隨機信號與系統第3章平穩性與功率譜密度2第3章平穩性與功率譜密度平穩性(Stationarity)的概念隨機信號的某些統計特性對于參量值“穩定不變”的性質被稱為平穩性，相應的隨機信號被稱為平穩隨機信號。

3e.g.nX(n,s2)01……12345678910nX(n,s1)01123456789104e.g.5e.g.其中A~u[-1,1],ω，θ為常數6e.g.X(t)=acos(ωt+Θ)其中Θ~u[0,2π],a,ω為常數7第3章平穩性與功率譜密度3.1平穩性與聯合平穩性3.2循環平穩性3.3平穩信號的相關函數3.4功率譜密度與互功率譜密度3.5白噪聲與熱噪聲3.6應用舉例83.1平穩性與聯合平穩性平穩性（Stationarity）:隨機信號的主要（或全部）統計特性對于參量t保持不變的特性。包括嚴格平穩性（Strict-sensestationarity）與廣義平穩性（Wide-sensestationarity）93.1.1嚴格與廣義平穩信號定義3.1

隨機過程，如果對任意的和任意滿足的τ值，成立。則稱X(t)具有嚴格平穩性（或強平穩性），也稱X(t)是嚴格平穩隨機信號（或強平穩隨機信號）,記作SSSR.S.。10嚴格平穩性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ11SSSR.S.X(t)的特性

（1）

X(t)的一維概率分布函數、概率密度函數、均值與時間t無關，即：12SSSR.S.X(t)的特性（2）

X(t)的二維概率分布函數與兩時刻的絕對值無關，只與相對差有關；如果其二維概率密度函數與相關函數存在，它們也只與兩時刻的相對差有關，即13嚴格平穩性14嚴格平穩性隨機信號舉例貝努里隨機信號（SSS）nX（n，sn）01……12345678910nX（n，s1）011234567891015嚴格平穩性隨機信號舉例二元傳輸信號（非SSSR.S.）t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ16嚴格平穩性隨機信號舉例隨機信號U(t)~N(0,A0/2)，而不同時刻的隨機變量之間彼此統計獨立。17廣義平穩性Wide-sensestationarity定義3.2

隨機過程，滿足： 1）均值為常數； 2）相關函數與兩時刻(t1,t2)的絕對值無關，只與相對差有關τ＝t1－t2，即

則稱X(t)具有廣義平穩性（或弱平穩性、寬平穩性），也稱X(t)是廣義平穩隨機信號（或弱平穩隨機信號、寬平穩隨機信號）,記作WSSR.S.。18廣義平穩性二階矩過程：若隨機信號{X(t)},t∈T}滿足則稱隨機信號{X(t),t∈T}為二階矩過程（功率有限）。19舉例例3.1

廣義平穩隨機信號X(t)通過如圖所示的乘法調制器得到隨機信號Y(t)，圖中ω是確定量，Θ是[-π,+π]均勻分布的隨機相位，Θ與X(t)是統計獨立的。試討論隨機信號Y(t)的平穩性。20例3.1續解：由圖可知（1）均值函數為：（2）相關函數可以表示為均值是常數且相關函數僅與τ有關，Y(t)是廣義平穩的。21定理3.1 高斯隨機信號{X(t,s),-∞<t<+∞}的嚴格平穩性與廣義平穩性是一致的。即對于高斯隨機信號有：22思路：SSS高斯隨機信號23N維分布其中均值向量隨機向量的協方差矩陣可表示為高斯信號的n維p.d.f為24定理3.1證明證明：由于X(t)是WSSR.S. 所以25舉例續的協方差陣C都相等（只與n個不同時刻的相對位置有關，而與絕對位置無關）26273.1.2聯合平穩性定義3.3對于隨機過程與，如果任取與，以及與，對于的任意τ值，始終有

成立。則稱X(t)與Y(t)具有聯合嚴格平穩性（或強平穩性），也稱X(t)與Y(t)是聯合嚴格平穩隨機信號（或聯合強平穩隨機信號），記作JSSSR.S.。28聯合嚴格平穩性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τtY(t)s1s2s3sms1+τs2+τsm+τ29JSSSR.S.的特性

X(t)和Y(t)都是SSSR.S.30聯合廣義平穩性定義3.4

WSSR.S.與，如果其互相關函數存在，且與兩時刻(t1,t2)的絕對值無關，只與相對差有關，則稱X(t)與Y(t)具有聯合廣