1.1隨

量及其分布隨

量的引進,是概率論研究的重大事件，在隨

量引進之前，

只是孤立地研究一個或幾個事件，引進隨量后，可用聯系的觀點來研究問題，進而把所有事件都聯系起來。隨量的引進，使得還可以利用其他的數學工具來研究概率論中的問題。一、隨

量的概念有些隨機試驗的結果本身就是數量。例1：投一枚 所得的點數，這時基本空間={1，……，6}

，例2：對于某 總機在時間(0,T]內收到的呼叫次數，這時基本空間

={0,1，2，……,k，……}，k表示在(0,T]內收到k次呼叫。有些隨機試驗的結果本身不是數量，但可以用數量來表示。=“正面向例2中，取例3

拋一枚硬幣，可能結果：1上”，

2

=“向上”，基本空間={

1

，

2}，但如果分別用0，1表示“

向上”和“正面向上”，則基本空間可以表示為

={0,1}。在上述例子中，很容易建立“樣本點”與“數”之間的對應關系，即對每一樣本點

，可有一個數

(

)

與之對應。在例1,

(

)

,在例3中，取

(

1)

1,

(

2

)

0

。把這種定義在基本空間上的函數

(

)稱為隨

量。這種函數的取值是不能預先確定的，是隨機的，因而稱為隨

量。定義設E是一個隨機試驗，Ω是其基本空間．若基本空間上的單值實函數滿足：對于任意實數x,

(),(

):

()

x

是隨機事件，

則稱

是隨量。二、離散型隨量的概率分布定義若隨 量

X

的可能取值是有限個或可列個,

則稱

X

為離散型隨

量描述X

的概率特性常用分布列表示P

(

X

xk

)

pk

,

k

1,2,即或Xx1

x2

xkp1

p2

pkP(X=x)容易看出任何一個離散型隨

量的概率函數滿足下列的性質p

0,

k1,2,非負性kkp

1規范性k1離散型隨量可完全由其分布列來刻劃．即離散型隨量取值的統計規律性可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．例

設離散型隨量X

的分布列為012345131434161616161616XP{X=x}|求P{

X

2

}

,P{

0.5

X

3

}解：

PX

2

PX

0

PX

1

PX

2

1

3

1

516

16

16

16P0.5

X

3

PX

1

PX

2

3

1

416

16

16定義設

X

為隨 量,

x

是任意實數

,稱函數F

(x)

P(

X

x),

x

為X

的分布函數.由定義知X

落在區間[a,b

)里的概率可用分布函數來計算：P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)三、分布函數分布函數的性質

F

(x

)單調不減，即

x1

x2,

F(x1)

F(x2

)

0

F(x)1

且lim

F

(

x)

1, lim

F

(

x)

0x

x

F

(x

)左連續，即lim

F(t)

F(x)tx0四、離散型隨量的分布函數離散型隨量分布函數

分布列例：設離散型隨

量X的分布列為：X

－1

2

3P

?

?

?求X的分布函數F(x)。解：對x

1,有4F

(x)

P{X

x}

P{X

1}

1

.F(x)

P{X

x}

P{}

0.當1

x

2時，4

2F

(x)

P{X

x}

P{X

1或X

2}

1

1

.當2

x

3,有當x

3時，有F

(x)

P{X

x}

P{}

1.1,

4

3

0,

1

,, 2

x

3,x

3.

1

x

2,x

1,F

(

x

)

4-1

0

1

2

3x分布函數F

(x)在x

=xk

(k

=1,

2,…)處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}.0.2

,1F(x)

例 設隨 量X的分布函數為

0

,

x

11

x

10.9

, 1

x

2,

x

2F

(x)的間斷點xi

,

有P{X

xi}

F

(xi+0)

F(

x

i)若已知X的分布函數為F(x)，則對試寫出X的分布列。解：X的分布列為X

-112P(X=x)0.20.70.1五、連續型隨量及其概率密度定義

設

X

是隨 量,

若存在一個非負可積函數

p(

x

),

使得xp(t)dt

x

F(x)

其中F

(x

)是它的分布函數則稱X

是連續型隨 量，p(

x

)是它的概率密度函數，簡稱為密度函數或概率密度分布函數與密度函數幾何意義xp

(

x)xy

p

(

x

)F

(

x

)-10-5500

00.密度函數p

(x

)的性質p(x)

0p(x)

d

x

F()

1常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續型隨量的密度函數在p

(x

)的連續點處，p(x)

F(x)a例：設連續型隨量X的分布函數為（2）P{-1<X<0.5};（3）X的密度函數p(x).2試求：（1）常數a,b;

b

0,

x

0ax

, 0

x