1量子力學1量子力學2為什么要學習量子力學和統計物理學？1960年代，著名微波電子學家Pirls曾說，量子力學、統計物理學是高度抽象的科學，不需要所有的人都懂得這種理論物理科學。然而，在1990年代，隨著高技術科學的發展，要求我們必須掌握理論物理學，包括量子力學和統計物理學。例如：微電子器件的集成度越來越高，組成器件的每一個元件的體積越來越小。目前，元件的尺寸可以達到nm級。2為什么要學習量子力學和統計物理學？1960年代，著名微波電3這面臨著兩個問題：1、信號電磁波所覆蓋的區域包括大量的元件，每個元件的工作狀態有隨機性，但器件的響應具有統計性；

2、構成元件的材料的體積屬于原子團物理的范疇，即每個粒子含有有限個原子（102－109個原子）。這時的統計平均具有顯著的漲落，必須考慮量子效應。3這面臨著兩個問題：4量子力學南京工業大學理學院吳高建第一章緒論4量子力學南京工業大學理學院第一章緒論51.1經典物理學的困難51.1經典物理學的困難6

19世紀末，物理學界建立了牛頓力學、電動力學、熱力學與統計物理，統稱為經典物理學。其中的兩個結論為

1、能量永遠是連續的。

2、電磁波（包括光）是這樣產生的：帶電體做加速運動時，會向外輻射電磁波。6 19世紀末，物理學界建立了牛頓力學、電動力學、熱7牛頓力學-支配天體和力學對象的運動；楊氏衍射實驗-確定了光的波動性；Maxwell方程組的建立-把光和電磁現象建立在牢固的基礎上；統計力學的建立。

經典物理學的成就7牛頓力學-支配天體和力學對象的運動；經典物理學的成就8

而一旦深入到分子、原子領域，一些實驗事實就與經典理論發生矛盾或

者無法理解。8而一旦深入到分子、原子領域，一些920世紀初物理學界遇到的幾個難題1兩朵烏云（W.Thomson)①電動力學中的“以太”：人們無法通過實驗測出以太本身的運動速度②物體的比熱：觀察到的物體比熱總是低于經典物理學中能量均分定理給出的值。920世紀初物理學界遇到的幾個難題1兩朵烏云（W.Thom102原子的穩定性問題－原子塌縮按照經典理論，電子將掉到原子核里，原子的壽命約為1ns。3黑體輻射問題－紫外災難按照經典理論，黑體向外輻射電磁波的能量E與頻率的關系為Eυ102原子的穩定性問題－原子塌縮Eυ11

4.光電效應的解釋 光照射到金屬材料上，會產生光電子。但產生條件與光的頻率有關，與光的強度無關。Lightbeamelectriccurrentmetal114.光電效應的解釋Lightbeamelectr12能量量子化的假設造成以上難題的原因是經典物理學認為能量永遠是連續的。如果能量是量子化的，即原子吸收或發射電磁波，只能以“量子”的方式進行，那末上述問題都能得到很好的解釋。12能量量子化的假設造成以上難題的原因是經典物理學認為能量永13能量量子化概念對難題的解釋原子壽命①原子中的電子只能處于一系列分立的能級之中。即E1,E2,…….En。②當電子從能級En變化到Em時，將伴隨著能量的吸收或發射，能量的形式是電磁波。能量的大小為E=hυ=En－Em

③由此，提出了產生電磁波的量子論觀點，即電磁波源于原子中電子能態的躍遷。從而，電子就不會掉到原子核里，原子的壽命就會很長。13能量量子化概念對難題的解釋原子壽命14能量量子化概念對難題的解釋黑體輻射從能量量子化假設出發，可以推導出同實驗觀測極為吻合的黑體輻射公式，即Planck公式14能量量子化概念對難題的解釋黑體輻射15普朗克（Planck）大膽假設：無論是黑體輻射也好，還是固體中原子振動也好，它們都是以分立的能量顯示，即能量模式是不連續的。所以，輻射的平均能量可如此計算得：15普朗克（Planck）大膽假設：無論是黑體輻射所以，輻射16經典的能量分布幾率

所以對于連續分布的輻射平均能量為

（玻爾茲曼幾率分布）在能量范圍內，16經典的能量分布幾率17而對于Planck假設的能量分布幾率，則為

從而17而對于Planck假設的能量分布幾率，則為 18于是，用電動力學和統計力學導出的公式

（Rayleigh–Jeans）

這就是Planck假設下的輻射本領，它與實驗完全符合。應改為18于是，用電動力學和統計力學導出的公式（Ra19

當（高頻區）

Wein公式

當（低頻區）

Rayleigh–Jeans公式

1920能量量子化概念對難題的解釋對光電效應的解釋 如果電子處于分立能級且入射光的能量也是量子化的，那么只有當光子的能量（E=hυ）大于電子的能級差，即E=hυ>En－Em時，光電子才會產生。如果入射光的強度足夠強，但頻率υ足夠小，光電子是無法產生的。20能量量子化概念對難題的解釋對光電效應的解釋211.2光的波粒二象性211.2光的波粒二象性22愛因斯坦方程對光電效應的解釋是愛因斯坦于1905年做出的，他也因此獲得諾貝爾獎。其中，他對光子的能量E是如此假定的22愛因斯坦方程對光電效應的解釋是愛因斯坦于1905年做23光子的能量與動量并用υ=c/λ和狹義相對論中的公式p=E/c推出光子的動量p為p=h/λ，E=hν.

υ－頻率，λ－波長，h－普朗克常數23光子的能量與動量并用υ=c/λ和狹義相對論中24光的波粒二象性波粒二象性，又稱為波動粒子兩重性，是指物體，小到光子、電子、原子，大到子彈、足球、地球，都既有波動性，又有粒子性。頻率為υ的單色光波是由能量為E=hυ的一個個粒子組成的，這樣的粒子被稱為光子，或光量子。光子的粒子性－光電效應；光子的波動性－光的衍射和干涉。24光的波粒二象性波粒二象性，又稱為波動粒子兩重性，是指物體25光的波粒二象性楊氏干涉實驗和惠更斯衍射實驗都表明了光的波動性。光電效應又證實了光子的粒子性。25光的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性271物質波的概念法國人DeBroglie從光的量子論中得到啟發，假設任何物體，無論是靜止質量為零的光子，還是靜止質量不為零的實物粒子，都具有粒子波動兩重性。其中的波動，通稱為物質波。認為物質波的頻率和波長分別為υ=E/h，λ=h/p這就是著名的德布羅意公式。271物質波的概念法國人DeBroglie從光的量子論中282實物粒子的波動從德布羅意物質波的觀點出發，就會得出一種違背常理的結論：躲在靶子后面仍然會被繞過來的子彈打中。子彈之所以不能繞到靶子后面，是因為子彈的波長λ=h/p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv282實物粒子的波動從德布羅意物質波的觀點出發，就會得出一293電子與分子的衍射與干涉實驗電子衍射C60分子干涉圖293電子與分子的衍射與干涉實驗電子衍射304波粒二象性既不是經典的粒子，也不是經典的波5物理意義：概率波與概率幅概率波（M.Born,1926)：物質波描述了粒子在各處發現的概率。概率幅：波函數ψ也叫概率幅，概率密度波的疊加是概率幅疊加，而非概率疊加304波粒二象性既不是經典的粒子，也不是經典的波5物理意311.4不確定關系311.4不確定關系32物質波的觀點直接導致這樣一個結論：無法同時準確測量一個粒子的坐標和動量q－坐標，p－動量另有：能量和時間的不確定關系：32物質波的觀點直接導致這樣一個結論：另有：能量和時間的不確33量子力學的特點：能量量子化；波粒二象性；不確定關系。 需要用一個完整的理論將這些離散的假設和概念統一起來：《量子力學》應運而生。33量子力學的特點：能量量子化；34《量子力學》的作用一般工科：建立概念與啟迪思維，重點在了解。材料學：重點是建立正確的、系統的、完整的概念，為后續課程以及將來從事材料學領域的研究奠定基礎。理科：四大力學之一，應該精通，并作為日后從事研究的工具。34《量子力學》的作用一般工科：建立概念與啟迪思維，重點在了35學習《量子力學》時應注意的問題概念是靈魂－建立起清晰的概念數學是橋梁－不必過分拘泥于數學推導結論是收獲－銘記結論在材料學中的作用35學習《量子力學》時應注意的問題概念是靈魂－建立起清晰的概36學習量子力學，其困難在于：發現它與我們熟悉的經典物理學中的習慣或概念不一致；b.量子力學中的新的物理概念不是直觀的；c.處理問題時，與經典物理學在手法上截然不同。它的重要性在狀態，算符和演化。36學習量子力學，其困難在于：發現它與我們熟悉的經典物理學中37所以，我們強調掌握實驗事實，及它給我們的啟示，不直接與主觀經驗聯系，不先入為主；b.掌握和理解量子力學的基本概念。新的概念的依據和特點，新在什么地方，如何理解；c.掌握理論中建立的方程和所用的數學方法以及處理它們的思路和步驟。37所以，我們強調掌握實驗事實，及它給我們的啟示，不直38參考書目曾謹言《量子力學》，科學出版社周世勛《量子力學教程》，高等教育出版社38參考書目曾謹言《量子力學》，科學出版社39量子力學第二章波函數及薛定諤方程39量子力學402.1波函數及其統計解釋402.1波函數及其統計解釋41自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運動的質點。因此，其能量E和動量都是常量。根據德布羅意波粒二象性的假設，自由粒子的頻率和波長分別為

又因為波矢為，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數41自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運動42υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述或將上式代入，得到這就是自由粒子的波函數，它將粒子的波動同其能量和動量聯系了起來。它是時間和空間的函數，即42υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述43二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數來描述，但總可以用一個函數來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數。43二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作用442物理意義：對實物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認為粒子波就是粒子的某種實際結構，即將粒子看成是三維空間中連續分布的一種物質波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結構。442物理意義：45能量和動量的關系為，利用得到物質波包的觀點夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實際不符。45能量和動量的關系為，46（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的行為。然而，電子衍射實驗表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強電子密度＋短時間由此表明，對實物粒子而言，波動性體現在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。46（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或473、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(x,y,z)上的強弱。所以，應該表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數又稱為概率波。473、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，48保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有確定的質量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現象振幅不直接可測由波函數還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態，這種描寫在本質上具有統計的特征。48保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有確49三、波函數的統計詮釋

表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率。表示點(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數的統計詮釋。必然有以下歸一化條件49三、波函數的統計詮釋表示50

四、常數因子不定性設C是一個常數，則和對粒子在點(x,y,z)附件出現概率的描述是相同的。如果則有，等同于50

四、常數因子不定性設C是一個常數，則和51說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數，則和對粒子在點（x,y,z）附近出現概率的描述是相同的。2有些波函數不能（有限地）歸一，如平面波。51說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個例如：常數52五、對波函數的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續性52五、對波函數的要求1、可積性53六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是因為它滿足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數也應滿足疊加原理。53六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是54如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態。對于合成的狀態：其中就是干涉項。

其中其中就是干涉項。

其中54如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么對于合成的狀態：其中55一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態”，例如，那么任何狀態都可以由這些基本狀態疊加而得到。運動的狀態是平面波因此，自由電子的任何狀態都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量55一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要概56這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么任何波函數(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，56這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么任57

七、動量分布概率設，則表示粒子出現在點附件的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為任意粒子的波函數可以按此平面波做傅立葉展開57

七、動量分布概率設，則58其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。58其中，可見，代表中含有平面波592.2薛定諤方程592.2薛定諤方程60一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波函數所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以60一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波函61這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運動，其能量的表達式為61這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在外62則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodinger方程(1926)。62則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodin63二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrodinger方程，63二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrodi64記則而這表示了一種守恒定律。

64記則而這表示了一種守恒定律。65因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內發現粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數守恒。

65因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在體66三定態Schrodinger方程若與時間無關，則Schrodinger方程可以分離變量求解，66三定態Schrodinger方程若與時間無關67波函數成為

這樣的波函數(或者是波函數）稱為定態波函數。對比deBroglie波，我們發現常數E的物理意義正是粒子的能量。所以定態是體系的能量有確定值的狀態。在定態中，體系的各種力學性質不隨時間而改變。67波函數成為這樣的波函數(或者是波函數）稱為定態68的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數。所以定態Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數=常數乘以這波函數68的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本形如算符作用于波函692.3一維運動的一般分析692.3一維運動的一般分析70一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態2、簡并如果系統的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數與其對應，則稱這個能級是簡并的。70一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態713、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。713、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。724、定態薛定格方程－能量本征方程724、定態薛定格方程－能量本征方程735、束縛態與非束縛態735、束縛態與非束縛態74定理174定理175推論175推論176定理276定理27777787879798080818182828383842.4一維無限深勢阱和方勢阱842.4一維無限深勢阱和方勢阱85一、一維無限深方勢阱1、勢函數如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數為85一、一維無限深方勢阱1、勢函數862、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應的波函數稱為能量本征函數。862、能量量子化87將波函數進行歸一化：即令，得到歸一化波函數為3、歸一化波函數873、歸一化波函數88最低能量經典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準關系，得到因此，粒子能量4、討論884、討論89在，有個節點，其上

說明粒子在這些節點上出現的概率為零。對于經典粒子來說，它在內任何一點都有可能出現。89在，90二、有限深對稱方勢阱設粒子能量條件在阱內能量本征方程解90二、有限深對稱方勢阱設91在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現在，說明的粒子也有到達勢阱外的可能。91在阱外922.5量子隧道效應922.5量子隧道效應93一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數透射系數93一、方勢壘的反射與透射在，能量本94在，能量本征方程解94在，能量本征方程95解代數方程，得到勢壘貫穿隧穿效應入射波反射波透射波95解代數方程，得到入射波透射波96電子的勢壘貫穿

12510當勢壘寬度為原子限度時，透射相當可觀96電子的勢壘貫穿97二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘97二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左98989999100100101討論101討論1022.6線性諧振子1022.6線性諧振子103

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程103

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振104

2、能量本征方程的解能量本征方程變為當時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項式。當時，要求得到104

2、能量本征方程的解能量本征方程變為105

3、能量本征值因為同時故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態能量，稱為零點能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。105

3、能量本征值因為同1064、能量本征態（1）因為，其中，要根據的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態正交歸一化1064、能量本征態（1）因為1074、能量本征態（2）最低三條能級上的波函數為1074、能量本征態（2）最低三條能級上的波函數為108掃描隧道顯微鏡108掃描隧道顯微鏡109掃描隧道顯微鏡109掃描隧道顯微鏡110掃描出的納米級圖像110掃描出的納米級圖像111掃描隧道顯微鏡拍下的DNA111掃描隧道顯微鏡拍下的DNA112“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細胞”112“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細胞”113用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像113用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像114STM工作原理114STM工作原理115用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案115用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案116作為一種掃描探針顯微術工具，掃描隧道顯微鏡可以讓科學家觀察和定位單個原子，它具有比它的同類原子力顯微鏡更加高的分辨率。此外，掃描隧道顯微鏡在低溫下（4K）可以利用探針尖端精確操縱原子，因此它在納米科技既是重要的測量工具又是加工工具。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscope116作為一種掃描探針顯微術工具，掃描隧道顯微鏡可掃描隧道顯117STM使人類第一次能夠實時地觀察單個原子在物質表面的排列狀態和與表面電子行為有關的物化性質，在表面科學、材料科學、生命科學等領域的研究中有著重大的意義和廣泛的應用前景，被國際科學界公認為20世紀80年代世界十大科技成就之一117STM使人類第一次能夠實時地觀察單個原子在118基本結構

隧道針尖三維掃描控制器減震系統電子學控制系統在線掃描控制和離線數據處理軟件118基本結構隧道針尖三維掃描控制器減震系統電子學控119工作原理

掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如同一根唱針掃過一張唱片，一根探針慢慢地通過要被分析的材料（針尖極為尖銳，僅僅由一個原子組成）。一個小小的電荷被放置在探針上，一股電流從探針流出，通過整個材料，到底層表面。當探針通過單個的原子，流過探針的電流量便有所不同，這些變化被記錄下來。電流在流過一個原子的時候有漲有落，如此便極其細致地探出它的輪廓。在許多的流通后，通過繪出電流量的波動，人們可以得到組成一個網格結構的單個原子的美麗圖片。119工作原理掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如120優越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面方向上的分辨率分別可達0.1nm和0.01nm，即可以分辨出單個原子。②可實時得到實空間中樣品表面的三維圖像，可用于具有周期性或不具備周期性的表面結構的研究，這種可實時觀察的性能可用于表面擴散等動態過程的研究。120優越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面121③可以觀察單個原子層的局部表面結構，而不是對體相或整個表面的平均性質，因而可直接觀察到表面缺陷。表面重構、表面吸附體的形態和位置，以及由吸附體引起的表面重構等。④可在真空、大氣、常溫等不同環境下工作，樣品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特別的制樣技術并且探測過程對樣品無損傷．121③可以觀察單個原子層的局部表面結構，而不是④可在真空、122⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關表面電子結構的信息，例如表面不同層次的態密度。表面電子阱、電荷密度波、表面勢壘的變化和能隙結構等。⑥利用STM針尖，可實現對原子和分子的移動和操縱，這為納米科技的全面發展奠定了基礎。122⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關表面電子結⑥利123局限性

STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導電性，對于半導體，觀測的效果就差于導體；對于絕緣體則根本無法直接觀察。如果在樣品表面覆蓋導電層，則由于導電層的粒度和均勻性等問題又限制了圖象對真實表面的分辨率。賓尼等人1986年研制成功的AFM可以彌補STM這方面的不足。123局限性STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導124量子力學第二章波函數及薛定諤方程124量子力學1252.1波函數及其統計解釋1252.1波函數及其統計解釋126自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運動的質點。因此，其能量E和動量都是常量。根據德布羅意波粒二象性的假設，自由粒子的頻率和波長分別為

又因為波矢為，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數126自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運127υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述或將上式代入，得到這就是自由粒子的波函數，它將粒子的波動同其能量和動量聯系了起來。它是時間和空間的函數，即127υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述128二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數來描述，但總可以用一個函數來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數。128二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作1292物理意義：對實物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認為粒子波就是粒子的某種實際結構，即將粒子看成是三維空間中連續分布的一種物質波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結構。1292物理意義：130能量和動量的關系為，利用得到物質波包的觀點夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實際不符。130能量和動量的關系為，131（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的行為。然而，電子衍射實驗表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強電子密度＋短時間由此表明，對實物粒子而言，波動性體現在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。131（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用1323、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(x,y,z)上的強弱。所以，應該表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數又稱為概率波。1323、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，133保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有確定的質量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現象振幅不直接可測由波函數還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態，這種描寫在本質上具有統計的特征。133保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有134三、波函數的統計詮釋

表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率。表示點(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數的統計詮釋。必然有以下歸一化條件134三、波函數的統計詮釋表135

四、常數因子不定性設C是一個常數，則和對粒子在點(x,y,z)附件出現概率的描述是相同的。如果則有，等同于135

四、常數因子不定性設C是一個常數，則136說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數，則和對粒子在點（x,y,z）附近出現概率的描述是相同的。2有些波函數不能（有限地）歸一，如平面波。136說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個例如：常137五、對波函數的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續性137五、對波函數的要求1、可積性138六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是因為它滿足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數也應滿足疊加原理。138六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是139如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態。對于合成的狀態：其中就是干涉項。

其中其中就是干涉項。

其中139如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么對于合成的狀態：其140一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態”，例如，那么任何狀態都可以由這些基本狀態疊加而得到。運動的狀態是平面波因此，自由電子的任何狀態都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量140一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要141這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么任何波函數(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，141這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么142

七、動量分布概率設，則表示粒子出現在點附件的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為任意粒子的波函數可以按此平面波做傅立葉展開142

七、動量分布概率設，則143其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。143其中，可見，代表中含有平面波1442.2薛定諤方程1442.2薛定諤方程145一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波函數所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以145一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波146這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運動，其能量的表達式為146這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在147則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodinger方程(1926)。147則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodi148二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrodinger方程，148二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrod149記則而這表示了一種守恒定律。

149記則而這表示了一種守恒定律。150因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內發現粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數守恒。

150因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在151三定態Schrodinger方程若與時間無關，則Schrodinger方程可以分離變量求解，151三定態Schrodinger方程若與時間無152波函數成為

這樣的波函數(或者是波函數）稱為定態波函數。對比deBroglie波，我們發現常數E的物理意義正是粒子的能量。所以定態是體系的能量有確定值的狀態。在定態中，體系的各種力學性質不隨時間而改變。152波函數成為這樣的波函數(或者是波函數）稱為定153的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數。所以定態Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數=常數乘以這波函數153的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本形如算符作用于波1542.3一維運動的一般分析1542.3一維運動的一般分析155一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態2、簡并如果系統的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數與其對應，則稱這個能級是簡并的。155一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態1563、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。1563、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。1574、定態薛定格方程－能量本征方程1574、定態薛定格方程－能量本征方程1585、束縛態與非束縛態1585、束縛態與非束縛態159定理1159定理1160推論1160推論1161定理2161定理21621621631631641641651651661661671671681681692.4一維無限深勢阱和方勢阱1692.4一維無限深勢阱和方勢阱170一、一維無限深方勢阱1、勢函數如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數為170一、一維無限深方勢阱1、勢函數1712、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應的波函數稱為能量本征函數。1712、能量量子化172將波函數進行歸一化：即令，得到歸一化波函數為3、歸一化波函數1723、歸一化波函數173最低能量經典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準關系，得到因此，粒子能量4、討論1734、討論174在，有個節點，其上

說明粒子在這些節點上出現的概率為零。對于經典粒子來說，它在內任何一點都有可能出現。174在，175二、有限深對稱方勢阱設粒子能量條件在阱內能量本征方程解175二、有限深對稱方勢阱設176在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現在，說明的粒子也有到達勢阱外的可能。176在阱外1772.5量子隧道效應1772.5量子隧道效應178一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數透射系數178一、方勢壘的反射與透射在，能量179在，能量本征方程解179在，能量本征方程180解代數方程，得到勢壘貫穿隧穿效應入射波反射波透射波180解代數方程，得到入射波透射波181電子的勢壘貫穿

12510當勢壘寬度為原子限度時，透射相當可觀181電子的勢壘貫穿182二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘182二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左183183184184185185186討論186討論1872.6線性諧振子1872.6線性諧振子188

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程188

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振189

2、能量本征方程的解能量本征方程變為當時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項式。當時，要求得到189

2、能量本征方程的解能量本征方程變為190

3、能量本征值因為同時故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態能量，稱為零點能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。190

3、能量本征值因為同1914、能量本征態（1）因為，其中，要根據的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態正交歸一化1914、能量本征態（1）因為1924、能量本征態（2）最低三條能級上的波函數為1924、能量本征態（2）最低三條能級上的波函數為193掃描隧道顯微鏡193掃描隧道顯微鏡194掃描隧道顯微鏡194掃描隧道顯微鏡195掃描出的納米級圖像195掃描出的納米級圖像196掃描隧道顯微鏡拍下的DNA196掃描隧道顯微鏡拍下的DNA197“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細胞”197“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細胞”198用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像198用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像199STM工作原理199STM工作原理200用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案200用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案201作為一種掃描探針顯微術工具，掃描隧道顯微鏡可以讓科學家觀察和定位單個原子，它具有比它的同類原子力顯微鏡更加高的分辨率。此外，掃描隧道顯微鏡在低溫下（4K）可以利用探針尖端精確操縱原子，因此它在納米科技既是重要的測量工具又是加工工具。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscope201作為一種掃描探針顯微術工具，掃描隧道顯微鏡可掃描隧道顯202STM使人類第一次能夠實時地觀察單個原子在物質表面的排列狀態和與表面電子行為有關的物化性質，在表面科學、材料科學、生命科學等領域的研究中有著重大的意義和廣泛的應用前景，被國際科學界公認為20世紀80年代世界十大科技成就之一202STM使人類第一次能夠實時地觀察單個原子在203基本結構

隧道針尖三維掃描控制器減震系統電子學控制系統在線掃描控制和離線數據處理軟件203基本結構隧道針尖三維掃描控制器減震系統電子學控204工作原理

掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如同一根唱針掃過一張唱片，一根探針慢慢地通過要被分析的材料（針尖極為尖銳，僅僅由一個原子組成）。一個小小的電荷被放置在探針上，一股電流從探針流出，通過整個材料，到底層表面。當探針通過單個的原子，流過探針的電流量便有所不同，這些變化被記錄下來。電流在流過一個原子的時候有漲有落，如此便極其細致地探出它的輪廓。在許多的流通后，通過繪出電流量的波動，人們可以得到組成一個網格結構的單個原子的美麗圖片。204工作原理掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如205優越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面方向上的分辨率分別可達0.1nm和0.01nm，即可以分辨出單個原子。②可實時得到實空間中樣品表面的三維圖像，可用于具有周期性或不具備周期性的表面結構的研究，這種可實時觀察的性能可用于表面擴散等動態過程的研究。205優越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面206③可以觀察單個原子層的局部表面結構，而不是對體相或整個表面的平均性質，因而可直接觀察到表面缺陷。表面重構、表面吸附體的形態和位置，以及由吸附體引起的表面重構等。④可在真空、大氣、常溫等不同環境下工作，樣品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特別的制樣技術并且探測過程對樣品無損傷．206③可以觀察單個原子層的局部表面結構，而不是④可在真空、207⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關表面電子結構的信息，例如表面不同層次的態密度。表面電子阱、電荷密度波、表面勢壘的變化和能隙結構等。⑥利用STM針尖，可實現對原子和分子的移動和操縱，這為納米科技的全面發展奠定了基礎。207⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關表面電子結⑥利208局限性

STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導電性，對于半導體，觀測的效果就差于導體；對于絕緣體則根本無法直接觀察。如果在樣品表面覆蓋導電層，則由于導電層的粒度和均勻性等問題又限制了圖象對真實表面的分辨率。賓尼等人1986年研制成功的AFM可以彌補STM這方面的不足。208局限性STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導209量子力學第二章波函數及薛定諤方程209量子力學2102.1波函數及其統計解釋2102.1波函數及其統計解釋211自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運動的質點。因此，其能量E和動量都是常量。根據德布羅意波粒二象性的假設，自由粒子的頻率和波長分別為

又因為波矢為，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數211自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運212υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述或將上式代入，得到這就是自由粒子的波函數，它將粒子的波動同其能量和動量聯系了起來。它是時間和空間的函數，即212υ和k都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述213二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數來描述，但總可以用一個函數來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數。213二、一般粒子的波函數及其物理意義1當粒子受到外力的作2142物理意義：對實物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認為粒子波就是粒子的某種實際結構，即將粒子看成是三維空間中連續分布的一種物質波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結構。2142物理意義：215能量和動量的關系為，利用得到物質波包的觀點夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實際不符。215能量和動量的關系為，216（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的行為。然而，電子衍射實驗表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強電子密度＋短時間由此表明，對實物粒子而言，波動性體現在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。216（2）第二種解釋：認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用2173、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(x,y,z)上的強弱。所以，應該表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數又稱為概率波。2173、概率波粒子的波動性可以用波函數來表示，218保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有確定的質量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現象振幅不直接可測由波函數還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態，這種描寫在本質上具有統計的特征。218保留經典概念的哪些特征不具有經典概念的哪些特征粒子性有219三、波函數的統計詮釋

表示粒子出現在點(x,y,z)附近的概率。表示點(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數的統計詮釋。必然有以下歸一化條件219三、波函數的統計詮釋表220

四、常數因子不定性設C是一個常數，則和對粒子在點(x,y,z)附件出現概率的描述是相同的。如果則有，等同于220

四、常數因子不定性設C是一個常數，則221說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數，則和對粒子在點（x,y,z）附近出現概率的描述是相同的。2有些波函數不能（有限地）歸一，如平面波。221說明：1即使要求波函數是歸一化的，它仍有一個例如：常222五、對波函數的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續性222五、對波函數的要求1、可積性223六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是因為它滿足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數也應滿足疊加原理。223六、態的疊加原理波的干涉，衍射現象的本質原因是224如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態。對于合成的狀態：其中就是干涉項。

其中其中就是干涉項。

其中224如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態，那么對于合成的狀態：其225一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態”，例如，那么任何狀態都可以由這些基本狀態疊加而得到。運動的狀態是平面波因此，自由電子的任何狀態都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量225一般地說，疊加原理可以寫成這導致了量子力學中的一個重要226這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么任何波函數(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，226這個例子在數學上就是函數的Fourier變換。引入那么227

七、動量分布概率設，則表示粒子出現在點附件的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為任意粒子的波函數可以按此平面波做傅立葉展開227

七、動量分布概率設，則228其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。228其中，可見，代表中含有平面波2292.2薛定諤方程2292.2薛定諤方程230一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波函數所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以230一Schrodinger方程量子力學的基本定律是波231這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運動，其能量的表達式為231這可以看做是在經典關系中進行代換可以推廣地說：若粒子在232則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodinger方程(1926)。232則它的波函數應該滿足方程此即單粒子運動的Schrodi233二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrodinger方程，233二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據Schrod234記則而這表示了一種守恒定律。

234記則而這表示了一種守恒定律。235因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內發現粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數守恒。

235因為，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在236三定態Schrodinger方程若與時間無關，則Schrodinger方程可以分離變量求解，236三定態Schrodinger方程若與時間無237波函數成為

這樣的波函數(或者是波函數）稱為定態波函數。對比deBroglie波，我們發現常數E的物理意義正是粒子的能量。所以定態是體系的能量有確定值的狀態。在定態中，體系的各種力學性質不隨時間而改變。237波函數成為這樣的波函數(或者是波函數）稱為定238的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數。所以定態Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數=常數乘以這波函數238的方程稱為該算符的本征方程，常數稱為本形如算符作用于波2392.3一維運動的一般分析2392.3一維運動的一般分析240一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態2、簡并如果系統的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數與其對應，則稱這個能級是簡并的。240一、一維勢場中粒子能量本征態的一般性質1、定態2413、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。2413、宇稱－函數在空間反演下表現出的特性。2424、定態薛定格方程－能量本征方程2424、定態薛定格方程－能量本征方程2435、束縛態與非束縛態2435、束縛態與非束縛態244定理1244定理1245推論1245推論1246定理2246定理22472472482482492492502502512512522522532532542.4一維無限深勢阱和方勢阱2542.4一維無限深勢阱和方勢阱255一、一維無限深方勢阱1、勢函數如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數為255一、一維無限深方勢阱1、勢函數2562、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應的波函數稱為能量本征函數。2562、能量量子化257將波函數進行歸一化：即令，得到歸一化波函數為3、歸一化波函數2573、歸一化波函數258最低能量經典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準關系，得到因此，粒子能量4、討論2584、討論259在，有個節點，其上

說明粒子在這些節點上出現的概率為零。對于經典粒子來說，它在內任何一點都有可能出現。259在，260二、有限深對稱方勢阱設粒子能量條件在阱內能量本征方程解260二、有限深對稱方勢阱設261在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現在，說明的粒子也有到達勢阱外的可能。261在阱外2622.5量子隧道效應2622.5量子隧道效應263一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數透射系數263一、方勢壘的反射與透射在，能量264在，能量本征方程解264在，能量本征方程265解代數方程，得到勢壘貫穿隧穿效應入射波反射波透射波265解代數方程，得到入射波透射波266電子的勢壘貫穿

12510當勢壘寬度為原子限度時，透射相當可觀266電子的勢壘貫穿267二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘267二、δ勢的反射與透射設質量為m的粒子(E>0)從左268268269269270270271討論271討論2722.6線性諧振子2722.6線性諧振子273

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程273

1、能量本征方程簡諧運動：體系在平衡位置附件的微小振274

2、能量本征方程的解能量本征方程變為當時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項式。當時，要求得到274

2、能量本征方程的解能量本征方程變為275

3、能量本征值因為同時故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態能量，稱為零點能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。275

3、能量本征值因為同2764、能量本征態（1）因為，其中，要根據的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態正交歸一化2764、能量本征態（1）因為