1、第三部分端口網絡與均勻傳輸線第一章分析法第一章網絡的狀態變量分析法引言動態網絡的時域分析與復頻率分析主題：建立聯系輸出(響應)輸入(激勵)關系的方程局限性：電容電壓和電感電流在動態網絡分析中的特殊地位狀態的初步概念狀態變量分析法借助于一組輔助變量(狀態變量)，建立聯系狀態變量-輸入的方程(狀態方程)狀態變量；輸入-狀態變量-輸出三者關系的方程(輸出方程)輸出一組代數方程，便于計算機輔助求解；（2）容易推廣到非線性和時變網絡。1-1 一些有關的概念n變量代換含n個方程的一階微分方程組dt2d2ydt2 dy +pdt+qy =f dx1 dtx2 0qx10 x2 +1fx =y= dyx112

2、dx1 =x22y=10 x2+ 0 fdtdt12dx2= qxpx +fdt12X=AX+BFY=CX+DF一些有關的概念 Y=CX+DF方程的特點問題：1）方程中的x代表電路中的哪些變量？2）怎樣列寫這樣的一階微分方程組？狀態與狀態變量 狀態的一般概念系統中一組變量的數據X(t)=x1(t)x2(t)xn(t)T1）對任一時間t1，由t1時的這組數據X(t1)和從t1開始的輸入，能唯一確定任一tt1時的數據X(t)；系統中一組變量的數據X(t)=x1(t)x2(t)xn(t)T1）對任一時間t1，由t1時的這組數據X(t1)和從t1開始的輸入，能唯一確定任一tt1時的數據X(t)；2）t

3、時刻的這組數據連同t時刻的輸入(有時可能為輸入的某個導數)能唯一確定系統中任一變量在t時刻的值。電網絡中的狀態變量：一組獨立的電容電壓uC(或電荷)和獨立的電感電流iL(或磁鏈)x2(t=t1)(t=t2)0狀態空間與狀態軌跡x2(t=t1)(t=t2)0 X(t)=x1(t)x2(t)狀態空間狀態矢量狀態軌跡x1狀態矢量末端的軌跡例如圖，C0)=1V,)=1A求零輸入響應的狀態軌跡。iL34H+uCuC(t)iL34H+uC13 et + e3tF 1 F12i(t)= 13et -2 5 e3tL88tuc10iL10tuc10iL10uc1t=012t=01iL例如圖，uCiL。uc1t

4、=012t=01iL uc10t0tiL+iL0tF34HuC1F12uC(t)13 et + e3t=iL(t)2813 et -82e 53te8華中科技大學 電氣與電子工程學院 電路理論課程組狀態方程與輸出方程概念：聯系輸入與狀態變量的一階微分方程組X=AX+BF方程的特點：個標量方程只含一個一階導數項合，除輸入外不含任何非狀態變量例iL+例F34HuC1F12=1=12dt3iLdC412uC04=044diL dt4= uCdtiL1iL1-1-3狀態方程與輸出方程X=AX+BF輸出方程： 以狀態變量和輸入表示輸出的代數方程Y=CX+DFiL4H3+uC例+iL4H3+uCus=-1

5、+1 uF1C3F12iL3s本章要解決的主要問題狀態方程的列寫狀態方程的列寫討論對象：常態網絡不含非獨立動態元件的網絡狀態方程的列寫不含下列情況之一(2)僅由電感元件構成的割集(全電感割集)； (3)僅由電壓源與電容構成的回路；(4)僅由電流源和電感元件構成的割集；狀態變量的數目=動態元件的數 常態樹的概念 樹包含所有電容支路，而不含任何電感支路。1-2-1狀態方程的分析對LTI網絡，選擇電容電壓和電感電流作為狀態變量，因此各個標量方程的左邊1-2-1狀態方程的分析ducC duc =建立包含電容支路的KCL方程dtdiL dtdtLdtc= uL建立包含電感支路的KVL方程只有將KCL所選

6、取的每個割集僅含一個電容支路（單電容割集）； 從方程的右邊考慮，所選取的每個割集應盡可能多地 包含電感元件的支路。所選取的每個回路只含一條電感元件的支路（回路）；另外回路應盡可能多地包含電容支路。單電容割集單電感回路基本割集基本回路樹（常態樹）1-2 狀態方程的列寫例題i1例1+eSL1L2i2+CuCR1選取常態樹和狀態變量（uCi1，i2）(2)對每一個由電容樹支決定的基本割集，寫出KCL方程(2)C duc =iiduc = 1 i 1 idt12dtC1C2(3) 對每一個由電感連支決定的基本電路，寫出KVL方程1-2 狀態方程的列寫1-2-2例題= duc dt= 1 i1 1 i2

7、CC(3) 對每一個由電感連支決定的基本電路，寫出KVL方程CCi1例1+eSL1L2i2+CuCR1Ldi1 1 dtL=ucR1i1 eSdi1 dtucR1 iL11=L1L11=L1eSL1LLdi1 2 dtL=ucR2 i2di2uc=dtL2=R1L2 i2狀態方程的列寫例題i1L1= C例1= CL2i2duc dt1 i1 +eS+di1uc=dtL1=R1L1 i11 eL1 SeCuCR10=1 L1 1 L2uC0=1 L1 1 L2R2=di2uc=dtL2 1u 1 C0R2 L2C0C 1 C0R2 L2C0R1L2 i2 1C 1Ci2dti1i2R1iL11i

8、0 1e+SL1+S0+Si1L1i2L2uR1CR21+u4R3C2i3+Si1L1i2L2uR1CR21+u4R3C2i3+u5Ru5eR4選取常態樹和狀態變量(2)du1 dt(2)=i1C1du2 dti1i2=+C2C2=+di1= (u u u u Ri )dtdi2= 1452111(u u u Ri )dt45222(3)消去除輸入外的非狀態變量消去除輸入外的非狀態變量，就是用狀態變量和輸入去表示那些非狀態變量。u =R (i +i )5512將電容元件用電壓源代替，電感元件用電流源代替 RR R u4=4es34 (i1+i2)R3+R4u1R3+R400 R4L1(R3+R

9、4)R4 L2(R00 R4L1(R3+R4)R4 L2(R3+R4)001C1u2 ddti10= 1L10 1L1 1C2a33 1C2a34u2i1+eS+eSi1+eSi1+i2R3i3+u4R4 1L2a43a44i2u101u2 i1 i200C1u2 i1 i200Cu2 ddti10= 1L10 1L11C2a33 1C2a34+i2 1L2a43a44a33= 1 (R1+R5+R3R4 )R3+R4L1L1 a34= a43= 1 L1L2 1 L1L2R3R4 )R3+R4R3R4 )R3+R400R4 L1(R3+R400R4 L1(R3+R4)R4 L2(R3+R4)

10、eSL2 1 (R2+R5+R3R4 )R3+R4例3R1Su+u+CSRguiLR11d dtiLd dti1+ u2 C22iC20m1 1 L1u1= 1 C1gm 1C1R2C11R2C1u1+0eSu21gm+R2C2+1u20R2C220討論：若受控電流源為ic2，且=1，u1+u2=0狀態變量數少于獨立的動態元件數例4教材習題2-4(a)guCR1LiLiR2i+SuS= 1(ii )C= i(uR3R i+ u )duc dtCLduc dti= 1i=R2+R3dtLR3iS+R2guC)C1 LSuCd1+gR21uC0uSR3 (R2+R3)C0(R2+R3)CCR3 (

11、R2+R3)C0dt=1iLL+iRiS11iRiSLLL例5教材習題+uSMR1*i1L1R2*i2L2R3L di1+ M= Ri +uR i )1 dtdt1 1212d dti1i2Mdi1d dti1i2dt+L2dt2=R2(i1 i2) R3i2i12i21(R1+R2)L2MR2R2L2+(R2+R3)ML2i12i2=L1L2M2+R2)M 1R2(R2+R3)L1MR+ MuS討論：若L1L2 M2=0（全耦合）討論：則detL=0，L1不存在，i1、i2線性相關。狀態方程的求解解析解法時域的解法解析解法復頻域解法冪級數法矩陣函數的有限項表示法對角線化變換矩陣法X=AX+B

12、F(S1A)X(s)=X(0)+BF(s)則令(S)=(S1A)1狀態方程的預解矩陣則X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s) det(S1A)矩陣A的特征多項式方程det(S1A)=0的根稱為矩陣A的特征值,狀態方程的求解解析法解法復頻域解法X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s)由輸出方程Y=CX+DFY(S)= C(s)X(0)+ C(s)B+DF(s)零輸入響應零狀態響應 C(s)B+D=H(S)轉移函數矩陣 Y(t)= 1 C(s)X(0)+ 1H(s)F(s)例1對圖示電路,列出狀態方程,并求解。iL+ 1 uc(0)=134HuC12 FiL(0)1華中科技大學 電氣

13、與電子工程學院 電路理論課程組 ddtiL412uCi=1i40L(S+4)12S(S1A)=S- 1 4特征多項式的零點S 1 412(S+4)(S+1)(S+3)(s)=(S1A)1 =S 1 412(S+4)(S+1)(S+3)UC(s)S121 S12I (s) 1 (S+1)(S+3)(S+4)(S+1)(S+3)=S+17/41iL34H+uC 1 F12uc(0)=iL34H+uC 1 F12uc(0)=iL(0)11=UC(s)S12 S12(S+1)(S+3)=I (s)1(S+4) S+17/4LuC(t)1 (S+1)(S+3)UC(s)1 (S+1)(S+3)42 13

14、 et +2(S+1)(S+3)e153te2iL(t)= 1IL(s) 13 8et 5 8e3tt 0討論：關于網絡的固有頻率和網絡函數的極點Y(S)= C(s)X(0)+ C(s)B+DF(s) C(s)B+D=H(S)det(S1A)(S)=(S1A) 1 =det(S1A)(S1A)的伴隨矩陣例2圖示電路為一LC振蕩電路，耦合電感的付線圈開路，（1）試寫出該電路的狀態方程（矩陣形式）；（2）欲使此電路產生正弦振蕩，K角頻率為何值？R2MduuCu ku +12u1+L*Lu12u1cR1i1+ku1CdtcC1 c i 1R11c1 )R2di1 dt1 uC=L1=L M =uu1

15、L1C=uud dtuC 1d dti=R1Ci1 R2C1L1kM L1R2C1uCC0i1 d 1 1+1uCidti1R1CR2C1L1L1R2CC0i1S+ 1+ 1kM1R1CR2CL1R2CC=0S2 +( 1+ 1L1 1S kM)S+ 1=0=0R1C=0R2CL1R2CL1C產生正弦振蕩的條件： 1R1C 1+R2C+ kM L1R2CR1M振蕩角頻率:R1M 1L1Ck= L1(R1+R2)數值近似解法狀態方程的特點任一時刻狀態變量的變化率由同一時刻的狀態變量和輸入確定X(0)，F(0)近似t)=X(0)+ (0t=(1+tA)X(0)+ BF(0)t（t步長）X(1t)=

16、AX(1t)+BF(1t)X(2t)=(1+tA)X(1t)+ BF(1t)tX(kt)t)AX(kt)+BF(kt)X(k+1)t= (1+tA)X(kt)X(k+ BF(kt)t非線性網絡的狀態方程1-4-1狀態方程的編寫例圖示非線性網絡中,設i1=f1(1),i2=f2(2)u3=f3(q)u =f (i ),u =f (i )441552狀態變量的選擇qdq = i1 = 1) f2(2)dtd2 dt34d1 = uu dtd2 dt34= f3(q) (1) eS 1 +S+i 1 +S+i1q+u4+ 2 i2+u3+u5= f3(q) (2)1-4 非線性網絡的狀態方程dq = f1(1) f2(2)= fd1= fdt(q) 4f1(1) eS= fd2= fdt5f2(2) 1 2f1(1) f2(2)=f3(q) f4f1(1) eS f3(q)f5f2(2) =f(X，W) （范式方程）討論：以q和作為狀態變量列寫狀態方程時對非線性元件的限制+eS 1 +i1+ 2 i2+uu53u43非線性電容元件應是電荷控制型的，u=fC(q)；非線性電感元件應是磁鏈控制型的，i