定積分法求面積的探究教學系： 專業： 年級： 姓名： 學號： 導師及職稱：定積分是數學中十分重要的工具，其中求圖形的面積正是它的運用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐標系下可采用特定的方法求解面積。本文介紹了幾種運用定積分來求面積的方法，其中列舉了特殊的例題以及重要的問題解決方法。如果實際問題中的所求量與某一區間有關且在該區間上具有可加性，我們就可以用函數的定積分來表示這個所求的量，因此我們就可以運用定積分來解決一些實際問題。同時利用定積分求不規則平面圖形的面積，是定積分在幾何中的重要應用之一。如何靈活地運用定積分的定義及有關公式，巧妙地將求不規則圖形的面積問題等價轉化為求定積分的數值問題就是一大關鍵，本文結合實例，介紹幾種常用的轉化方法與求解策略。從而充分的體現數形結合的數學思想方法。關鍵詞：定積分；封閉圖形；曲面域；對稱性ResearchofsquareindefiniteintegralABSTRACTAdefiniteintegralisveryimportantmathematicaltools,forwhichthegraphicsareaisoneofitsapplication,itsthoughtistocutand,underdifferentcoordinatesystemscanusespecificmethodtofindthearea.Thispaperintroducesseveralmethodsofusingtheintegralareatoseekthe.Whichliststhespecificexamplesandanimportantmethodtosolvetheproblem.Ifpracticalproblemsforquantitywithacertainintervalandintheintervalisadditive,wecanusethedefiniteintegralofafunctiontorepresentthedesiredamount.Therefore,wecanusethedefiniteintegraltosolvesomepracticalproblems.Atthesametime,theuseofdefiniteintegralsfortheirregularplanegraphicsarea,isoneoftheimportantapplicationsofintegralingeometry.Howtoflexiblyusedefiniteintegralisdefinedandtherelatedformulaeandskillfullywillseekirregulargraphicareaequivalenttransformationtocalculatethenumericalintegralisoneofkey,thepaperwithexamples,introducesseveralcommonlyusedtransformationmethodandsolutionstrategy.Inordertofullyreflectthecombinationofthemathematicalthoughtandmethod.Keywords:definiteintegral;closedgraph;surfacearea;symmetry目錄TOC\o"1-5"\h\z一、 引言 5\o"CurrentDocument"二、 相關概念 5\o"CurrentDocument"定積分的定義 5\o"CurrentDocument"1.2定積分的常用計算方法 51.2.1直接利用公式及性質計算 51.2.2利用定積分的區間可加性計算 2\o"CurrentDocument"三、 定積分在面積問題中的應用 2\o"CurrentDocument"3.1直角坐標系下求面積 2平面面積 2曲面面積 5\o"CurrentDocument"極坐標 6\o"CurrentDocument"3.3求旋轉曲面的面積 7\o"CurrentDocument"四、 常見方法 10\o"CurrentDocument"巧選積分變量 10\o"CurrentDocument"4.2巧用對稱性 11\o"CurrentDocument"4.3巧用分割計算 11\o"CurrentDocument"五、 結束語 12\o"CurrentDocument"參考文獻 13\o"CurrentDocument"致謝 13、引言積分在自然科學、工程技術、經濟管理中有著廣泛的應用，比如利用積分求平面圖形的面積、變力做功等都是微積分中定積分的應用問題， 在數學分析中占據了重要地位。利用定積分求平面圖形的面積是一個重要應用，與實際聯系緊密，有很好的實用性。我們已經知道很多規則的平面圖形的面積計算，如正方形、平行四邊形、三角形、圓的面積等等。可以發現這些規則圖形一般都是“直邊圖形”，但平時我們在實際中還會遇到求“曲邊圖形”的面積，那我們想到了定積分。定積分的定義是前人用“逼近”的方法總結歸納定義出來的，是受“以直代曲”的思想而啟發的 ⑴。也就是把“曲邊圖形”采用“逼近、分割”方法進行近似代替而求得。利用定積分求含曲邊的圖形面積問題是在面對在平面幾何中難以用常規方法加以解決的問題而采用的。定積分知識的引入，為此類問題的解決提供了強有力的工具，也充分體現了創新性及數形相結合的典型性。二、相關概念1.1定積分的定義一般地，如果有函數f(X)在區間［a,b］上連續，用分點a=X。：：捲：：：x?疳…：：：xi<"錯誤！未找到引用源。:::Xn=b將區間［a,b］等分成n個小區間，在每個小區間［x」Xi］上任取一點i(i=12n n3川In)，錯誤！未找到引用源。作和式f(J?八baf(i)，當n>：:時，上述i=1 i=1nb和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間［a,b］上的定積分。記作af(x)dxb錯誤！未找到引用源。，即ff(x)dx=lim錯誤！未找到引用源。nb_aAf(J。這里，a和b分別叫做積分上限和積分下限，區間［a,b］叫做積分區間，iin函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。1.2定積分的常用計算方法

1.2.1直接利用公式及性質計算TL例2.1求Jtan2xdx分析被積函數是不定積分中見過的類型按相應的三角恒等變換，先求出原函數再:tan:tan2xdx二"一2secx-1)dx=(tanx—x)4=101.2.2利用定積分的區間可加性計算-1_x：：0亠20蘭x<2,求L(x)dx分析這是一個分段函數,分區間考慮其計算。在不同的區間對應的函數表達式不同，利用區間可加性分析這是一個分段函數,分區間考慮其計算。在不同的區間對應的函數表達式不同，利用區間可加性-12 2 1e-02--21

解「f(x)dx=二(1+x)dx+(ex-12 2 1e-02注意針對不定積分中的兩類換元積分法，運用到定積分的計算時要注意的是如何正確選擇積分方法。第一類換元積分法直接可以應用到定積分的計算中，只要熟悉不定積分的湊微分，知道如何湊出中間變量的微分就可計算。1 例2.3求o1-x2dx分析被積函數是自變量的平方形式，需三角代換才能去根號。解令x=sint,1-x2二cost,dx二costdt當x=0時，t=0，當x=1時，t=—21—02X021—02X02cos2tdt1-二=?02(1邊2艸蔦三、定積分在面積問題中的應用在求區域的面積當中，由于圍成區域的曲線可用不同的形式表示，一般情況下，曲線的形式分為多種情況，每種情況下的求區域面積的方法各有所不同，因而定積分求面積的具體用法通過下列問題分下面四種情況進行探討。3.1直角坐標系下求面積平面面積般地，由上下兩條連續曲線y般地，由上下兩條連續曲線y二f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=b(a:：:b)所圍成的平面圖形(圖3—1)，它的面積計算公式為：A=&f2(X積計算公式為：A=&f2(X)-f1(x)dx(3-1)例3.1求兩條曲線y區域(圖3—2)的面積。分析由圖可知選取對x2與x=y2圍城的平面x積分，便于計算。解兩條曲線的交點是(0,0)解兩條曲線的交點是(0,0)與(1,1)，則此區域的面積:30&X_x2)dx=(|x2_￡x3)3 3例3.2拋物線y域的面積:30&X_x2)dx=(|x2_￡x3)3 3例3.2拋物線y2=2x把圓x2y2兩部分，求(圖3—4)中陰影部分的面積S.分析由*仃2；得交點坐標:[x2+y2=8選取y為積分變量。二8分成(-2,2)，2 y2解S=.,..8—y2一專2 8 4W嚴透-嚴3總之，由函數y二f(x),y=g(x),x二a,x=b圍成的圖形(其中f(x)一g(x),a—b總之，由函數y二b取x為積分變量，則面積為A二[f(x)_g(x)]dx；由函數XhF：(y),xjr(y)錯誤！未找a到引用源。,y=c,y=d圍成的圖形(其中「(y) (y),c乞d，選取y為積分變量，則面d積為A[(y)-'-(y)]dyc以上可簡記為：“上減下，右減左，總之大減小,積分小到大”。

在平面圖形的面積求解中，除了以上方法外，還可以運用二重積分，將面積問題轉化為求二重積分值的問題。例3.3求由拋物線f,x)=x2與f2(x)=2-x2所圍圖形的面積。分析設所圍圖形如(圖3—3)面積為S.解方程組」fl(x)=x2，解得兩曲線的」2(x)=2-x2交點坐標為(-1,1)，(1,1).解圖形面積為：1 f2(x) 1 2 2 1 2 231 8S=JJdxdy= ［()dy=J,2一x2—x2)dx=「(2—2x2)dx=(2x—_x3)」=一Dxy當曲線C是參數方程X二y=(t)^< -時，其中與:'(t)在［:/■］上連續。若函數x—：』(t)在［二訂上嚴格增加，從而G'(t)_O.有a=e(〉)：：「：()=b，則函數x—：』(t)存在反函數t=!—(x),曲線C:y—：TQ」(x)］、x軸和兩條直線x=a,x=b圍成區域的面積TOC\o"1-5"\h\zb b 1 RA=(|y|dx=Ja|①［①(x)］dx=口④(t)|?H(t)dt (3-2)若函數x—：』(t)在［:?「］嚴格減少，從而G'(t)M,有a=■■■>(■■)■>C)=b,則函數x-G(t)存在反函數t=G‘(x),曲線C:y=「［G‘(x)］、x軸和兩條直線x=a,x=b所. a a 彳 q圍成的區域面積：A=L|ydx二［|①［①(x)］dx=命|?(t)半’(t)dtB=—［?(t)?\t)dt (3—3)如果由參數方程所表示的曲線是封閉的，既有①(□)=①(B),? (0),且p' pA=臚⑴①(t)dt(p' pA=臚⑴①(t)dt(或A=T(t)^(t)dt)(3—4)例3.4求由擺線x=a(t-sint),y-a(1-cost)(a0)的一拱與x軸所圍成的平面圖形(圖3—5)的面積 . 2tt解擺線的一拱可取t二［0,2二］所求面積為：Aa（1-cost）［a（t-sint）］dt22C. 2=a0(1-cost)dt=例3.5求橢圓：x=acost,y=bsint（0蘭t蘭2兀）的面積。分析參數方程所表示的曲線是封閉的，既有「（：?）“：」「），：：（：?）=?:（J,且在:）內曲線自身不在相交。于是便可由公式（3—4）求解。2下 2p解橢圓的面積為：A=J。bsintgcostetYbysiftd—ab顯然，當a=b=r時，這就等于圓面積22例3.6求由曲線（篤每）2=x2?y2所圍成的平面圖形的面積。ab解令丿'x=arcos日則Jc(x,y)acosQ-rasin日=abry=brsin日8(r,0)bsin日rbcos日在此變換下積分區域D變換為Di=fr,T）0蘭。蘭2兀，0蘭r蘭Ja2cos2日+b2sin2日＞a2cos2;b2sin2則區域D的面積SD二dxdy“abrd閔r二ab。V'° rdrD Dif氣12、a2cos2日"ll^sin2g 1仃2.2=ab0［-r0 ］d^=?兀ab（a+b）曲面面積在一元函數積分學中，定積分是某種確定形式的和的極限，這種和的極限的概念推廣到定義在平面區域上的二元函數情形，便得到二重積分，即區域面積的和。因此便可采用二重積分求解面積⑵。如果曲面S由方程z=f（x,y）確定，在xOy面上的投影區域為D則面積為：f-... cz2cz2A「.1（）2（一）2dxdy （3—5）d x:y如果曲面S由方程y二y（x,z）確定，在xOz面上的投影區域為D則面積為:

a「d:1(；x)2(；z)2dxdz如果曲面S由方程x=x(y,z)確定，在yOz面上的投影區域為D，則面積為:ATT+&)2+q)2dydz例3.7求錐面z x2—例3.7求錐面z x2—y2被柱面z2=2x截下的部分的面積。解聯立方程組r^X+y2消去z，z2=2x得(x一1)2y2=1,曲面在xOy面上的投影區zzyx2 y2域D為(x-1)2y2_1，由z=x2由公式(3—2)得A=Jjjl+(—r+(—)2dxdyd\ ex 勿t1[Jy2)2 (.x2"y2)2dxdy=、、211dxdy=?、2二圖3—6圖3—6A=1r2^)d^2ct' /(33.2極坐標設曲線C由極坐標方程r二r(r),“［一訂給出，其中r=r(R在［：「］上連續，--「2二。由曲線C與兩條射線-所圍成的平面圖形，通常也稱為扇形(圖3—6)。此扇形的面積的計算公式為nn12i=1 2這仍可由定積分分的基本思想而得。女叭圖3—7)所示，對區間［〉，訂作任意分割T%<弓：:：二2：：：…=-射線八3(i=1,2,n-1)把扇形分成n個小扇形。由于r(R是連續的，因此當||T很小時，在每一個冷=［弓4,千］上r(h)的值變化也很小。任取「爲便有rr)r(門廠冉，i=1,2,,n這時，第i個小扇形的面積為*丄『(“a于是2

由定積分的定義和連續函數的可積性， 當T-?0時，上式右邊的極限即為公式(3—6)中的定積分。例3.8求雙扭線r2=a2cos2d所圍成的平面圖形的面積A。圖19=-TX*3—8 八-4解如圖(3—8)所示，因為『一。所以刑取值范圍是[石匸]與由圖形1H及公式(3—6)，得到：A=4-4a2cos^^-a2例3.9求三葉玫瑰線r二acos3r(a0)圍成區域(圖3—9)的面積解三葉玫瑰線圍成的三個葉是全等圖形，只須計算第一象限那部分面積的 6倍。三葉玫瑰線r=acos3^在第一象限中，角二的變化范圍是0到TT—于是三葉玫瑰線圍成區域的面積為：66丑6a2cos23松231-a206cos23M@)令小；=3二則原式可化為:TL 2_Jl2cos2 }j(1cos2「)d圖3—9二a2-0^=-圖3—9二a2-0^=-錯誤！未找到引用源。4定積分的所有應用問題，一般總可以按“分割，近似求和，取極限”三個步驟導出所求量的積分形勢，但為了簡便實用，也常采用“微元法”。x ,若令:?：』(X)f(t)dt,則當f為連續函數時，門(X)二f(x)或出」二f(x)dx,且ab①(a)=0，①(b)=[f(x)dx，現在恰好把問題倒過來：如果所求量①是分布在某區間a[a,x]上的，即址：處(x)，x?[a,b],而且當x二b時，叮」(b)適為最終所求的值。再任意小區間[x,^■x][a,b]上，若能把門的微小增量冷:■■近似表示為x的線性形式:

其中f為某一連續函數，而且當x>0時，5f(X)厶X= 亦即(3 —7)b那么只要把定積分af(x)dx計算出來，就是該問題所求的結果設平面光滑曲線C的方程為目二f(x),x?［a,b］(不妨設f(x)_0)這段曲線繞x軸旋轉一周得到旋轉曲面(圖3—10)下面用y微元法導出它的面積公式。通過x軸上點x與xx分別作垂直于x軸的平面，它們在旋轉曲面上截下一條狹帶。當Ax很小時,此狹帶的面積近似于一圓臺的側面積，即圖3—10S：二［f(x)f(xlx)］ /Ly2

」［2f(x)切圖3—10其中cy=f(x =x)-f(x)由于lim.y=0，lim2(x)因此由應T0 2(x)因此由f'(x)的連續性可以保證二［2f(x)勺］.1 ("y)2：x-2二f(x)1xf2(x)：：x=:Cx)所以得到dS=2二f(x)\1f2(x)dxS=2兀［bf(x)訥+「2(x)dx (3 —8)如果光滑曲線C由參數方程X=x(t),y二y(t),r,■］給出，且y(t)一0，那么由弧微分知識推知曲線C繞x軸旋轉所得旋轉曲面的面積為S=2兀fy(t)Jx'2(t)+y'2(t)dt (3—9)例3.10計算圓x2y2二R2在區間［X1,X2］ ［-R,R］上的弧段繞x軸旋轉所得球的面積。解對曲線y“R2-x2在區間［X1,X2］上應用公式(3—8)，得到S="譏RFj =2rR(x_Xi)% \R-x注意當X1~-R,x2=R時，則地球的表面積S球二4~R2例3.12計算由內擺線x=acos31,y=asin3t(圖3—11)繞x軸旋轉所得到旋轉曲面的面積。解由曲線關于y軸的對稱性及公式(3—9)，得31 S=4二(sin3t.^3acostsint)2(3asin2tcost)2dt2空.4 12 2=12二a2sintcostdta0 5運用曲面的第一基本形式也可以計算曲面的面積，首先把曲面域用坐標曲線u二常數與v=常數剖分成完整的和不完整的曲邊四邊形，取以點 (u,v)，(udu,v)，(udu,vdv)，(u,vdv)為定點的曲邊四邊形，近似地換成切平面上的一個平行四邊形。這個平行四邊形是以切于坐標曲線的向量rudu與rvdv為邊，我們把曲邊四邊形的面積認為近似地等于以rudu，rvdv為邊的平行四邊形的面積。由于平行四邊形的面積等于兩邊之積再乘以它們交角的正弦， 即：上述平行四邊形的的面積W為=RdZrvdv，=ru"vdudv因此，曲面區域D的面積◎可由二重積分來表示：口的面積=口如=jj|ruXrJdudvD S這里的區域s是曲面域D相對應得(u,v)平面上的區域。由于(rug)2二「J-伉^)2二EG-F2?0，其中E,F,G為曲面的第一類基本量所以二的面積二EG-F2dudv由于正螺面是直紋面，它是直線沿著圓柱螺線連續變動形成的例3.13[]求螺旋面x=ucosv，y=usinv，z=av(0_u_b,0_v_2二)的面積。分析由于正螺面是直紋面，它是直線沿著圓柱螺線連續變動形成的，這個過程中直線的方向是已知的且垂直于z軸方向。因此，正螺面也是旋轉曲面。解分別關于u和v求導得：xuxu=cosv，yu=sinv，zu=0，xv=-usinv，yv=ucosv，zv=a即：E=1，F=0,G=u2a2A=EG-F2A=EG-F2dudv= .u2a2dudvs s2 2a2du—a2b2a2^ ab]注意利用二重積分法求旋轉曲面的面積問題，關鍵在于尋找中間變量，進而轉化為用定積分來求解。四、常見方法4.1巧選積分變量例4.1求拋物線y2=x與x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積A.分析該平面圖形(圖4—1)。先求出拋物線與直線的交點P(1,-1)與Q(9,3)用x=1把圖形分成左、右兩部分。P圖4—19解應用公式(3—P圖4—19為：1I— J—A1 [.x-.x)]dxA2所以A所以A=A1A2323注意在有些定積分求解問題中，選x為積分變量，需要將圖形分割運算較繁瑣這時把y作為積分變量，并求出兩相交點的縱坐標，確定出被積函數的積分上下限，便可利用牛頓一萊布尼茲公式求解⑷。的面積，可以通過對x積分、對y積分兩種方法求解例4.2求拋物線y2=2x與直線的面積，可以通過對x積分、對y積分兩種方法求解(圖4—2)。解法一選取橫坐標x為積分變量解法二選取縱坐標y為積分變量:.2xdx；（一解法二選取縱坐標y為積分變量4=18-2S=f2(y+4)-肘詢=(肘2+4y—]y4=18-2/226注意這兩種解法，顯然對y積分比對x積分計算簡捷。因此在應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取非常重要。選取時對y積分，積分函數應是x=「（y）,不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不變。4.2巧用對稱性例4.3門求由三條曲線y=x?,4y=x?,y=1所圍成的面積。分析因為y=x2,4y=x2是偶函數，根據對稱性，總面積為y軸右邊圖形的面積的兩倍解由方程組丿*2y=x錯誤！未找到引用源。和*\24八X錯誤！未找到引用源。得交占/\、、坐標（-1,1），(1,1)，(-2,1)，(2,1).選擇x為積分變量，則S12x22x24=2[((x-])dx+1(1—：)dx]=34.3巧用分割計