1、一、選擇題微分幾何復習 13-14-21、正則曲面要求：(A) r 0, (B) r 0, (C) r r 0, (D) r r0.uvuvuv2、向量 r(t) 有固定長度, 則：(A) r r=0, (B) rr=0, (C) r r=0, (D) r r=0.3、一般螺: (A) k/ 為常,(B) k 為常,(C) 為常,(D) k, 皆為常.4、沿曲率線: (A) E=0, (B) F=0, (C) G=0, (D) L=0.5、(1/| r|) = : (A) 1/| (B)1/| r|2 ,(C) rr /| r|3,(D) rr /| r|3.6、若曲面的坐標網正交, 則 (A

2、) E=0, (B) F=0, (C) G=0, (D) M=0.7、曲面的u 線, 切向為 (A) du:dv=1:0, (B) du:dv=0:1, (C) du:dv=1:1, (D) du:dv=2:1.8、曲線 r=r(t), t 為自然參數 (A) |r(t)|=1, (B) |r(t)|=1, (C) |r(t)|=1, (D) |r(t)|=1.9、曲線的撓率總是： (A) 0,(B) 0 的點稱為橢圓點.7、：r=(t, 2t, 的曲率是 0.8、：r=( cos,sin,1)的撓率是 0.9、I=du2+cos2udv2, II = -du2-cos2udv2 的曲面, 其

3、法曲率 k = -1 .n10、曲面的I=du2+121dv2, 則其面積元素 = 11dudv.、曲面的坐標網為曲率網 F=M=0.12、曲面的坐標網為漸進網 L=N=0.三、判斷題1、曲面中的曲線的夾角依賴于II .2、曲面上的直線一定是漸近.3、曲線的曲率非.4、曲面的第二基本形式是一個半正定的二次型.5、球面上不存在漸進.6、空間曲線由曲率k0 唯一確.7、撓=0 的曲線是直.8、曲面的坐標網是漸進網的條件是 L=N=0.9、不存在曲面使得E=F=1, G=-1/2.10、除空間位置之外, 曲面由其第一基本式唯一確定.11、坐標曲線正交當且僅當F=0，其中 F 為第一基本量.12、曲面

4、的第一基本形式是一個半正定的二次型.13、曲線 r(t), t 為自然參數當且僅當|r(t)|=1.14、空間曲線 r(t)為直線當且僅當k=0.15、第一基本量, EG1 F0）解 ：r=(-3cos2tsint, 3sin2tcost, -2sin2t )=sin2t(-3cost, 3sint, -4)/2, =(-3cost, 3sint, -4)/5. ds/dt =|r| =5/2sin2t, = d/ds= d/dtdt/ds=(3sint, 3cost,0)/5 1/(5/2sin2t) = (sint,cost,0). = = (4cost, -4sint, -3)/5.=在

5、第一基本形式為I = du2 + sinh2 udv2 的曲面上，求方程為u= v的曲線的弧長。=解：沿曲線u=v, 有du=dv, ds2=I=du2+sh2udu2=ch2udu2, ds=chudu, 22 =shu-shu .21uu11在第一基本形式為I = du2 + (u2 + a2)dv2 它上面兩條曲線u+v=0,u-v=0 的交角；2） 由三條曲線u av,v=1 , 其中a0.第 2 頁 共 4 頁解：1) u+v=0 的方向du=-dv, u-v=0 u=v, u=v=0, 夾角余弦cos=duu (u2 a 2 )dvv1 u2 a21a21a2du2 du2 (u2

6、 a2)dv2u2 (u2 a2)v21 u2a1 a21 a22) 如圖, 面積S= ua2dudv= 0 du u2 a2dv+du u 2 a 2 dv = 0a= 2a0a211Da211u2 a2u2 a 21uu2 a2u2 a 20u2 a 223u/u2 a 223au /a(1 u / a)duln(12).30u /avu=avDv=15、求曲線 x=cost,y=sint, z=t 的曲率；解： r=(sint,cost,1),r=(cost,-sint,0),r=(sin,-cost,0),故曲率k=( r, r, r)/| rr|2 =1/2.6、求曲線：r=(aco

7、st, asint, et)過(a,0,1)的切線方程；-aoau解：r(0)=(asint, acost, et)|t=0=(0, a, 1)| ,故切線方程為r=(a,0,1)+t(0,a,1), r=(a,at,t)；7、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的過(0,1,/2)的切平面方程；解：r =(cosv,sinv,0), r=( usinv,ucosv,1),n= r ruvu=(sinv, cosv,u),故切平面方程為：(x,y,z) ( 0,1,/2)(1,0,1)=0, 即 x+z/2=0；8、已知曲面的第一基本形式為I=du2+(u2+a2)dv2, v0, 求 u

8、-線與曲線u+v=1 的夾角；解：設求夾角為, 則 cos=1du2du2u2 u2 a2)(u21 u2 a211 u1 u2 a29a2x+2ay+2z=2a .解： z = a - a2x/2- ay,r=(x,y, a - ay),r =(1,0,-a2/2), r =(0,1,-a),xyr=(0,0,0), r=(0,0,0), r=(0,0,0),故 II=0.xxyyxydu 2 sh 2 udv210du 2 sh 2 udv2解：s=uds=u=u1sh2udu =u chdu=shu.000011、計算正螺面的Gauss 曲率.r=(vcosu,vsinu,au), r

9、=(-vsinu,vcosu,a), r =(cosu,sinu,0),uvE=v2+a2,F=0, G=1,g= v2+a2,r=(-vcosu,-vsinu,0),r=(-sinu,cosu,0),r=0,uuuvvvLg=0, Mg=a,N=0.Kg=-a2.K=-a2/( v2+a2).12、求平面族 a2x+2ay+2z=2a 的包絡解：a2x+2ay+2z=2a第 3 頁 共 4 頁2ax+2y=2a =(1-y)/x,(1-y)2/x+2(1-y)y/x+2z=2(1-y)/x,(1-y)2+2(1-y)y+2xz=2(1-y),包絡面方程為 (1-y)2=2xz.五、證明題1.

10、 如果曲線的所有切線都經過一個定點，則此曲線是直線。證明：設曲線方程 r=r(s), s 為自然參數則r =r(s)+r(s)t 對某定點r 成立, 從而 0=r(s)+tr(s)+r(s)t(s), r, r線00, , v, r=r +sv. r .112、向量r(t)有固定方向 r/r.證明：r(t) 有固定方向 r= |r|e, e=0.r= |r|e+|r|e= |r|e r /r.3、證明曲面：r=(t)cos, (t)sin, (t)的參數網是正交網；證明：r =(t)cos, (t)sin, (t), r =(t)sin, (t)cos, 0) , F=0, 故命題成立；4、證

11、明曲線：r=(536+3t+2t2, 821 2t+5t2, 2013-2t t2)為平面曲線證明：r=(3+4t, -2-2t),r=(4, 10, 2), r=(0, 0, 0),(r, r, r)=0, 故 為平面曲線；5：r=(v+cosu,v+sinu,au) 的第二基本量M=0.證明：r=(cosu,sinu,au)+ (1,1,0)v,a(u)= (cosu,sinu,au), b(u)= (1,1,0), (a,b,b)=0, 故M=0.6、曲面上由 adu2+2bdudv+cdv2=0 確定的兩個方向相互垂直, 試證明Ec-2Fb+Ga=0.其中 a0, E,F,G 是的第一基本量 .證明：du:dv,u: v, 是adu2+2bdudv+cdv2=0 確定的兩個方, 則duu/dvv=c/a,(duv+ dvu)/dvv =-2b/a,并 且 (r du+r dv)(r u+r v)=0, 即 Eduu +F(duv+ dvu) +Gdvv =