第一章

建模概念及建模方法論第一章

建模概念及建模方法論1一、數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性

由于數(shù)學(xué)的重要性和廣泛應(yīng)用，在國(guó)際上“數(shù)學(xué)”（Mathematics）已逐漸被“數(shù)學(xué)科學(xué)”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大戰(zhàn)后，新技術(shù)、特別是高技術(shù)像雨后春筍般出現(xiàn).數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從傳統(tǒng)的機(jī)械制造等領(lǐng)域迅速擴(kuò)展到這些高新技術(shù)中.一、數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性由于數(shù)學(xué)的重要性和廣泛應(yīng)用，在國(guó)2

目前，數(shù)學(xué)在航空航天技術(shù)，先進(jìn)制造技術(shù)，信息技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)安全，能源勘探開發(fā)，環(huán)境保護(hù)和生態(tài)，經(jīng)濟(jì)管理，城市規(guī)劃和交通，基因工程和生物信息技術(shù)，生物醫(yī)學(xué)和疾病防治等方面起著非常重要的作用.科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力.目前，數(shù)學(xué)在航空航天技術(shù)，先進(jìn)制造技術(shù)，信息技術(shù)，3*信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)；*“高技術(shù)”本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)

(Mathematical-Technique)；*數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)；

*產(chǎn)生新的科研手段：基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的仿真技術(shù).

*計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展促使數(shù)學(xué)得以廣泛應(yīng)用；*信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)；*“高技術(shù)4二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel):重結(jié)果；數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling):重過(guò)程

模型:所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬,具有事物中感興趣的主要性質(zhì).*對(duì)實(shí)體本身的模擬如:飛機(jī)形狀進(jìn)行模擬的模型飛機(jī)；*對(duì)實(shí)體某些屬性的模擬如:對(duì)飛機(jī)性能進(jìn)行模擬的航模比賽飛機(jī)；

二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalM5*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象如:一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地礦情況的抽象

任何一個(gè)模型僅為真實(shí)系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實(shí)系統(tǒng)的重現(xiàn).

數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar定義)：關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象任何一個(gè)模型僅為真實(shí)系統(tǒng)6數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述.

是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述.治愈癱瘓死亡

狀態(tài)（可能）

行動(dòng)（人能控制）等待治療例1.1大夫的決策問(wèn)題數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述.是用數(shù)學(xué)符號(hào)7

可使我們明確大夫的決策取決于目標(biāo)的設(shè)定及治療原則等.此模型表達(dá)了大夫能做什么,可能出現(xiàn)的結(jié)果.

數(shù)學(xué)模型是思考的工具

構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型可幫助我們進(jìn)行交流、獲得理解、加強(qiáng)對(duì)所采取的行動(dòng)及結(jié)果的預(yù)測(cè)能力，它應(yīng)有助于思考過(guò)程.可使我們明確大夫的決策取決于目標(biāo)的設(shè)定此模型表達(dá)了8

數(shù)學(xué)建模：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程

是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去近似地刻畫實(shí)際問(wèn)題，并加以解決的全過(guò)程.

數(shù)學(xué)建模法是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.

例1.1生物醫(yī)學(xué)專家根據(jù)藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可用來(lái)分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥.數(shù)學(xué)建模：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程是運(yùn)用數(shù)學(xué)的9

例1.2.廠長(zhǎng)經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，可獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)效益.諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者建立了大量的數(shù)學(xué)模型，為世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出卓越貢獻(xiàn)：人類時(shí)間價(jià)格模型；教師與畢業(yè)生的增長(zhǎng)模型；房屋出售問(wèn)題模型；最優(yōu)消費(fèi)和組合投資問(wèn)題；例1.2.廠長(zhǎng)經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模10Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動(dòng)匯率的貨幣動(dòng)力學(xué)人類時(shí)間價(jià)格的度量；考慮技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)…….Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動(dòng)匯11三、

從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁面對(duì)各類問(wèn)題如何建立數(shù)學(xué)模型？三、從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)121.世界的末日？

當(dāng)一個(gè)直徑約為1000米的小行星正好在南極與南極洲大陸相撞,是否會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性的影響？1.世界的末日？當(dāng)一個(gè)直徑約為1000米的小行星132.如何控制噴泉的高度？

如何智能實(shí)時(shí)控制廣場(chǎng)中央的噴泉高度，以避免水霧浸濕游客的衣衫？2.如何控制噴泉的高度？如何智能實(shí)時(shí)控制廣場(chǎng)中143.地球會(huì)變暖了嗎？能否根據(jù)地球過(guò)去50年的溫度數(shù)據(jù)，推測(cè)地球氣溫將怎樣變化？是否會(huì)即將出現(xiàn)“千年極寒”？3.地球會(huì)變暖了嗎？能否根據(jù)地球過(guò)去50年的154.如何安排城市交通？巴黎凱旋門

在城市的交通要道，設(shè)置人流、汽車流的交通規(guī)則，避免交通阻塞，提高交通安全性.4.如何安排城市交通？巴黎凱旋門在城市的交通16

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有規(guī)律,做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實(shí)際解答數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特17實(shí)際解答

對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的描述、分析、預(yù)報(bào)、

決策、控制等結(jié)果始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界例1.3一場(chǎng)筆墨官司

美國(guó)原子能委員會(huì)（現(xiàn)為核管理委員會(huì)）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他們這種做法安全嗎？實(shí)際解答對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的描述、分析、預(yù)報(bào)、始于現(xiàn)實(shí)世界并終于18

分析可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險(xiǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵1）圓桶至多能承受多大的沖撞速度？

(40英尺/秒)2）圓桶和海底碰撞時(shí)的速度有多大？分析可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露19問(wèn)題轉(zhuǎn)為—求這種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問(wèn)題是什么?）可利用的數(shù)據(jù)條件：

圓桶的總重量W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力B=470.327（磅）

圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移y(t)滿足的微分方程：

問(wèn)題轉(zhuǎn)為—求這種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問(wèn)題是20方程的解為方程的解為21

計(jì)算觸底時(shí)的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0=？分析

考慮圓桶的極限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

實(shí)際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

計(jì)算觸底時(shí)的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0=22結(jié)論

解決問(wèn)題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點(diǎn)

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圓桶下沉位移

代入(1)得結(jié)論解決問(wèn)題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點(diǎn)23兩邊積分得函數(shù)方程：

若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試)兩邊積分得函數(shù)方程：若能求出函數(shù)v=v(y),就可24*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是單調(diào)上升函數(shù)，而v

增大,y

也增大,可求出函數(shù)y=y(v)

兩種解決思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為v(300)≈4525y=238.4(英尺)＜300（英尺）問(wèn)題的實(shí)際解答：

美國(guó)原子能委員會(huì)處理放射性廢物的做法是極其危險(xiǎn)的，必須改變.

算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）問(wèn)題的實(shí)際解答：26例1.2渡口模型(P22實(shí)例六)

一個(gè)渡口的渡船營(yíng)運(yùn)者擁有一只甲板長(zhǎng)32米,可以并排停放兩列車輛的渡船.他在考慮怎樣在甲板上安排過(guò)河車輛的位置,才能安全地運(yùn)過(guò)盡量多的車輛.

分析

怎樣安排過(guò)河車輛，關(guān)心一次可以運(yùn)多少輛各類車.

準(zhǔn)備工作觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據(jù)和情況：例1.2渡口模型(P22實(shí)例六)一個(gè)渡口的渡船27(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車列；

這是一個(gè)機(jī)理較復(fù)雜的隨機(jī)問(wèn)題，是遵循“先到先服務(wù)”的隨機(jī)排隊(duì)問(wèn)題.(2)來(lái)到車輛中,轎車約占40％，卡車約占55％,摩托車約占5％；(3)轎車車身長(zhǎng)為3.5～5.5米,卡車車身長(zhǎng)為8～10米.

(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車列；這28解決方法

采用模擬模型方法.分析

需考慮以下問(wèn)題：(1)應(yīng)該怎樣安排摩托車？

(2)下一輛到達(dá)的車是什么類型？(3)怎樣描述一輛車的車身長(zhǎng)度？

(4)如何安排到達(dá)車輛加入甲板上兩列車隊(duì)中的哪一列中去？

解決方法采用模擬模型方法.分析需考慮以下問(wèn)題：(1)29解決問(wèn)題思路：(1)認(rèn)為摩托車不會(huì)占有實(shí)際空間.(2)確定即將到達(dá)車輛類型，利用隨機(jī)模擬方法00.550.951卡車轎車摩托車(3)確定隨機(jī)到達(dá)車輛的身長(zhǎng)車.解決問(wèn)題思路：(1)認(rèn)為摩托車不會(huì)占有實(shí)際空間.30汽車類型及車身長(zhǎng)模擬原理分析(4)關(guān)于車輛的排放.

甲板可停放兩列汽車，可供停車的總長(zhǎng)為32×2=64米

排放原則兩列盡可能均衡.(怎樣實(shí)現(xiàn)？)

汽車類型及車身長(zhǎng)模擬原理分析(4)關(guān)于車輛的排放.甲板可31

據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測(cè),到2033年,世界人口將突破100億,每年增加近1億人口,以后還會(huì)迅猛增長(zhǎng).人們開始考慮,我們賴以生存的地球究竟是否能承受如此的增長(zhǎng).現(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng).

分析

設(shè)任意時(shí)刻的人口總數(shù)為N(t)，影響一個(gè)地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的最顯著的因素應(yīng)包括哪些？

例2.3人口增長(zhǎng)模型據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測(cè),到2033年,世界人口將突破1032影響因素個(gè)體的出生、死亡

遷入、遷出

年齡結(jié)構(gòu)

性別比例……影響因素個(gè)體的出生、死亡遷入、遷出年齡結(jié)構(gòu)性別比例…33

現(xiàn)僅考慮出生和死亡對(duì)人口數(shù)的影響.

在時(shí)間段t內(nèi)，出生和死亡人口數(shù)的變化將依賴于以下因素：1.時(shí)間間隔t的長(zhǎng)短；

2.時(shí)間間隔開始時(shí)的人口基數(shù).

1.建模過(guò)程

做最簡(jiǎn)單的假設(shè)：時(shí)間間隔t內(nèi)的出生人數(shù)=b

N(t)t

時(shí)間間隔t內(nèi)的死亡人數(shù)=d

N(t)t現(xiàn)僅考慮出生和死亡對(duì)人口數(shù)的影響.在時(shí)間段t34b和d分別是出生率和死亡率.得到一個(gè)初始模型N(t+t)N(t)=(bd)N(t)

t

（1）針對(duì)時(shí)間區(qū)間t的兩種情況進(jìn)一步討論：1）t是一個(gè)確定的單位時(shí)間(比如t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到關(guān)于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(bd+1)Nk

k=1,2,3,…（2）b和d分別是出生率和死亡率.得到一個(gè)初始模型N(t+t35

根據(jù)上一年的人口數(shù)可推算出第二年的人口數(shù)以及逐年的人口數(shù).

2）在很短的時(shí)間區(qū)間t內(nèi)，將人口數(shù)Ｎ(t)視為一個(gè)連續(xù)變量.具有很小躍變的曲線可視為平滑曲線將(1)改寫為根據(jù)上一年的人口數(shù)可推算出第二年的人口數(shù)以及逐年的人口數(shù)36令t0,有（3）

模型分析

等式左端（以及右端）可以理解為“相對(duì)增長(zhǎng)率”

對(duì)相對(duì)增長(zhǎng)率做不同的假設(shè)可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，并得到不同的解曲線.1）假設(shè)人口凈增長(zhǎng)率b和凈死亡率d均為常數(shù)，凈相對(duì)增長(zhǎng)率r=bd

也是常數(shù).令t0,有（3）模型分析等式左端（以及右端）可37

初始條件N0=N(0)，方程(3)的解為

N(t)=N0ert,t≥0

模型分析

假若凈增長(zhǎng)率r>0,人口的預(yù)測(cè)值將以er為公比按幾何級(jí)數(shù)無(wú)限增長(zhǎng).（參見(jiàn)P60例3.4.6）原因

假設(shè)條件過(guò)于簡(jiǎn)單.不太符合實(shí)際

英國(guó)神父Malthus在分析了一百多年人口統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上建立的模型.

初始條件N0=N(0)，方程(3)的解為模型分析假若38

實(shí)際上隨著人口不斷增長(zhǎng)，環(huán)境資源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年齡和性別結(jié)構(gòu)等都會(huì)對(duì)出生和死亡產(chǎn)生影響，只能在極小的時(shí)間段內(nèi)才可以把人口凈增長(zhǎng)率r近似地看著常數(shù).實(shí)際上隨著人口不斷增長(zhǎng)，環(huán)境資源所能承受的人口容量的限393.

模型改進(jìn)將“人口凈增長(zhǎng)率”視為函數(shù)r(N),方程(3)改為（4）

解得由于r[N(t)]是未知函數(shù),無(wú)法確定N(t).

3.模型改進(jìn)（4）解得由于r[N(t)]是未知函數(shù)40

將凈增長(zhǎng)率r

看成人口數(shù)N的線性函數(shù),設(shè)r(N)=a+cN,并設(shè)r(0)=r,且存在一個(gè)數(shù)值K使r(K)=0.即有求解得

r(N)=r(1N/K)，4.進(jìn)一步改進(jìn)將凈增長(zhǎng)率r看成人口數(shù)N的線性函數(shù),設(shè)求解得41代入式(4)中,有得到Logistic模型：

代入式(4)中,有得到Logistic模型：42模型分析

模型實(shí)際檢驗(yàn)

用Malthus模型和Logistic模型計(jì)算所得的美國(guó)十九世紀(jì)初人口預(yù)測(cè)數(shù).其中K=197273000，r=0.03134.合乎實(shí)際模型分析模型實(shí)際檢驗(yàn)用Malthus模型和Logi43

練習(xí)題請(qǐng)繪出Logistic曲線圖,分析曲線特征,據(jù)此討論：1.Logistic模型具有哪些特點(diǎn)？

3.請(qǐng)將此例的人口模型與新產(chǎn)品銷售模型（講義P20實(shí)例五）進(jìn)行類比,它們?cè)诮７椒ê湍Ｐ兔枋龇矫嬗惺裁串愅?2.比較兩個(gè)人口模型的優(yōu)缺點(diǎn).練習(xí)題請(qǐng)繪出Logistic曲線圖,分析曲線特征,據(jù)此44第一章

建模概念及建模方法論第一章

建模概念及建模方法論45一、數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性

由于數(shù)學(xué)的重要性和廣泛應(yīng)用，在國(guó)際上“數(shù)學(xué)”（Mathematics）已逐漸被“數(shù)學(xué)科學(xué)”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大戰(zhàn)后，新技術(shù)、特別是高技術(shù)像雨后春筍般出現(xiàn).數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從傳統(tǒng)的機(jī)械制造等領(lǐng)域迅速擴(kuò)展到這些高新技術(shù)中.一、數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性由于數(shù)學(xué)的重要性和廣泛應(yīng)用，在國(guó)46

目前，數(shù)學(xué)在航空航天技術(shù)，先進(jìn)制造技術(shù)，信息技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)安全，能源勘探開發(fā)，環(huán)境保護(hù)和生態(tài)，經(jīng)濟(jì)管理，城市規(guī)劃和交通，基因工程和生物信息技術(shù)，生物醫(yī)學(xué)和疾病防治等方面起著非常重要的作用.科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力.目前，數(shù)學(xué)在航空航天技術(shù)，先進(jìn)制造技術(shù)，信息技術(shù)，47*信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)；*“高技術(shù)”本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)

(Mathematical-Technique)；*數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)；

*產(chǎn)生新的科研手段：基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的仿真技術(shù).

*計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展促使數(shù)學(xué)得以廣泛應(yīng)用；*信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)；*“高技術(shù)48二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel):重結(jié)果；數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling):重過(guò)程

模型:所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬,具有事物中感興趣的主要性質(zhì).*對(duì)實(shí)體本身的模擬如:飛機(jī)形狀進(jìn)行模擬的模型飛機(jī)；*對(duì)實(shí)體某些屬性的模擬如:對(duì)飛機(jī)性能進(jìn)行模擬的航模比賽飛機(jī)；

二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalM49*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象如:一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地礦情況的抽象

任何一個(gè)模型僅為真實(shí)系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實(shí)系統(tǒng)的重現(xiàn).

數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar定義)：關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象任何一個(gè)模型僅為真實(shí)系統(tǒng)50數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述.

是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述.治愈癱瘓死亡

狀態(tài)（可能）

行動(dòng)（人能控制）等待治療例1.1大夫的決策問(wèn)題數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述.是用數(shù)學(xué)符號(hào)51

可使我們明確大夫的決策取決于目標(biāo)的設(shè)定及治療原則等.此模型表達(dá)了大夫能做什么,可能出現(xiàn)的結(jié)果.

數(shù)學(xué)模型是思考的工具

構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型可幫助我們進(jìn)行交流、獲得理解、加強(qiáng)對(duì)所采取的行動(dòng)及結(jié)果的預(yù)測(cè)能力，它應(yīng)有助于思考過(guò)程.可使我們明確大夫的決策取決于目標(biāo)的設(shè)定此模型表達(dá)了52

數(shù)學(xué)建模：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程

是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去近似地刻畫實(shí)際問(wèn)題，并加以解決的全過(guò)程.

數(shù)學(xué)建模法是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.

例1.1生物醫(yī)學(xué)專家根據(jù)藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可用來(lái)分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥.數(shù)學(xué)建模：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程是運(yùn)用數(shù)學(xué)的53

例1.2.廠長(zhǎng)經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，可獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)效益.諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者建立了大量的數(shù)學(xué)模型，為世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出卓越貢獻(xiàn)：人類時(shí)間價(jià)格模型；教師與畢業(yè)生的增長(zhǎng)模型；房屋出售問(wèn)題模型；最優(yōu)消費(fèi)和組合投資問(wèn)題；例1.2.廠長(zhǎng)經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模54Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動(dòng)匯率的貨幣動(dòng)力學(xué)人類時(shí)間價(jià)格的度量；考慮技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)…….Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動(dòng)匯55三、

從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁面對(duì)各類問(wèn)題如何建立數(shù)學(xué)模型？三、從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)561.世界的末日？

當(dāng)一個(gè)直徑約為1000米的小行星正好在南極與南極洲大陸相撞,是否會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性的影響？1.世界的末日？當(dāng)一個(gè)直徑約為1000米的小行星572.如何控制噴泉的高度？

如何智能實(shí)時(shí)控制廣場(chǎng)中央的噴泉高度，以避免水霧浸濕游客的衣衫？2.如何控制噴泉的高度？如何智能實(shí)時(shí)控制廣場(chǎng)中583.地球會(huì)變暖了嗎？能否根據(jù)地球過(guò)去50年的溫度數(shù)據(jù)，推測(cè)地球氣溫將怎樣變化？是否會(huì)即將出現(xiàn)“千年極寒”？3.地球會(huì)變暖了嗎？能否根據(jù)地球過(guò)去50年的594.如何安排城市交通？巴黎凱旋門

在城市的交通要道，設(shè)置人流、汽車流的交通規(guī)則，避免交通阻塞，提高交通安全性.4.如何安排城市交通？巴黎凱旋門在城市的交通60

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有規(guī)律,做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實(shí)際解答數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特61實(shí)際解答

對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的描述、分析、預(yù)報(bào)、

決策、控制等結(jié)果始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界例1.3一場(chǎng)筆墨官司

美國(guó)原子能委員會(huì)（現(xiàn)為核管理委員會(huì)）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他們這種做法安全嗎？實(shí)際解答對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的描述、分析、預(yù)報(bào)、始于現(xiàn)實(shí)世界并終于62

分析可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險(xiǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵1）圓桶至多能承受多大的沖撞速度？

(40英尺/秒)2）圓桶和海底碰撞時(shí)的速度有多大？分析可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露63問(wèn)題轉(zhuǎn)為—求這種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問(wèn)題是什么?）可利用的數(shù)據(jù)條件：

圓桶的總重量W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力B=470.327（磅）

圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移y(t)滿足的微分方程：

問(wèn)題轉(zhuǎn)為—求這種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問(wèn)題是64方程的解為方程的解為65

計(jì)算觸底時(shí)的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0=？分析

考慮圓桶的極限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

實(shí)際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

計(jì)算觸底時(shí)的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0=66結(jié)論

解決問(wèn)題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點(diǎn)

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圓桶下沉位移

代入(1)得結(jié)論解決問(wèn)題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點(diǎn)67兩邊積分得函數(shù)方程：

若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試)兩邊積分得函數(shù)方程：若能求出函數(shù)v=v(y),就可68*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是單調(diào)上升函數(shù)，而v

增大,y

也增大,可求出函數(shù)y=y(v)

兩種解決思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為v(300)≈4569y=238.4(英尺)＜300（英尺）問(wèn)題的實(shí)際解答：

美國(guó)原子能委員會(huì)處理放射性廢物的做法是極其危險(xiǎn)的，必須改變.

算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）問(wèn)題的實(shí)際解答：70例1.2渡口模型(P22實(shí)例六)

一個(gè)渡口的渡船營(yíng)運(yùn)者擁有一只甲板長(zhǎng)32米,可以并排停放兩列車輛的渡船.他在考慮怎樣在甲板上安排過(guò)河車輛的位置,才能安全地運(yùn)過(guò)盡量多的車輛.

分析

怎樣安排過(guò)河車輛，關(guān)心一次可以運(yùn)多少輛各類車.

準(zhǔn)備工作觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據(jù)和情況：例1.2渡口模型(P22實(shí)例六)一個(gè)渡口的渡船71(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車列；

這是一個(gè)機(jī)理較復(fù)雜的隨機(jī)問(wèn)題，是遵循“先到先服務(wù)”的隨機(jī)排隊(duì)問(wèn)題.(2)來(lái)到車輛中,轎車約占40％，卡車約占55％,摩托車約占5％；(3)轎車車身長(zhǎng)為3.5～5.5米,卡車車身長(zhǎng)為8～10米.

(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車列；這72解決方法

采用模擬模型方法.分析

需考慮以下問(wèn)題：(1)應(yīng)該怎樣安排摩托車？

(2)下一輛到達(dá)的車是什么類型？(3)怎樣描述一輛車的車身長(zhǎng)度？

(4)如何安排到達(dá)車輛加入甲板上兩列車隊(duì)中的哪一列中去？

解決方法采用模擬模型方法.分析需考慮以下問(wèn)題：(1)73解決問(wèn)題思路：(1)認(rèn)為摩托車不會(huì)占有實(shí)際空間.(2)確定即將到達(dá)車輛類型，利用隨機(jī)模擬方法00.550.951卡車轎車摩托車(3)確定隨機(jī)到達(dá)車輛的身長(zhǎng)車.解決問(wèn)題思路：(1)認(rèn)為摩托車不會(huì)占有實(shí)際空間.74汽車類型及車身長(zhǎng)模擬原理分析(4)關(guān)于車輛的排放.

甲板可停放兩列汽車，可供停車的總長(zhǎng)為32×2=64米

排放原則兩列盡可能均衡.(怎樣實(shí)現(xiàn)？)

汽車類型及車身長(zhǎng)模擬原理分析(4)關(guān)于車輛的排放.甲板可75

據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測(cè),到2033年,世界人口將突破100億,每年增加近1億人口,以后還會(huì)迅猛增長(zhǎng).人們開始考慮,我們賴以生存的地球究竟是否能承受如此的增長(zhǎng).現(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng).

分析

設(shè)任意時(shí)刻的人口總數(shù)為N(t)，影響一個(gè)地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的最顯著的因素應(yīng)包括哪些？

例2.3人口增長(zhǎng)模型據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測(cè),到2033年,世界人口將突破1076影響因素個(gè)體的出生、死亡

遷入、遷出

年齡結(jié)構(gòu)

性別比例……影響因素個(gè)體的出生、死亡遷入、遷出年齡結(jié)構(gòu)性別比例…77

現(xiàn)僅考慮出生和死亡對(duì)人口數(shù)的影響.

在時(shí)間段t內(nèi)，出生和死亡人口數(shù)的變化將依賴于以下因素：1.時(shí)間間隔t的長(zhǎng)短；

2.時(shí)間間隔開始時(shí)的人口基數(shù).

1.建模過(guò)程

做最簡(jiǎn)單的假設(shè)：時(shí)間間隔t內(nèi)的出生人數(shù)=b

N(t)t

時(shí)間間隔t內(nèi)的死亡人數(shù)=d

N(t)t現(xiàn)僅考慮出生和死亡對(duì)人口數(shù)的影響.在時(shí)間段t78b和d分別是出生率和死亡率.得到一個(gè)初始模型N(t+t)N(t)=(bd)N(t)

t

（1）針對(duì)時(shí)間區(qū)間t的兩種情況進(jìn)一步討論：1）t是一個(gè)確定的單位時(shí)間(比如t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到關(guān)于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(bd+1)Nk

k=1,2,3,…（2）b和d分別是出生率和死亡率.得到一個(gè)初始模型N(t+t79

根據(jù)上一年的人口數(shù)可推算出第二年的人口數(shù)以及逐年