遼寧省沈陽市2022～2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)一、選擇題（下列各題備選答案中，只有一個答案是正確的。每小題2分，共20分）1．下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．0 B． C．﹣2 D．2．下列運算正確的是（）A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝13．下列表述能確定物體具體位置的是（）A．敬業(yè)小區(qū) B．勝利南街右邊 C．北偏東30° D．東經(jīng)118°，北緯28°4．下到方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．5．已知△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形6．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AP＝AC，則數(shù)軸上點P所表示的數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣27．已知圖形A在y軸的右側(cè)，如果將圖形A上的所有點的橫坐標(biāo)都乘﹣1，縱坐標(biāo)不變得到圖形B，則（）A．兩個圖形關(guān)于x軸對稱 B．兩個圖形關(guān)于y軸對稱 C．兩個圖形重合 D．兩個圖形不關(guān)于任何一條直線對稱8．如圖，等腰直角△OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝2，則點B坐標(biāo)為（）A．（1，1） B．（，1） C． D．（1，）9．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，觀察圖象可得（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜010．對于一次函數(shù)y＝﹣2x+4，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)值隨自變量的增大而增大 B．點（4﹣a，a）在該函數(shù)的圖象上 C．函數(shù)的圖象與直線y＝﹣x﹣2平行 D．函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形的周長為6+2二、填空題（每小題3分，共18分）11．若x＜﹣1＜y且x，y是兩個連續(xù)的整數(shù)，則x+y的值是．12．若y＝+4，則x2+y2的算術(shù)平方根是．13．在一次函數(shù)y＝﹣2x+5圖象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）兩點，且x1＞x2，則y1y2（填“＞，＜或＝”）．14．小明從郵局買了面值0.5元和0.8元的郵票共9枚，花了6.3元，小明買了兩種郵票各多少枚？若設(shè)買了面值0.5元的郵票x枚，0.8元的郵票y枚，則根據(jù)題意可列出方程組為．15．一輛轎車和一輛貨車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，相遇后繼續(xù)前行，已知轎車比貨車每小時多行駛10千米，設(shè)行駛的時間為x（小時），兩車之間的距離為y（千米），圖中的折線表示從兩車出發(fā)至轎車到達(dá)乙地這一過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象提供的信息，下列說法正確的是．①甲乙兩地的距離為450千米②點A的實際意義是兩車出發(fā)2小時相距150千米③x＝3時，兩車相遇④貨車的速度為90千米/小時16．已知長方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M為線段AD上一點且AM＝8，點P從B出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段BC﹣CD的方向運動，至點D停止，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)△AMP為等腰三角形時，t的值為．三、計算題（第17題6分，第18題8分，共14分）17．計算：（1）；（2）．18．解二元一次方程組：（1）；（2）．四、解答題（19.20.21每題8分，22.23每題10分，24.25每題12分，共68分）19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱的△A1B1C1．（2）△A1B1C的面積為；（3）y軸上存在一點P使得△ABP的周長最小，點P的坐標(biāo)為，周長最小值為．20．觀察、發(fā)現(xiàn)：．（1）化簡：＝；（2）直接寫出：＝；（3）求值：．21．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點，且CD＝8cm，BD＝6cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．22．學(xué)校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商．經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相同，即每套100元．經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打七折，但校方需承擔(dān)1200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打八折，公司承擔(dān)運費．如果設(shè)參加演出的學(xué)生有x人．（1）寫出：①學(xué)校購買A公司服裝所付的總費用y1（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；②學(xué)校購買B公司服裝所付的總費用y2（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若參演學(xué)生人數(shù)為150人，選擇哪個公司比較合算，請說明理由．23．如圖，把長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸的正半軸上，連接AC，OA＝4，＝．（1）根據(jù)題意，寫出點A的坐標(biāo)，點C的坐標(biāo)；（2）求AC所在直線的表達(dá)式；（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），折疊后紙片重疊部分（即△CEF）的面積為；（4）請直接寫出EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式．24．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF．（1）思路梳理：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，如圖1，使AB與AD重合，易證∠GAF＝∠EAF＝45°，可證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類比引申：如圖2，在圖1的條件下，若點E，F(xiàn)由原來的位置分別變到正方形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為，并給出證明；（3）聯(lián)想拓展：如圖3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中AM、AN分別與直線BC交于點D、E，若BD＝2，EC＝4，則BE的長為．25．【模型建立】（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，則直線l2的函數(shù)表達(dá)式為．（3）如圖3，將圖1四邊形放到平面直角坐標(biāo)系中，點E與O重合，邊ED放到x軸上，若OB＝2，OC＝1，在x軸上存在點M使得以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形面積為4，請直接寫出點M的坐標(biāo)．（4）如圖4，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點B（3，﹣4），過點B作BA⊥x軸于點A，BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝﹣2x+1上的動點且在第四象限內(nèi)．若△CPD是等腰直角三角形．請直接寫出點D的坐標(biāo)．

答案一、選擇題（下列各題備選答案中，只有一個答案是正確的。每小題2分，共20分）1．下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．0 B． C．﹣2 D．【分析】根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．解：0，﹣2，是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：B．2．下列運算正確的是（）A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝1【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，二次根式的加減運算法則計算，即可進(jìn)行判斷．解：A、＝3，所以A選項正確，符合題意；B、＝3，所以B選項錯誤，不符合題意；C、＝＝3，所以C選項錯誤，不符合題意；D、3﹣2＝，所以D選項錯誤，不符合題意．故選：A．3．下列表述能確定物體具體位置的是（）A．敬業(yè)小區(qū) B．勝利南街右邊 C．北偏東30° D．東經(jīng)118°，北緯28°【分析】根據(jù)確定位置的有序數(shù)對有兩個數(shù)解答．解：在平面直角坐標(biāo)系中，要用兩個數(shù)據(jù)才能表示一個點的位置，縱觀各選項，只有東經(jīng)118°，北緯28°能確定物體的位置．故選：D．4．下到方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．解：A．此方程組符合二元一次方程組的定義，此選項符合題意；B．此方程組含有3個未知數(shù)，此選項不符合題意；C．xy＝4不是二元一次方程，此選項不符合題意；D．x2﹣1＝0不是一次方程，此選項不符合題意；故選：A．5．已知△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【分析】根據(jù)（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷．解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形，故選：A．6．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AP＝AC，則數(shù)軸上點P所表示的數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣2【分析】由正方形邊長，可求對角線AC＝2，則P點表示的數(shù)是1﹣2．解：∵ABCD是邊長為2的正方形，∴AC＝2，∵AP＝AC，∴AP＝2，∴P點表示的數(shù)是1﹣2，故選：D．7．已知圖形A在y軸的右側(cè)，如果將圖形A上的所有點的橫坐標(biāo)都乘﹣1，縱坐標(biāo)不變得到圖形B，則（）A．兩個圖形關(guān)于x軸對稱 B．兩個圖形關(guān)于y軸對稱 C．兩個圖形重合 D．兩個圖形不關(guān)于任何一條直線對稱【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可選出答案．解：∵將圖形A上的所有點的橫坐標(biāo)乘以﹣1，縱坐標(biāo)不變，∴橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，∴得到的圖形B與A關(guān)于y軸對稱，故選：A．8．如圖，等腰直角△OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝2，則點B坐標(biāo)為（）A．（1，1） B．（，1） C． D．（1，）【分析】過點B作BC⊥OA，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：過點B作BC⊥OA，∵等腰直角△OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝2，∴OC＝1，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝1，∴B的坐標(biāo)為（1，1），故選：A．9．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，觀察圖象可得（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過一、三象限，∴k＞0，又該直線與y軸交于正半軸，∴b＞0．綜上所述，k＞0，b＞0．故選：A．10．對于一次函數(shù)y＝﹣2x+4，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)值隨自變量的增大而增大 B．點（4﹣a，a）在該函數(shù)的圖象上 C．函數(shù)的圖象與直線y＝﹣x﹣2平行 D．函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形的周長為6+2【分析】根據(jù)一次函數(shù)的k的符號判斷y隨x增大而減小，把點坐標(biāo)代入解析式判斷是否點坐圖象上，根據(jù)k是否相等判斷兩直線是否平行，由函數(shù)解析式求出直線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，從而求解圖象與坐標(biāo)軸圍成圖象的周長．解：∵y＝﹣2x+4中k＝﹣2，圖象下降，y隨x增大而減小，故選項A錯誤，不符合題意．把x＝4﹣a代入y＝﹣2x+4得y＝﹣2（4﹣a）+4＝﹣4+2a，∴（4﹣a，a）不在直線上，故選項B錯誤，不符合題意．∵y＝﹣x﹣2中k＝﹣1，故選項C錯誤，不符合題意．設(shè)直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，把x＝0代入y＝﹣2x+4得y＝4，∴點B坐標(biāo)為（0，4），把y＝0代入y＝﹣2x+4得0＝﹣2x+4，解得x＝2，∴點A坐標(biāo)為（2，0），在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝2，∴函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形的周長為AO+BO+AB＝6+2，故D選項正確，符合題意．故選：D．二、填空題（每小題3分，共18分）11．若x＜﹣1＜y且x，y是兩個連續(xù)的整數(shù)，則x+y的值是3．【分析】估算得出的范圍，進(jìn)而求出x與y的值，即可求出所求．解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，∴x＝1，y＝2，則x+y＝1+2＝3，故312．若y＝+4，則x2+y2的算術(shù)平方根是5．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代數(shù)式求值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．解：根據(jù)題意得，3﹣x≥0且x﹣3≥0，解得x≤3且x≥3，所以，x＝3，y＝4，所以，x2+y2＝32+42＝25，∵25的算術(shù)平方根是5，∴x2+y2的算術(shù)平方根是5．故5．13．在一次函數(shù)y＝﹣2x+5圖象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）兩點，且x1＞x2，則y1＜y2（填“＞，＜或＝”）．【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的增減性，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵一次函數(shù)y＝﹣2x+5中，k＝﹣2＜0，∴y隨x的增大而減小．∵x1＞x2，∴y1＜y2．故＜．14．小明從郵局買了面值0.5元和0.8元的郵票共9枚，花了6.3元，小明買了兩種郵票各多少枚？若設(shè)買了面值0.5元的郵票x枚，0.8元的郵票y枚，則根據(jù)題意可列出方程組為．【分析】由題意可得等量關(guān)系①0.5元的郵票枚數(shù)+面值0.8元的郵票枚數(shù)＝9枚；②0.5元的郵票價格+面值0.8元的郵票總價格＝6.3元，由等量關(guān)系列出方程組即可．解：設(shè)買了面值0.5元的郵票x枚，0.8元的郵票y枚，由題意得．故．15．一輛轎車和一輛貨車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，相遇后繼續(xù)前行，已知轎車比貨車每小時多行駛10千米，設(shè)行駛的時間為x（小時），兩車之間的距離為y（千米），圖中的折線表示從兩車出發(fā)至轎車到達(dá)乙地這一過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象提供的信息，下列說法正確的是①②③．①甲乙兩地的距離為450千米②點A的實際意義是兩車出發(fā)2小時相距150千米③x＝3時，兩車相遇④貨車的速度為90千米/小時【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和題意，可以直接判斷①②③，再根據(jù)轎車比貨車每小時多行駛10千米和兩車3小時相遇，即可計算出貨車的速度，從而可以判斷④．解：由圖象可得，甲乙兩地的距離為450千米，故①正確；點A的實際意義是兩車出發(fā)2小時相距150千米，故②正確；x＝3時，兩車相遇，故③正確；貨車的速度為：（450÷3﹣10）÷2＝70（千米/小時），故④錯誤；故①②③．16．已知長方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M為線段AD上一點且AM＝8，點P從B出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段BC﹣CD的方向運動，至點D停止，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)△AMP為等腰三角形時，t的值為4﹣或2或．【分析】分三種情況：①當(dāng)PA＝PM時，點P在AM的垂直平分線上，取AM的中點N，過點N作NP⊥AM交BC于P，則四邊形ABPN是矩形，得BP＝AN＝AM＝4，即可求解；②當(dāng)AM＝AP＝8時，由勾股定理得BP＝2，即可求解；③當(dāng)MA＝MP＝8時，過點M作MH⊥BC于H，則四邊形ABHM為矩形，得MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，由勾股定理得HP＝2，則BP＝BH﹣HP＝8﹣2，即可求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，當(dāng)△AMP為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)PA＝PM時，點P在AM的垂直平分線上，取AM的中點N，過點N作NP⊥AM交BC于P，如圖1所示：則四邊形ABPN是矩形，∴BP＝AN＝AM＝4，∴t＝4÷2＝2；②當(dāng)AM＝AP＝8時，如圖2所示：在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝＝2，∴t＝2÷2＝；③當(dāng)MA＝MP＝8時，過點M作MH⊥BC于H，如圖3所示：則四邊形ABHM為矩形，∴MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，在Rt△MHP中，由勾股定理得：HP＝＝＝2，∴BP＝BH﹣HP＝8﹣2，∴t＝（8﹣2）÷2＝4﹣；綜上所述，t的值為：4﹣或2或，故4﹣或2或．三、計算題（第17題6分，第18題8分，共14分）17．計算：（1）；（2）．【分析】（1）分別化簡、、，再合并同類二次根式即可；（2）化簡、、以及|﹣2|，再合并同類項即可．解：（1）原式＝2﹣4+3＝；（2）原式＝9+（﹣3）+2﹣（﹣2）＝9﹣3+2﹣+2＝10﹣．18．解二元一次方程組：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)代入消元法解決此題．（2）將2x+3y＝5記作①式，x﹣3y＝1記作②式．由②變形得x＝3y+1…③，再運用代入消元法解決此題．解：（1）將x＝y(tǒng)﹣9代入x+3y＝7，得y﹣9+3y＝7．∴y+3y＝7+9．∴4y＝16．∴y＝4．∴x＝y(tǒng)﹣9＝4﹣9＝﹣5．∴這個方程組的解為．（2）將2x+3y＝5記作①式，x﹣3y＝1記作②式．由②，得x＝3y+1…③．將③代入①，得2（3y+1）+3y＝5．∴6y+2+3y＝5．∴6y+3y＝5﹣2．∴9y＝3．∴y＝．∴x＝3×+1＝2．∴這個方程組的解為．四、解答題（19.20.21每題8分，22.23每題10分，24.25每題12分，共68分）19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱的△A1B1C1．（2）△A1B1C的面積為7；（3）y軸上存在一點P使得△ABP的周長最小，點P的坐標(biāo)為（0，），周長最小值為+．【分析】（1）分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）利用待定系數(shù)法求出AB1所在直線解析式，從而得出點P坐標(biāo)，再利用勾股定理可得三角形ABP周長最小值．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）如圖所示，連接A1C，△A1B1C的面積為×7×2＝7，故7；（3）如圖所示，連接AB1，與y軸的交點即為所求點P，設(shè)AB1所在直線解析式為y＝kx+b，則，解得，∴y＝x+，當(dāng)x＝0時，y＝，∴P（0，）；∵AB1＝＝，AB＝＝，∴周長最小值為+，故（0，），+．20．觀察、發(fā)現(xiàn)：．（1）化簡：＝﹣；（2）直接寫出：＝﹣；（3）求值：．【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)得出有理化因式，進(jìn)而化簡得出答案；（2）直接利用（1）中規(guī)律得出答案；（3）直接利用運算規(guī)律化簡，進(jìn)而得出答案．解：（1）＝＝﹣；故﹣；（2）原式＝﹣；故﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣..........+﹣＝﹣1+＝﹣1+10＝9．21．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點，且CD＝8cm，BD＝6cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°即可；（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．證明：（1）設(shè)AB＝AC＝acm，∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，∴CD⊥AB；（2）∵∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，即a2＝（a﹣6）2+82，解得：a＝，即AB＝cm．22．學(xué)校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商．經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相同，即每套100元．經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打七折，但校方需承擔(dān)1200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打八折，公司承擔(dān)運費．如果設(shè)參加演出的學(xué)生有x人．（1）寫出：①學(xué)校購買A公司服裝所付的總費用y1（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1＝70x+1200；②學(xué)校購買B公司服裝所付的總費用y2（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)2＝80x．（2）若參演學(xué)生人數(shù)為150人，選擇哪個公司比較合算，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)A公司給出的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打七折，但校方需承擔(dān)1200元的運費，可以寫出學(xué)校購買A公司服裝所付的總費用y1（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)B公司的優(yōu)惠條件是：服裝按單價打八折，公司承擔(dān)運費，可以寫出學(xué)校購買B公司服裝所付的總費用y2（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）先判斷哪家公司比較合算，然后將x＝150代入（1）中的兩個函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的函數(shù)值，再比較大小即可說明理由．解：（1）①由題意可得，學(xué)校購買A公司服裝所付的總費用y1（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，故y1＝70x+1200；②由題意可得，學(xué)校購買B公司服裝所付的總費用y2（元）與參演學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是y2＝100x×0.8＝80x，故y2＝80x；（2）若參演學(xué)生人數(shù)為150人，選擇A公司比較合算，理由：當(dāng)x＝150時，y1＝70×150+1200＝11700，y2＝80×150＝12000，∵11700＜12000，∴若參演學(xué)生人數(shù)為150人，選擇A公司比較合算．23．如圖，把長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸的正半軸上，連接AC，OA＝4，＝．（1）根據(jù)題意，寫出點A的坐標(biāo)（4，0），點C的坐標(biāo)（0，2）；（2）求AC所在直線的表達(dá)式；（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），折疊后紙片重疊部分（即△CEF）的面積為；（4）請直接寫出EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝2x﹣3．【分析】（1）由OA＝4，＝．得OC＝2，即可得出點A、C的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得CE＝CF，設(shè)CE＝AE＝x，則OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得CE的長，從而求出面積；（4）設(shè)AC與EF的交點為G，可知點G為AC的中點，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．解：（1）∵OA＝4，＝．∴OC＝2，∴A（4，0），C（0，2）；故（4，0），（0，2）；（2）設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線AC的函數(shù)解析式為：y＝﹣；（3）由折疊知：AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，∵BC∥OA，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，設(shè)CE＝AE＝x，則OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理得：（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴CE＝，∴S△CEF＝×CF×OC＝×＝，故；（4）設(shè)AC與EF的交點為G，∵AE＝CE＝，∴OE＝，∴E（），由折疊知，EF垂直平分AC，∴點G為AC的中點，∴點G（2，1），設(shè)直線EF的函數(shù)解析式為：y＝mx+n，∴，∴，∴直線EF的函數(shù)解析式為y＝2x﹣3，故y＝2x﹣3．24．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF．（1）思路梳理：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，如圖1，使AB與AD重合，易證∠GAF＝∠EAF＝45°，可證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為BE+FD＝EF；（2）類比引申：如圖2，在圖1的條件下，若點E，F(xiàn)由原來的位置分別變到正方形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為DF＝EF+BE，并給出證明；（3）聯(lián)想拓展：如圖3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中AM、AN分別與直線BC交于點D、E，若BD＝2，EC＝4，則BE的長為2+2．【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．解：（1）如圖1所示：∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴EF＝FG．∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．故BE+FD＝EF；（2）DF＝EF+BE．證明：如圖2所示．∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADC＝∠ABE＝90°，∴點C、D、G在一條直線上．∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．又∵∠BAG+∠GAD＝90°，∴∠EAG＝∠BAD＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∴∠EAF＝∠GAF．在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS）．∴EF＝FG．∵FD＝FG+DG，∴DF＝EF+BE，故DF＝EF+BE；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，又∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，則在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE（SAS）．∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．∴∠BDF＝90°．∴△BDF是直角三角形．∴BD2+BF2＝DF2．∴BD2+CE2＝DE2．∴DE＝＝2．∴BE＝BD+DE＝2+2．故2+2．25．【模型建立】（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，則直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝5x﹣10．（3）如圖3，將圖1四邊形放到平面直角坐標(biāo)系中，點E與O重合，邊ED放到x軸上，若OB＝2，OC＝1，在x軸上存在點M使得以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形面積為4，請直接寫出點M的坐標(biāo)（2，0）或（﹣2，0）．（4）如圖4，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點B（3，﹣4），過點B作BA⊥x軸于點A，BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝﹣2x+1上的動點且在第四象限內(nèi)．若△CPD是等腰直角三角形．請直接寫出點D的坐標(biāo)（）或（4，﹣7）或（）．【分析】（