第十章概率（單元檢測題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若干個人站成一排，其中為互斥事件的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”2.根據某市疾控中心的健康監測，該市在校中學生的近視率約為78.7%.某眼鏡廠商要到一中學給近視學生配送滴眼液，每人一瓶，已知該校學生總數為600人，則眼鏡商應帶滴眼液的數目為()A．600B．787C．不少于473D．不多于4733.根據某醫療研究所調查，某地區居民血型分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現有一A型血病人需要輸血，若在該地區任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15%B．20%C．45%D．65%4.從4雙不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成對”的對立事件是()A．至多有2只不成對B．恰有2只不成對C．4只全部不成對D．至少有2只不成對5.擲一枚骰子，出現偶數點或出現不小于4的點數的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,6)D.eq\f(4,5)6.盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共10個，從中隨機取出1個，若它是肉餡包子的概率為eq\f(2,5)，它不是豆沙餡包子的概率為eq\f(7,10)，則素餡包子的個數為()A．1B．2C．3D．47.一只猴子任意敲擊電腦鍵盤上的0到9這十個數字鍵，則它敲擊兩次(每次只敲擊一個數字鍵)得到的兩個數字恰好都是3的倍數的概率為()A.eq\f(9,100)B.eq\f(3,50)C.eq\f(3,100)D.eq\f(2,9)8.某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為eq\f(1,8)和p，若在任意時刻恰有一個系統不發生故障的概率為eq\f(9,40)，則p等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列事件中是隨機事件的是()A．明年8月18日，北京市不下雨B．在標準大氣壓下，水在4℃時結冰C．從標有1，2，3，4的四張號簽中任取一張，恰為1號簽D．向量的模不小于010.一個人連續射擊2次，則下列各事件關系中，說法正確的是()A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互斥C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互斥D．事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件11.在一個古典概型中，若兩個不同的隨機事件A，B發生的概率相等，則稱A和B是“等概率事件”，如：隨機拋擲一個骰子一次，事件“點數為奇數”和“點數為偶數”是“等概率事件”．關于“等概率事件”，以下判斷正確的是()A．在同一個古典概型中，所有的樣本點之間都是“等概率事件”B．若一個古典概型的事件總數大于2，則在這個古典概型中除樣本點外沒有其他“等概率事件”C．因為所有必然事件的概率都是1，所以任意兩個必然事件都是“等概率事件”D．同時拋擲三枚硬幣一次，則事件“僅有一個正面”和“僅有兩個正面”是“等概率事件”12.下列對各事件發生的概率判斷正確的是()A.某學生在上學的路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(4,27)B.三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為eq\f(2,5)C.從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是eq\f(1,3)D.設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為eq\f(1,9)，A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同，則事件A發生的概率是eq\f(2,9)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一個口袋內裝有大小相同的10個白球，5個黑球，5個紅球，從中任取一球是白球或黑球的概率為________14.如圖所示，有一個正十二面體，12個面上分別寫有1～12這12個整數，投擲這個正十二面體一次，則向上一面的數字是2的倍數或3的倍數的概率為________．15.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為________16.甲射擊命中目標的概率是eq\f(1,2)，乙射擊命中目標的概率是eq\f(1,3)，丙射擊命中目標的概率是eq\f(1,4).現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為________四、解答題：本題共6小題，17題10分，其余小題為12分，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．18.現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)寫出試驗的樣本空間；(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發生的概率．19.某班選派5人，參加學校舉行的數學競賽，獲獎的人數及其概率如下：獲獎人數012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎人數不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎人數最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．20.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率；(2)假設每人連續2次未擊中目標，則終止其射擊．問：乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率是多少？21.某消費者協會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動，著力提升消費者維權意識．組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)若電視臺記者要從抽取的群眾中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；(2)已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取3名群眾組成維權志愿者服務隊，求至少有兩名女性的概率．22.改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付方式支付金額不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數．(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率．(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發現他本月的支付金額大于2000元．結合(2)的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．參考答案：一、單項選擇題1.A2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.B二、多項選擇題9.AC10.CD11.AD12.AC三、填空題13.答案：eq\f(3,4)14.答案：eq\f(2,3)15.答案：eq\f(2,5)16.答案：eq\f(3,4)解析：設“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，“丙命中目標”為事件C，則擊中目標表示事件A，B，C中至少有一個發生．又P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4).故目標被擊中的概率P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4).四、解答題17.解：(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為P＝eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率f＝eq\f(14,16)＝eq\f(7,8).以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18.解：(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽，試驗的樣本空間為Ω＝{{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}}，共15個樣本點．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學包含的樣本點有：{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6個．因此，事件M發生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).19.解：記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥．(1)∵獲獎人數不超過2人的概率為0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由獲獎人數最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由獲獎人數最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.20.解：(1)記“甲連續射擊4次，至少有1次未擊中目標”為事件A1，則事件A1的對立事件eq\o(A1,\s\up6(－))為“甲連續射擊4次，全部擊中目標”．由題意知，射擊4次相當于做4次獨立重復試驗．故P(eq\o(A1,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81).所以P(A1)＝1－P(eq\o(A1,\s\up6(－)))＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).所以甲連續射擊4次，至少有一次未擊中目標的概率為eq\f(65,81).(2)記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i＝1,2,3,4,5)，則A3＝D5D4eq\o(D3,\s\up6(－))(eq\o(D2,\s\up6(－))eq\o(D1,\s\up6(－))∪eq\o(D2,\s\up6(－))D1∪D2eq\o(D1,\s\up6(－)))，且P(Di)＝eq\f(1,4).由于各事件相互獨立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(eq\o(D3,\s\up6(－)))P(eq\o(D2,\s\up6(－))eq\o(D1,\s\up6(－))＋eq\o(D2,\s\up6(－))D1＋D2eq\o(D1,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))＝eq\f(45,1024).所以乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為eq\f(45,1024).21.解：(1)設第2組[30,40)的頻率為f2，f2＝1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35；第4組的頻率為0.02×10＝0.2.所以被采訪人恰好在第2組或第4組的概率為P1＝0.35＋0.2＝0.55.(2)設第1組[20,30)的頻數為n1，則n1＝120×0.005×10＝6.記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4，隨機抽取3名群眾，試驗的樣本空間為：Ω＝{(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)，(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)}，共20個樣本點．其中至少有兩名女性包含的樣本點有：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，