1、八個有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑,三棱錐與長方體的外接球相同）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2二a2+b2+c2,即2R=-Ja2+b2+c2,求出R例1A1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑,三棱錐與長方體的外接球相同）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2二a2+b2+c2,即2R=-Ja2+b2+c2,求出R例1A1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（16兀B.20kc.24兀d.

2、32兀2）若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是.在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AM丄MN，若側棱SA二2爲，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是.解：引理：正三棱錐的對棱互垂直，證明如下：如圖（3）-1,取AB,BC的中點D,E，連接AE,CD，AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心，.SH丄平面ABC，:.SH丄AB，AC二BC，AD=BD，.CD丄AB，.AB丄平面SCD，.AB丄SC，同理：BC丄SA，AC丄SB，即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖（3）-2，AM丄MN，SB/MN，.AM丄SB，AC丄SB，.S

3、B丄平面SAC，C(3)題-1.SB丄SA，SB丄SC，SB丄SA，BC丄SA，.SA丄平面SBC，.SA丄SC，故三棱錐S-ABC的三棱條側棱兩兩互垂直，(2R)2=(2訂)2+(2訂)2+(2訂)2=36，即4R2=C(3)題-2(4)在四面體SABC中，(4)在四面體SABC中，SA丄平面ABC,ABAC=120,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為()A.11tiB.7兀c.10“3d.40“3如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何

4、體外接球的體積為類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個平面)1.題設：如圖5,PA丄平面ABC解題步驟：第一步：將AABC類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個平面)1.題設：如圖5,PA丄平面ABC解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O；第二步：O為AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圓O的半111徑OiD=r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得PCADB圖5absinAsinBcsinC=2r），00i=2PA第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2=PA2+(2r)2O2R=PA2+(2r)2；

5、R2=r2+002OR=vr2+002i*i2.題設：如圖6,7,8,P的射影是AABC的外心O三棱錐P-ABC的三條側棱相等O三棱錐P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點1則PO01三點共線;第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=r，再算出棱錐的高PO方法二：小圓直徑參與構造大圓。則該幾何體外接球的表面積為A.3兀D.以上都不對B.21則PO01三點共線;第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=r，再算出棱錐的高PO方法二：小圓直徑參與構造大圓。則該幾何體外接球的表面積為A.3兀D.以上都不對B.2兀3類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）例2一個幾何體的三視圖如右圖所示1鼠C

6、.第三步：勾股定理：OA2二OiA2+OiO2=R2-（h-R）2+r2，解出R1=h（也是圓錐的高）;1.題設：如圖9-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心0必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC=2r；abc第二步：在APAC中，可根據正弦定理=2R，求出R。sinAsinBsinC2.如圖9-2,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC(即AC為小圓的直徑)OC2=OC2+OO2oR2=r2+OO2oAC=2、；R2一OO2如圖9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC(即AC為小圓的直徑)，且P的射影是AABC的外心O

7、三棱錐P-ABC的三條側棱相等O三棱P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心O，則P,O,O三點共線；11第二步：先算出小圓O的半徑AO=r，再算出棱錐的高PO=h(也是圓錐的高)；111第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2nR2=(h-R)2+r2,解出R11如圖9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC(即AC為小圓的直徑)，且PA丄AC，貝y利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2=PA2+(2r)2o2R=丫PA2+(2r)2；R2=r2+OO2oR=Jr2+OO21;1TOC o 1-5 h z例3(1

8、)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為23，則該球的表面積為。(2)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側棱長都為m2，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為一(3)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=，側棱PA與底面ABC所成的角為60,則該三棱錐外接球的體積為()A.兀C.4兀A.兀C.4兀B.C.4兀D.-33(4)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的求面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2;則此棱錐的體積為()D.2bD.2類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）是任意三角形）棱柱的上下底面可以類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）是任意三角形）棱柱的上下底面可以ooi=2AAi=2h（AAi=h也是圓柱的高）;第二步：算出小圓01的半徑AO1=廠,第一步：確定球心0的位置，oi是aabc的外心，則oo丄平面ABC；第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2nooi=2AAi=2h（AAi=h也是圓柱的高）;第二步：算出小圓01的半徑AO1=廠,例4（1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上9且該六棱柱的體積為6，底面周長為3，則這個球的體積為8直三棱柱ABC-A/的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AV2，AC=I20。，