人教版九年級上冊數學第24章《圓》講義第17講正多邊形及圓、弧長及扇形面積有含人教版九年級上冊數學第24章《圓》講義第17講正多邊形及圓、弧長及扇形面積有含1/31人教版九年級上冊數學第24章《圓》講義第17講正多邊形及圓、弧長及扇形面積有含第17講正多邊形和圓、弧長和扇形面積第一部分知識梳理知識點一：圓與內正多邊形的計算1、正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，相關計算在RtBOD中進行：ODBDOB；::1:3:22、正四邊形同理，四邊形的相關計算在RtOAE中進行，OE:AE:OA1:1:23、正六邊形同理，六邊形的相關計算在RtOAB中進行，AB:OB:OA1:3:2知識點二、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：nRl；180（2）扇形面積公式：21nRSlR3602n：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積2、圓柱側面張開圖：3、圓錐側面張開圖第二部分考點精講精練考點1、正多邊形和圓的求解例1、六邊形的邊長為10cm，那么它的邊心距等于（）A．10cmB．5cmC．cmD．cm例2、已知正多邊形的邊心距與邊長的比為12，則此正多邊形為（）A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正十二邊形例3、如圖，在⊙O內，AB是內接正六邊形的一邊，AC是內接正十邊形的一邊，BC是內接正n邊形的一邊，那么n=．第1頁例4、圓的內接正六邊形邊長為a，這個圓的周長為．例5、如圖，已知邊長為2cm的正六邊形ABCDEF，點A1，B1，C1，D1，E1，F1分別為所在各邊的中點，求圖中陰影部分的總面積S．貫穿交融：1、以下命題中的真命題是（）A．三角形的內切圓半徑和外接圓半徑之比為2：1B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．圓外切正方形的邊長等于其邊A心距的倍D．各邊相等的圓外切多邊形是正方形2、已知正方形的邊長為a，其內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2C．1：：1D．：2：43、某工人師傅需要把一個半徑為6cm的圓形鐵片加工截出邊長最大的正六邊形的鐵片，則此正六邊形的邊長為cm．4、如圖，正六邊形與正十二邊形內接于同一圓⊙O中，已知外接圓的半徑為2，則陰影部分面積為．5、如圖，⊙O半徑為4cm，其內接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，連接PB，QE，PE，BQ．設運動時間為t（s）．（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2）填空：第2頁①當t=s時，四邊形PBQE為菱形；②當t=s時，四邊形PBQE為矩形．考點2、弧長的計算例1、一條弧所對的圓心角是90°，半徑是R，則這條弧長是（）A．B．C．D．例2、一個滑輪起重裝置以下列圖，滑輪半徑是10cm，當重物上升10cm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心O，繞逆時針方向旋轉的角度約為（假設繩索與滑輪之間沒有滑動，π取3.14，結果精確到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠BOD=12°0，OB=1，則∠BAD=度，∠BCD=度，弧BCD的長=．例4、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，將△ABC繞點B旋轉至△A′BC的′地址，且使點A、B、C′三點在一條直線上，則點A經過的最短路線的長度是．例5、如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=6°0，AC為對角線．將△ACD繞點A逆時針旋轉60°獲取△AC′D′，連接DC′．（1）求證：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋轉過程中點C掃過路徑的長．（結果保留π）貫穿交融：第3頁1、弧長為6π的弧所對的圓心角為60°，則弧所在的圓的半徑為（）A．6B．6C．12D．182、如圖，一塊邊長為10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上繞點D按順時針方向旋轉到A′B′C′的D位′置時，極點B從開始到結束所經過的路徑長為（）A．20cmB．20cmC．10πcmD．5πcm3、一段鐵路彎道成圓弧形，圓弧的半徑是2km．一列火車以每小時28km的速度經過10秒經過彎道．那么彎道所對的圓心角的度數為度．（π取3.14，結果精確到0.1度）．4、已知矩形ABCD的長AB=4，寬AD=3，按如圖放置在直線AP上，爾后不滑動地轉動，當它轉動一周時（A→A′），極點A所經過的路線長等于．5、如圖，在一個橫截面為Rt△ABC的物體中，∠CAB=30°，BC=1米．工人師傅把此物體搬到墻邊，先將AB邊放在地面（直線l）上，再按順時針方向繞點B翻轉到△A1B1C1的地址（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的地址，其平移的距離為線段AC的長度（此時A2C2恰好靠在墻邊）．（1）請直接寫出AB、AC的長；（2）畫出在搬動此物的整個過程A點所經過的路徑，并求出該路徑的長度（精確到0.1米）．考點3、扇形面積的計算例1、已知五個半徑為1的圓的地址以下列圖，各圓心的連線構成一個五邊形，那么陰影部分的面積是（）A．B．2πC．D．3π例2、一個商標圖案如圖中陰影部分，在長方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以點A為圓心，AD為半徑作圓與BA的延長線訂交于點F，則商標圖案的面積是（）2B．（4π+1）6cm2

A．（4π+）8cm2D．（3π+1）6cm2

C．（3π+）8cm第4頁例3、如圖，E是正方形ABCD內一點，連接EA、EB并將△BAE以B為中心順時針旋轉90°獲取△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋轉到△BCF的過程中AE掃過地域面積．例4、如圖，有素來徑為1米的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角為90°的扇形，則剩下部分的（陰影部分）的面積是．例5、如圖，已知P為正方形ABCD內一點，△ABP經過旋轉后到達△CBQ的地址．（1）請說出旋轉中心及旋轉角度；（2）若連接PQ，試判斷△PBQ的形狀；（3）若∠BPA=135°，試說明點A，P，Q三點在同素來線上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的對角線長；（5）在（4）的條件下，求線段AP在旋轉過程中所掃過的面積．貫穿交融：第5頁1、若一個扇形的面積是相應圓的14，則它的圓心角為（）A．150°B．120°C．90°D．60°2、以下列圖的4個的半徑均為1，那么圖中的陰影部分的面積為（）A．π+1B．2πC．4D．63、如圖，O為圓心，半徑OA=OB=r，∠AOB=90°，點M在OB上，OM=2MB，用r的式子表示陰影部分的面積是．4、如圖，直角△ABC的直角極點為C，且AC=5，BC=12，AB=13，將此三角形繞點A順時針旋轉90°到直角△AB′C′的地址，在旋轉過程中，直角△ABC掃過的面積是．（結果中可保留π）5、如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=a，BC=b（a＞b），以A為圓心AD長為半徑的圓與CD交于D，與AB交于E，若∠CAB=3°0，請你用a、b表示圖中陰影部分的面積．考點4、圓錐側面積計算例1、若是圓錐的高為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側面積是（）2B．20πcm2C．28πcm2D．36πcm2

A．16πcm例2、新疆哈薩克族是一個游牧民族，喜愛居住氈房，氈房的頂部是圓錐形，以下列圖，為防雨需要在氈房頂部鋪上防雨布．已知圓錐的底面直徑是5.7m，母線長是3.2m，鋪滿氈房頂部最少需要防雨布（精確到1m2）（）2B．29m2C．26m2D．28m2

A．58m例3、扇形的圓心角為150°，半徑為4cm，用它做一個圓錐，那么這個圓錐的表面積為cm2．第6頁例4、在十年文革時期的“高帽子”．這種“高帽子”是用如圖①所示的扇形硬紙板，做成如圖②所示的無底圓錐體．已知接縫的重疊部分的圓心角為30°．（1）求重疊部分的面積．（結果保留π）（2）計算這頂“高帽子”有多高？（結果保留根號）例5、已知：一個圓錐的側面張開圖是半徑為20cm，圓心角為120°的扇形，求這圓錐的底面圓的半徑和高．貫穿交融：2，它的底面半徑為3cm，則此圓錐的母線長為（）

1、若圓錐的側面積為12cmA．4cmB．4cmC．2cmD．2cm22、圓錐的軸截面是一個等腰三角形，它的面積是10cm，底邊上的高線是5cm，則圓錐的側面張開圖的弧長等于（）A．87cmB．47cmC．8cmD．4cm3、如圖，扇形的半徑為6，圓心角θ為120°，用這個扇形圍成一個圓錐的側面，所得圓錐的高為。4、如圖，有一邊長為4的等邊三角形紙片，要從中剪出三個面積相等的扇形，那么剪下的其中一個扇形ADE（陰影部分）的面積為；若用剪下的一個扇形圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r是．第7頁5、如圖，已知在⊙O中，AB=83，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，央求出這個圓錐的底面圓的半徑．第三部分課堂小測1、如圖，八邊形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，則這個八邊形的面積等于（）2B．8cm2C．9cm2D．14cm2

A．7cm2、起重機的滑輪裝置以下列圖，已知滑輪半徑是10cm，當物體向上提升3πcm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心旋轉的角度為（）A．108°B．60°C．54°D．27°3、若是一個圓錐的軸截面是等邊三角形，它的邊長為4cm，那么圓錐的全面積是（）2B．10cm2C．12cm2D．9cm2

A．8cm4、如圖，OAB是以6cm為半徑的扇形，AC切弧AB于點A交OB的延長線于點C，若是弧AB的長等于3cm，AC=4cm，則圖中陰影部分的面積為（）2B．6cm2C．4cm2D．3cm2

A．15cm5、如圖，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，⊙O的半徑均為2cm，⊙O與⊙O1，⊙O3相外切，⊙O與⊙O2，⊙O4相外切，并且圓心分別位于兩條互相垂直的直線L1，L2上，連接O1，O2，O3，O4得四邊形O1O2O3O4，則圖中陰影部分的面積為（）平方厘米．A．32B．32-8πC．16-4πD．8π6、如圖，已知在⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個極點分別在⊙O及半徑OM、OP上，并且∠POM=4°5，則AB的長為．7、將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，點A、O在三角板上所對應的刻度分別是8cm、2cm，重疊陰影部分的量角器弧所對的扇形圓心角∠AOB=12°0，若用第8頁該扇形AOB圍成一個圓錐的側面（接縫處不重疊），則該圓錐的底面半徑為cm．8、如圖，已知正n邊形邊長為a，邊心距為r，求正n邊形的半徑R、周長P和面積S．9、如圖，在正方形ABCD中有一點P，連接AP、BP，旋轉△APB到△CEB的地址．（1）若正方形的邊長是8，PB=4．求陰影部分面積；（2）若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的長．10、如圖，有素來徑為1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角是90°的扇形ABC（1）找到圓形鐵皮的圓心O（要求尺規作圖，保留作圖印跡）；（2）求剪掉部分即陰影部分的面積（結果保留π）；（3）用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面半徑是多少？11、如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，點B的坐標為（-1，2），將△ABO繞原點O順時針旋轉90°獲取△A1B1O．（1）在旋轉過程中，點B所經過的路徑長是多少？（2）分別求出點A1，B1的坐標；（3）連接BB1交A1O于點M，求M的坐標．第四部分提升訓練1、閱讀以下資料，爾后解答問題．經過正四邊形（即正方形）各極點的圓叫作這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫作這個圓的內接正四邊形．如圖，已知正四邊形ABCD的外接圓⊙O，⊙O的面積為S1，正四邊形ABCD的面積為S2，以圓心O為極點作∠MON，使∠MON=9°0，將∠MON繞點O旋轉，OM、ON分別與⊙O訂交于點E、F，分別與正四邊形ABCD的邊訂交于點G、H．設由OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為S．①第9頁（1）當OM經過點A時（如圖①），則S、S1、S2之間的關系為：S=______（用含S1、S2的代數式表示）；（2）當OM⊥AB時（如圖②），點G為垂足，則（1）中的結論依舊成立嗎？請說明原由；（3）當∠MON旋轉到任意地址時（如圖③），則（1）中的結論依舊成立嗎？請說明原由．2、如圖中有四個面積相同的圓，每個圓的面積都記為S，∠ABC的兩邊分別經過圓心O1、O2、O3和O4，四個圓蓋的面積為5（S-1），∠ABC內部被圓遮住的面積為8，陰影部分的面積為S1、S2、S3滿足關系式：．求S的值．3、鐵匠王老五要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們第一設計了以下列圖的方案一，發現這種方案不能行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了以下列圖的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請你幫助他算一算能夠嗎？（1）請說明方案一不能行的原由；（2）判斷方案二可否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不能行，請說明原由．第10頁第五部分課后作業1、如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則正五邊形的中心角∠AOB的度數是（）A．72°B．60°C．54°D．36°2、如圖中，正方形的邊長都相等，其中陰影部分面積相等的有（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）3、如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C接順時針方向旋轉到A′B′的C′地址．若BC=15cm，那么極點A從開始到結束所經過的路徑長為（）A．10πcmB．30πcmC．15πcmD．20πcm4、圓錐的母線長5cm，底面半徑長3cm，那么它的側面張開圖的圓心角是（）A．180°B．200°C．225°D．216°5、如圖，在半徑為，圓心角等于45°的扇形AOB內部作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在上，則陰影部分的面積為（結果保留π）（）A．B．C．D．26、將一個半徑為8cm，面積為32πcm的扇形鐵皮圍成一個圓錐形容器（不計接縫），那么這個圓錐形容器的高為（）A．4cmB．4cmC．4cmD．2cm7、一元錢的硬幣的直徑約為24mm，則它完好覆遮住的正三角形的邊長最大不能夠超過mm（保留根號）．8、如圖，小明從半徑為5cm的圓形紙片中剪下40%圓周的一個扇形，爾后利用剩下的扇形制作成一個圓錐形玩具紙帽（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為cm．9、如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成圖2所示的一個圓錐，則圓錐的高．第11頁10、如圖，以AD為直徑的半圓O經過點E，B，點E、B是半圓弧的三均分點，弧BE長為23，則圖中陰影部分的面積為．11、如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點P在劣弧CD上（不與點C重合）．（1）求∠BPC的度數；（2）若⊙O的半徑為4，求正方形ABCD的邊長．12、“五一”節，小雯和同學一起到游樂場玩大型摩天輪，摩天輪的半徑為20m，勻速轉動一周需要12min，小雯所坐最底部的車廂（離地面0.5m）．（1）經過2min后小雯到達點Q，以下列圖，此時他離地面的高度是多少？（2）在摩天輪轉動的過程中，小雯將有多長時間連續保持在離地面不低于30.5m的空中？13、如圖，一個圓錐的高為33cm，側面張開圖是半圓．求：（1）圓錐的母線長與底面半徑之比；（2）錐角的大小（錐角為過圓錐高的平面上兩母線的夾角）；（3）圓錐的側面積．14、如圖，已知△ABC，AC=BC=4，O是AB的中點，⊙O分別與AC、BC相切于點M、N，與AB交于E、F，連ME并延長交BD的延長線于D，∠1=∠2．（1）求證：∠