．由例題，我們應該更牢記一____二_____三________，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定____________，和定______________.三、鞏固練習xx2xABCD.122.函數y=4x3．函數y=x4(2x2)(0x2)的最大值是()A.0B.1C.D.Da3b3c3通過本節學習，要求大家掌握三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，五、課后作業1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法，會進行簡2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。。教學過程：關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節課探討不等式證明這類問題。1．請同學們回憶一下絕對值的意義。(|x，如果x>0幾何意義：在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：abbba+b=a+b?ab=a+b?二、講解新課：b方法二：分析法，兩邊平方(略)(1)若把a,(1)若把a,b換為向量a,b情形又怎樣呢？ rrrararbrrb定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數，則ab≤a士b≤a+b注：當a,b為復數或向量時結論也成立.12n12n等號成立.三、典型例題：例1、已知x例1、已知xa<,yb<，求證(x+y)(a+b)<c.22證明(x+y)(a+b)=(xa)+(yb)xa+ybccxa<,yb<，22cc∴xa+yb<+=c22 (2)46aaaa證明x<,y<，∴2x<,3y<，4622aa由例1及上式，2x3y2x+3y<+=a。22不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路每天在生活區和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區應該建于何處?解：如果生活區建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)··x·課堂練習：1.(課本P習題1.2第1題)求證:2046五、課堂小結：1．實數a的絕對值的意義:⑵a的幾何意義:2．定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數，則a-b≤a士b≤a+b注意取等的條件。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。。一、復習引入：在初中課程的學習中，我們已經對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。請同學們回憶一下絕對值的意義。在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。即在此基礎上，本節討論含有絕對值的不等式。二、新課學習：關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內含有未知數的不等式(也稱絕對值不等式)，關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據是絕對值的幾何意義.{x|a<x<a}，它的幾何意義就是數軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區間(－a，如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。{x|x>a或x<a}，它的幾何意義就是數軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。三、典型例題：解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數軸上第二講證明不等式的基本方法。一、新課學習：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質：二、典型例題：242424x本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。2)商值比較法：設a>b>0,babababbab例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設從出發地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t,t。要回答題目中的問題，只要比較t,t的大小就可以了。12解：設從出發地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為ttSS2SS(m+n)t,t，根據題意有1m+1n=S，+=t，可得t=，t=，12222m2n21m+n22mn1212從而知甲比乙首先到達指定地點。三、課堂練習：a+b+c比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差(或作商)、變形、判斷符號。“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。課題：第02課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法1、結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。一、引入：綜合法和分析法是數學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發，根據不等式的性質或已知的不等式，逐步推導出要證的不等式。而分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知這是“分析法”。二、典型例題：證法一分析法要證a3+b3>a2b+ab2成立.abab>0顯然成立.由此命題得證。證法二綜合法a+ma例3、已知a，b，m都是正數，并且a<b.求證：>b+mb證法一要證(1)，只需證b(a+m)>a(b+m)要證(2)，只需證bm>am要證(3)，只需證b>a已知(4)成立，所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。例4、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設截面的周長為2"(2")4L，則周長為L的圓的半徑為L，截面積為"|(L)|22"(2")4 (4 (4)(2")(4)證明：設截面的周長為L，則截面是圓的水管的截面面積為"|(證明：設截面的周長為L，則截面是圓的水管的截面面積為"|(2")|，截面是正方形的 (4)(2")(4)"L2L2"L2L2L2"4 (2" (2")(4)這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。c兩邊同時除以2即得(1)。222所以(1)成立。bcad教學札記(5)顯然成立。因此(1)成立。分析：本題可以考慮利用因式分解公式2三、課堂小結：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數或代數式，移項，在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數或一個正的代數式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常課堂練習：1x114xyx+y(1)>ab+cd;(2)>4abcd.4通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明教學重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。教學過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步第二步第三步第四步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；作出與所證不等式相反的假定；從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；二、典型例題：2設f(1),f(2),f(3)都小于1，則2另一方面，由絕對值不等式的性質，有(1)(2)(1)、(2)兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有一個滿足某個不等式時，通行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？14111證：設(1_a)b>,(1_b)c>,(1_c)a>,4441①41以上三式相乘：(1_a)a?(1_b)b?(1_c)c≤與①矛盾∴原式成立64三、課堂練習：3、若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個小于2。xy提示：反設≥2，≥2xy：第一步第二步第三步第四步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；作出與所證不等式相反的假定；從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；1．感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。2．探索用放縮法證明不等式的理論依據和技巧。1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2．體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。一、引入：系后，再應用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學習高等數學時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若n是自然數，求證+++^+2.122232n211k2k(k1)k1kk2k(k1)k1k11+++^+11223n1n1n注意：實際上，我們在證明1+1+1+^+1想2的過程中，已經得到一個更強教學札記122232n22232n2n111222232n一112n一12nnnn「logn2]2想|n|=1L2」nn三、課堂練習：nnnnn!常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式，(Ⅰ)如果分子不變，分母縮小(分母仍為正數)，則分式的值放大；(Ⅱ)如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。第三講柯西01課時二維形式的柯西不等式(一)式及向量形式.教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學難點：理解幾何意義.教學過程：一、復習準備：2方法？urrurrurrurrurrurrab即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)→討論：上面時候等號成立？(b是零向量，或者a,b共線)證法：(分析法)平方→應用柯西不等式→討論：其幾何意義？(構造三角形)112211221212分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明R112233說明：在證明不等式時，聯系經典不等式，既可以啟發證明思路，又可以簡化運算。所分析：利用不等式解決最值問題，通常設法在不等式的一邊得到一個常數，并尋找不等式取等號的條件。這個函數的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求52+(2)2(x1)2+(5x)2當且僅當2x1=55x時，等號成立，即x=時，函數取最大值63abababab1.練習：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式二維柯西不等式的代數形式、向量形式；三角不等式的兩種形式(兩點、三點)二維形式的柯西不等式(二)教學目標：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經典不等式的一般方法教學重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式.教學過程：一、復習引入：意義？yxxyy112212122.討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3.如何利用二維柯西不等式求函數y=x1+2x的最大值?acbda+b2.c2+d2.1.最大(小)值：→構造柯西不等式的形式+解答要點：(湊配法)x2+y2=1(x2+y2)(32+22)>1(3x+2y)2=1.1313討論：其它方法(數形結合法)①出示例2：若x,yR，x+y=2，求證：+>2.+xy分析：如何變形后利用柯西不等式？(注意對比→構造)教學札記+=(x+y)(+)=[(+=(x+y)(+)=[(x)2+(y)2][()2+()2]>…xy2xy2xy討論：其它證法(利用基本不等式)abRab)(1+1)>4.+ab三、應用舉例：1例1已知a,a,…,a都是實數，求證：(a+a+^+a)2a2+a2+^+a212nn12n12nn式的形式。分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發我們，可以用柯西不等式進行證明。1.練習：教材P8、9題37149xyzxyz+的最小值。xyz111abc五、布置作業：教材P1、6、7題37xyabxy+++比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構造等技巧.1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義；2.通過運用這種不等式分析解決一些問題，體會運用經典不等式的一般方法教學重點：一般形式柯西不等式的證明思路，運用這個不等式證明不等式。教學過程：一、復習引入：定理1：(柯西不等式的代數形式)設a,b,c,d均為實數，則其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。xyxyxy則：112233(xx)2+(yy)2+(xx)2+(yy)2>(xx)2+(yy)2121223231313可得到(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)>(ab+ab+ab)2當且僅當α，β共線時，123123112233即β=0，或存在一個實數k，使得a=kb(i=1,2,3)時，等號成立.ii這就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？iin12n1122nn即iiiiaaaii=1i=1i=112ni證明：構造二次函數：f(x)=(axb)2+(axb)2+^+(axb)22nniiiii=1i=1i=1iiiii=1i=1i=1iiiiiii=1等號當且僅當axb=axb=^=axb=0，1122nn即等號當且僅當b1=b2=^=bn時成立(當a=0時，約定b=0，i=1，2，…，n)。iiaii12ni三、應用舉例：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。da分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發我們，可以用柯西不等式進行證明。x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的形式，聯系柯西不等式，可以通過構造(12+22+32)作為一個因式而解決問題。xyz1115．已知a，b，c為正實數，且a+2b+c=1，求++的最小值。(08東莞二模)abc五、課堂小結：重點掌握三維柯西不等式的運用。1.了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題;2.體會運用經典不等式的一般思想方法教學過程一、復習準備：2.舉例：說說兩類經典不等式的應用實例.A12nOB邊依次取取n個點B,B,L,B，在OA邊取某個點A與OB邊12ni某個點B連接，得到AOB，這樣一一搭配，一共可得到jijn個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的AOBijOAOBn面積和最大(或最小)？設OA=a,OB=b(i,j=1,2,L,n)，由已知條件，得iijjaaaLabbbLb123n123n因為AOB的面積是，而是常數，于是，上面的幾何問題就可以歸結為ij12n12n1122nn何時取最大(或最小)值？SacacLac叫做數組(a,a,L,a)與(b,b,L,b)的亂序和.1122nn12n12n11n2n13n2n1S=ab+ab+ab+L+ab稱為序和.這樣的三個和大小關系如何?2112233nn12n12n12n12n的任一排列,則有1122nn1122nn1n2n1n112n12n(要點：理解其思想，記住其形式)三、應用舉例：12n23n12232n2bbb是a,a,...,a的一個排列，且bb...b，則b>1,b>2,...,b>n.12n12n12n12n又1>1>1>...>1，由排序不等式，得n2a+a2+a3+...+an>b+b2+b3+...+bn>12232n212232n2小結：分析目標，構造有序排列.45abc，則a2b2c2，兩式相加即得.五、課堂小結：排序不等式的基本形式.六、布置作業：教材P3、4題45第四講數學歸納法證明不等式1.了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的與正整數有關的數學命題；2.進一步發展猜想歸納能力和創新能力，經歷知識的構建過程,體會類比的數學思想。教學重點：數學歸納法產生過程的分析和對數學歸納法的證題步驟的掌握。一、創設情境，引出課題(1)不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中(永昌一中)只招男生嗎？因為清晨我在學校門口看到第一個進校園的是男同學，第二個進校園的也是男同學，第三個進校園的還是男同學。于是得出結論：學校里全部都是男同學，同學們說我的結論對嗎？(2)完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎(將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進行驗證。)注：對于以上二例的結果是非常明顯的，教學中主要用以上二題引出數學歸納法。結論：不完全歸納法→結論不可靠；完全歸納法→結論可靠。問題：以上問題都是與正整數有關的問題，從上例可以看出，要想正確的解決一個與此有關的問題，就可靠性而言，應該選用第幾種方法？(完全歸納法)探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導致后一張倒下。探究二：同學們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)有些啟發？6得出結論：證明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)的兩個步驟：6(1)證明當n=1時，命題成立；(2)假設當n=k(k>1,kN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n(nN*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設n=k(k>n,kN*)時命題成立，證明當n=k+1時，命題也0只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從n開始的所有正整數n都成立。0上述方法叫做數學歸納法。2根據(1)和(2)，可知等式對任何nN*都成立。根據(1)和(2)，可知等式對任何nN*都成立。注：上例可讓學生獨立完成，教師板書寫現完整過程，以突出數學歸納法證題的一般步驟。問：今天我們學習了一種很重要的數學證明方法，通過本節課的學習，你有哪些收獲？(學生總結，教師整理)1、數學來源于生活，生活中有許多形如“數學歸納法”這樣的方法等著我們去發現。驗證n=n時命題成0立0歸納遞推命題對從n開始所有的正整數n都成立04、應用數學歸納法要注意以下幾點：(1)第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；(2)第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法； (3)n是使命題成立的最小正整數，n不一定取1，也可取其它一些正整數；0