人教版八年級數學上冊第13章軸對稱之等腰三角形專題拓展練習例1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點。分析：欲證M是BE的中點，已知DM⊥BC，所以想到連結BD，證BD＝ED。因為△ABC是等邊三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可證∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，從而問題得證。證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點所以∠1＝∠ABC又因為CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足為M所以M是BE的中點（等腰三角形三線合一定理）例2.如圖，已知：中，，D是BC上一點，且，求的度數。解：因為，所以因為，所以；因為，所以（等邊對等角）而所以所以又因為 即所以即求得說明1.等腰三角形的性質是溝通本題中角之間關系的重要橋梁。把邊的關系轉化成角的關系是此等腰三角形性質的本質所在。本條性質在解題中發揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步體現。2.注意“等邊對等角”是對同一個三角形而言的。3.此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。例3.已知：如圖，中，于D。求證：。證明：過點A作于E，所以（等腰三角形的三線合一性質）因為又，所以所以（直角三角形兩銳角互余）所以（同角的余角相等）即說明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質，構造角的倍半關系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2.對線段之間的倍半關系，常采用“截長補短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關系也同理，或構造“半”，或構造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構造出的等角等。4、中考題型：1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（）A.6個B.7個C.8個D.9個分析：由已知條件根據等腰三角形的性質和三角形內角和的度數可求得等腰三角形有8個，故選擇C。2.）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別是垂足。求證：AE＝AF。證明：因為，所以又因為所以又D是BC的中點，所以所以所以，所以說明：證法二：連結AD，通過證明即可5、題形展示：例1.如圖，中，，BD平分。求證：。分析一：從要證明的結論出發，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發，通過角度計算可以得出。證明一：在BC上截取，連結DE、DF在和中，又而即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DE＝AD，這樣BD＋AD=BD+DE=BE，只需證明BE＝BC，由于，只需證明易證，，故作的角平分線，則有，進而證明，從而可證出。證明二：延長BD到E，使DE＝AD，連結CE，作DF平分交BC于F。由證明一知：則有DF平分，在和中，而在和中，在中，說明：“一題多證”在幾何證明中經常遇到，它是培養思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學習中要善于從不同角度去思考、去體會，進一步提高自身的解題能力。【實戰模擬】1.選擇題：等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（）A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對2.如圖，是等邊三角形，，則的度數是________。3.求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上.4.中，，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。

【試題答案】1.B2.分析：結合三角形內角和定理，計算圖形中角的度數是等邊三角形性質的重要應用。解：因為是等邊三角形所以因為，所以所以在中，因為所以，所以所以3.分析：首先將文字語言翻譯成數學的符號語言和圖形語言。已知：如圖，在中，，D、E分別為AC、AB邊中點，BD、CE交于O點。求證：點O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結論，實際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉化為證含有的兩個三角形全等。證明：因為在中，所以（等邊對等角）又因為D、E分別為AC、AB的中點，所以（中線定義）在和中，所以所以（全等三角形對應角相等）。所以（等角對等邊）。即點O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB＝OC”是關鍵的一點。（2）實際上，本題也可改成開放題：“△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AC、AB上的中點，BD、CE交于O。連結AO后，試判斷AO與BC的關系，并證明你的結論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關系，觀察圖形，考慮取BC的中點。證明：過點A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，31所以所以（等腰三角形三線合一性質）。所以（鄰補角定義）。所以又因為ED垂直平分AB，所以（