關于控制系統的穩定性第1頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

如果系統受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態，而當擾動取消后，系統又能夠逐漸恢復到原來的狀態，則稱系統是穩定的，或具有穩定性的。否則稱系統是不穩定的，或不具有穩定性。5.1系統穩定性的基本概念第2頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

控制系統的穩定性也可以這樣定義：若控制系統在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原來平衡狀態的性能，則稱該系統為穩定；否則，稱該系統為不穩定。

必須指出：穩定性是系統的固有特性，它取決于系統本身的結構和參數，而與輸入無關。第3頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四5.2系統穩定性的充要條件

若系統初始條件為零，對系統加上理想單位脈沖信號，系統的輸出就是線性系統的脈沖過渡函數，就相當于擾動信號作用下輸出偏離原平衡狀態的情況。如果當時，脈沖過渡函數收斂于系統原平衡工作點，即下式成立：則線性系統是穩定的。第4頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

設系統閉環傳遞函數為：

系統閉環特征方程為:

設特征根互不相等，系統閉環傳遞函數可改寫如下：閉環特征根為:

則系統脈沖響應的拉氏變換為：第5頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四得系統的脈沖過渡函數為（響應）(1)若為實數若系統穩定(2)若為復數發散第6頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四線性系統穩定的充分必要條件是它的所有特征根都具有負實部或都位于S平面的左半平面，則系統穩定。(3)若特征根為k個實根，r個復數根，第7頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四★★

控制系統穩定的充分必要條件為：系統特征方程的根全部具有負實部。系統特征方程的根就是閉環極點，所以控制系統穩定的充分必要條件也可以表示為：閉環傳遞函數的極點全部具有負實部，或者說閉環傳遞函數的極點全部位于平面的S左半面內。第8頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四例

一個單位反饋系統的開環傳遞函數為試說明系統是否穩定。解：系統的閉環傳遞函數為系統穩定第9頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四1.系統穩定性的初步判別（必要條件）設系統的閉環特征方程式為如下標準形式：2.勞斯穩定判據5.2代數穩定性判據第10頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四Routh穩定判據設系統的特征方程為根據特征方程的各項系數排列成Routh判據表(n=5為例)：Routh穩定判據：Routh表第一列元素符號一致且不等于0。第一列元素符號變化的次數就是正實部根的數目。第11頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四低階系統的勞斯穩定判據

二階系統勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0從而，二階系統穩定的充要條件為：第12頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

三階系統勞斯陣列為：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3從而，三階系統穩定的充要條件為：特征方程的各項系數大于零，且：

a1a2-a0a3>0第13頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四例系統特征方程為試用勞斯判據判別系統的穩定性。(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)特征方程的所有系數均為正實數第一列的系數都為正數，系統穩定第14頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四例系統特征方程為試用勞斯判據判別系統閉環特征方程根的分布情況。(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)系統特征方程的系數不滿足系統穩定的必要條件。有兩個根位于s平面的右半平面第15頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四練習系統特征方程為試用勞斯判據判別系統是否穩定，若不穩定，則確定具有正實部根的個數。答案：系統不穩定,有兩個根具有正實部,即有兩個根位于s平面的右半平面第16頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四勞斯判據的特殊情況１、勞斯表中某一行第一列元素為零，其余不為零或不全為零，這時可用一個很小的正數來代替這個零，然后繼續勞斯陣列表的運算。若第一列元素不改變符號，則系統臨界穩定，否則不穩定。第17頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四解：(1)系統特征方程的系數滿足系統穩定的必要條件。例系統特征方程為判別系統的穩定性。第一列為零(2)列寫勞斯陣列表如下:系統不穩定，且有兩個根具有正實部第18頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四練習系統特征方程為判別系統的穩定性。系統不穩定，且有兩個根具有正實部第19頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

若勞斯陣列表中某一行（設為第k行）的所有系數均為零，則說明在根平面內存在一些大小相等，并且關于原點對稱的根。(3)解輔助方程，得到所有數值相同、符號相異的根。(1)用(k-1)行元素構成輔助方程，輔助方程的最高階次為(n-k+2)，然后s的次數遞降2。(2)將輔助方程對s求導，其系數作為全零行的元素，繼續完成勞斯表。第20頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)特征方程的所有系數均為正實數例系統特征方程為判別系統的穩定性。解輔助方程得:第21頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四例系統特征方程為判別系統的穩定性。若不穩定，則確定具有正實部根的個數。第22頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

練習系統特征方程為第23頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四設一單位反饋控制系統如圖所示，求使系統穩定的k的范圍解(1)系統的傳遞函數為：特征方程為：(2)列勞斯陣列表系數都為正實數第24頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四(2)列勞斯陣列表0<K<30,

其穩定的臨界值為30。若要使系統穩定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數，即K>0，30-K>0第25頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四按穩定要求確定T的臨界值。解勞斯陣列表為即必須T>25系統才能穩定。例11系統特征方程式為第26頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四第四節乃奎斯特穩定判據1.輔助函數控制系統的方框圖開環頻率特性閉環特征方程一、奈奎斯特穩定判據的數學基礎設開環傳遞函數為取輔助函數：第27頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四(3)F(s)與開環傳遞函數只相差常量1，的幾何意義為：平面的坐標原點就是平面上的點。輔助函數F(s)的特點：(1)F(s)的零點和極點分別為閉環極點、開環極點。(2)F(s)的零點、極點個數相同（n個)。第28頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四

假設復變函數為單值，且除了S平面上有限的奇點外，處處都連續,也就是說在S平面上除奇點外處處解析，那么，對于S平面上的每一個解析點，在平面上必有一點（稱為映射點）與之對應。映射的概念：例如，當系統的開環傳遞函數為第29頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四S平面上的點在F(S）平面上的映射第30頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四設在S平面上，除有限個奇點外，為單值的連續函數，若在S平面上任選一封閉曲線，并使不通過的奇點，則S平面上的封閉曲線

映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線。當解析點s按順時針方向沿變化一周時，則在平面上，曲線按逆時針方向旋轉的周數N（每旋轉2弧度為一周），或按逆時針方向包圍F(s)平面原點的次數，等于封閉曲線內包含F(s)的極點數P與零點數Z之差。即 若N>0，則按逆時針方向繞F(s)平面坐標原點N周；若N<0，則按順時針方向繞F(s)平面坐標原點N周；若N=0，則不包圍F(s)平面坐標原點。順包次數N=Z-P第31頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四5.映射定理在閉環系統穩定性分析中的應用⒈開環傳遞函數與閉環特征方程當時，。因而，研究對原點的包圍情況，與研究對點的包圍情況相同。這樣，對閉環控制系統穩定性的研究，就轉化為開環傳遞函數對點的包圍情況的研究。第32頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四封閉曲線的選擇研究閉環控制系統的穩定性，也可以歸結為研究在S平面右半平面內有無零點。根據映射定理，如果選擇一條封閉曲線L能包圍在S平面右半平面內的所有可能的零點和極點，根據對原點的包圍情況即G(S)H(S)對點（-1，j0）的包圍情況，便可推斷F(S)在右半平面有無零點和極點或它們的差值情況，進而可推斷閉環系統的穩定性。G(s)H(s)在虛軸上無極點的封閉曲線在虛軸上有極點的封閉曲線0S平面S平面0第33頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四閉環系統穩定的充分必要條件是，GH平面上的奈奎斯特曲線當時，按逆時針方向包圍點P周。（P為右半平面極點個數）三、奈奎斯特穩定判據應用奈氏判據分析系統穩定性時，可能會遇到下列三種情況：1.當系統開環傳遞函數的全部極點都位于S平面左半部時(P=0）,如果系統的奈氏曲線

不包圍GH平面的點（N=0），則閉環系統是穩定的(z=p-N=0），否則是不穩定的；

第34頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四2.當系統開環傳遞函數有p個位于S平面右半部的極點時，如果系統的奈氏曲線逆時針包圍點的周數等于位于S平面右半部的開環極點數(N=P)，則閉環系統是穩定的(Z=P-N=0),否則是不穩定的；

4.在有些情況下，

曲線恰好通過GH平面的點（注意不是包圍），此時如果系統無位于S平面右半部的開環極點，則系統處于臨界穩定狀態。3.如果系統的奈氏曲線順時針包圍點（N<0），則閉環系統不穩定。(Z=P-N>0）。第35頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四5.6.5奈奎斯特穩定判據例例5-9設單位反饋系統的開環傳遞函數為:當或時，用奈奎斯特判據判定系統的穩定性。解:系統的開環頻率特性為:

第36頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四G(s)平面圖5-35例5-9的奈奎斯特圖00<K<1-K-1ReImK>1第37頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四當或時作出的的,()曲線如圖5-35所示。由于()在右半平面有一個極點()即，屬于開環不穩定情況。當時，曲線①按逆時針方向包圍一周(圖中為半周；)，按奈奎斯特穩定判據，可判定閉環系統穩定而曲線②未對包圍，可知這時閉環系統不穩定。另外，由勞斯判據知閉環系統穩定的條件為，這也進一步證明了如上分析的正確性。第38頁，共46頁，2022年，5月20日，23點2分，星期四如圖5-41所開環頻率特性曲線穿過左邊的實軸時稱“穿越”。當增大時，奈奎斯特曲線從上向下穿越負實軸上的區段(曲線上升，增大)時稱“正穿越”，反之，奈奎斯特曲線從下向上