高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學大學數學（1）第三講數列的極限的性質與收斂準則授課教師：王利平第一節數列的極限一、數列及其簡單性質√二、數列的極限√三、數列極限的性質√四、數列的收斂準則保號性定理的推論1：這里為嚴格不等號時此處仍是不嚴格不等號保號性定理的推論2：在極限存在的前提下,對不等式兩邊可以同時取極限,不等號的方向不變,但嚴格不等號也要改為不嚴格不等號.例1證逆命題成立嗎？例2證例3解利用函數的周期性,在{xn}中取兩個子數列:證由中學的牛頓二項式展開公式例1又等比數列求和放大不等式每個括號小于1.綜上所述,數列{xn}是單調增加且有上界的,由極限存在準則可知,該數列的極限存在,通常將它記為e,即e稱為歐拉常數.歐拉一身經歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠離開了祖國。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（1741－1766年），其余時間則留在俄國彼得堡。歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。他的寓所和財產曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結發之妻先他10年去世。歐拉聲譽顯赫。12次獲巴黎科學院大獎（1738－1772年）曾任彼得堡科學院、柏林科學院、倫敦皇家學會、巴塞爾物理數學會、巴黎科學院等科學團體的成員。有一次，歐拉的兩個學生計算一個復雜的收斂級數的和，加到第17項時兩人發現在第50位數字相差一個單位。為了確定究竟誰對，歐拉用心算進行了全部運算，準確地找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運用心算解決了使牛頓頭疼的月球運動的復雜分析運算。歐拉創用a，b，c表示三角形的三條邊，用A，B，C表示對應的三個角(1748)；創用表示求和符號(1755)；提倡用表示圓周率（1736）；1727年用e表示自然對數的底；還用y表示差分等等。十八世紀四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國，如他在1748年出版的《無窮分析引論》。2.數列極限的夾逼定理設數列{xn},{yn},{zn}滿足下列關系:(2)則(1)ynxnzn,nZ+(或從某一項開始);想想：如何證明夾逼定理?解由于例2想得通吧？解例3例5解夾逼定理例6解除最大的一個外,其余的均取為零.3.柯西收斂準則滿足此條件的數列,稱為“柯西列”.柯西準則可寫為:

柯西

A.L.Cauchy(1789－1857)業績永存的數學大師

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數學家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時代柯西的數學才華就頗受這兩位大數學的贊賞，并預言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強了對柯西文學素質的培養，使得后來柯西在詩歌方面也表現出很高的才華。1805－1810年，柯西考入巴黎理工學校，兩年后以第一名的成績被巴黎橋梁公路學院錄取，畢業時獲該校會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學院數學大獎，1816年3月被任命為巴黎科學院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學校分析學和力學教授。由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，致力于純數學研究。柯西在數學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發展史上的一個重大事件，也是柯西對人類科學發展所作的巨大貢獻。1821年柯西提出了極限定義的ε方法，把極限過程用不等式刻劃出來，后經維爾斯特拉斯改進為現在教科書上所說的極限定義或ε－δ定義。當今所有微積分教科書都還（至少在本質上）沿用柯西關于極限、連續、收斂等概念。柯西對定積分作了系統的開創性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強調在作定積分運算前，應判斷定積分的存在性。

他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數學分析的基本概念得到嚴格化處理，從而結束了200年來微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發展為現代數學最基礎、最龐大的數學學科。數學分析嚴謹化的工作一開始就產生了很大的影響。在一次學術會議上柯西提出了級數收斂理論，會后，拉普拉斯急忙回家，關起門來，避不見人，直到將他所發表和未發表的與級數有關的論文和著作全部檢查一遍，確認無誤為止。柯西一生撰寫的數學論著有800多種。他是19個科學院或著名學術團體的成員。1838年他還被授予男爵封號。他在學術上的貢獻涉及到分析學、復變函數論、彈性力學、微分方程、群論、行列式、數論、解析幾何、數值分析、微分幾何、光學、天體力學等學科或學科分支。