1、微專(zhuān)題截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造線段和差(2020年23(3)題)題型九幾何探究題（必考） 截長(zhǎng)補(bǔ)短法：具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以證明此方法適用于：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和(或差)等于另一條線段(或幾條線段的和或差)時(shí)模型分析微專(zhuān)題截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造線段和差(2020年23(3)題)題型 輔助線的作法有兩種：如圖，在ABC中，C2B，12.1. 截長(zhǎng)法：在AB上截取AEAC，連接DE，則有ACDAED.2. 補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使得AFAB，連接DF，則有ABDAFD. 輔助線的作法有兩種：如圖，在ABC中，C

2、2B，11. 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B60，ABBC，且DEC60.求證：ADAEBC.模型應(yīng)用第1題圖證明：如解圖，在BC上截取BFBE，連接EF，B60，BEF是等邊三角形，BEEF，BEFBFE60，CFE120.又ABBC，AECF.ADBC，BAD120.第1題解圖1. 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)在EAD中，EDA180EADDEA60DEA.又CEF180BEFDECDEA60DEA，CEFEDA. 在EAD和CFE中， EADCFE(ASA)，ADEF，ADBE，ABADAE，ADAEBC.在EAD中，EDA180E

3、ADDEA602. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，且AF平分DAE.求證：AEECCD.第2題圖證明：如解圖，延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，四邊形ABCD為正方形，DBCDGCF90，ADDC.在ADF和GCF中，ADFGCF(ASA)，第2題解圖2. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC第2題解圖ADCGCD，DAFG，AF平分DAE，EAFDAF，EAFG，AEEG.AEEGECCGECCD，AEECCD.【一題多解】如解圖，在AH上截取HEEC，證得ADFAHF，從而證得AEECCD.第2題解圖ADCGCD，DAFG，1. 若題中已知

4、45角，常通過(guò)作垂線構(gòu)造等腰直角三角形：方法分析微專(zhuān)題由數(shù)量關(guān)系的 、 、 倍構(gòu)造直角三角形(2020年23(3)題)類(lèi)型一 構(gòu)造含45角的直角三角形( 倍的數(shù)量關(guān)系)(2020年23(3)題)1. 若題中已知45角，常通過(guò)方法分析微專(zhuān)題由數(shù)量關(guān)系的2. 若題中無(wú)45角，常通過(guò)尋找直角，作腰相等構(gòu)造等腰直角三角形：2. 若題中無(wú)45角，常通過(guò)尋找直角，作腰相等構(gòu)造等腰直角針對(duì)訓(xùn)練第1題圖1. 如圖，在等腰三角形ABC中，CACB，過(guò)點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，EF平分CED交CD于點(diǎn)F，連接BF，且BFCD.求證：AECE EF.證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FPEF，交AD

5、于點(diǎn)P.CEAD，EF平分CED，1245.FPEF，6245.EFPF. PEEF.第1題解圖針對(duì)訓(xùn)練第1題圖1. 如圖，在等腰三角形ABC中，CACB又BFCD，343590，即45 .又12，26，16.在CFE和BFP中，CFEBFP(ASA)BPCE . CACB，CEAB，AEBE.AECEBEBPPE EF.第1題解圖又BFCD，第1題解圖1. 若題中已知30角，常通過(guò)作垂線構(gòu)造含30角的直角三角形；方法分析類(lèi)型二 構(gòu)造含30角的直角三角形( 、 倍的數(shù)量關(guān)系)1. 若題中已知30角，常通過(guò)作垂線構(gòu)造含30角的直角三2. 若題中無(wú)30角，常通過(guò)尋找直角，截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造含30角的直角

6、三角形2. 若題中無(wú)30角，常通過(guò)尋找直角，截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造含30針對(duì)訓(xùn)練第2題圖2. 如圖，已知等邊三角形ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，連接CD，E是線段CD上一點(diǎn)，連接AE，BE使得AEBE，且AED2BED.求證：CE BE.證明：如解圖，在CD上截取CFAE，過(guò)點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)G，連接FB，第2題解圖針對(duì)訓(xùn)練第2題圖2. 如圖，已知等邊三角形ABC，D是邊ABAEBE，AED2BED，AED60，BED30，EACACD60，ACDFCB60，EACFCB，在ACE 和CBF中， ACECBF(SAS)，CEBF，AECCFB，第2題解圖AEBE，AED2BED，第2題解圖BFDAED60，

7、EBF30，BED30，EFB是等腰三角形，F(xiàn)GBE，EGGB，在RtBFG中，BF BG，BF BE，CE BE.第2題解圖BFDAED60，EBF30，第2題解圖微專(zhuān)題半角模型(2018年23(3)題，2014年23(3)題)如圖，在正方形ABCD中，EAF45，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADF到ABG，使AD與AB重合模型分析模型一90含45的半角模型(2018年23(3)題)類(lèi)型一正方形的半角模型【結(jié)論】AEFAEG，EFEGBEDF.微專(zhuān)題半角模型(2018年23(3)題，2014年23(3模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，分別連接EF、BD，

8、且BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N.(1)若BE2，DF3，EF5，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；(2)求證：AE平分BEF；(3)線段BN、MN、DM是否滿足BN2DM2MN2，說(shuō)明理由第1題圖模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC(1)解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，BE2，DF3，CEx2，CFx3，在RtCEF中，EF5，EF2CE2CF2，52(x2)2(x3)2，解得x6或1(舍)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6；AE平分BEF；(1)解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，(2)證明：如解圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BGDF，連接AG，四邊形ABCD為正方形，ABAD，BADADFABEABG90

9、，在ABG和ADF中，ABGADF(SAS)，DAFBAG，AFAG，第1題解圖(2)證明：如解圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BGDF，連接AG第1題解圖DAFBAG，AFAG，GAEBAGBAEDAFBAEBADEAF904545EAF，在AEF和AEG中，AEFAEG(SAS)，BEAFEA，AE平分BEF；第1題解圖DAFBAG，AFAG，(3)解：線段BN、MN、DM滿足BN2DM2MN2.理由如下：如解圖，在AG上截取AHAM，連接HN、BH， 在AHB和AMD中，AHBAMD(SAS)，BHDM，ABHADB45，第1題解圖(3)解：線段BN、MN、DM滿足BN2DM2MN2.第又ABD4

10、5，HBN90.BH2BN2HN2.在AHN 和AMN中，AHNAMN(SAS)，MNHN.BN2DM2MN2.第1題解圖又ABD45，第1題解圖模型分析類(lèi)型二等腰三角形的半角模型如圖，在RtBAC中，BAC90，DAE45，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABD到ACF，使AB與AC重合【結(jié)論】AEFAED，EFED，CFBD.模型分析類(lèi)型二等腰三角形的半角模型如圖，在RtBAC中，模型應(yīng)用2. 如圖，ABC為等腰直角三角形，ABAC，BAC90，點(diǎn)D、E在邊BC上，連接AD、AE，且DAE45.(1)若BAD20，求AED的度數(shù)；(2)若BAD15，求證：DE2BD；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFAC交AE延長(zhǎng)

11、線于點(diǎn)F，連接DF，求證：ADF是等腰直角三角形第2題圖模型應(yīng)用2. 如圖，ABC為等腰直角三角形，ABAC，(1)解：ABAC，BAC90，BC45，DAE45，BAD20，EAC90204525，AEDCEAC254570； (2)證明：如解圖，將AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABK，連接DK.BAKBADBADEAC904545，DAKDAE，第2題解圖(1)解：ABAC，BAC90，第2題解圖ADAD，AKAE，DAKDAE，ADEADKABDBAD60，DKDE，KDB60，ABKABC45，KBD90，BKD30，DK2BD，DKDE，DE2BD；第2題解圖ADAD，AKAE，第2

12、題解圖(3)證明：CFAC，ACF90，ACBFCE45，DAE45，DAEFCE，AEDCEF，AEDCEF， (3)證明：CFAC，AECDEF，AECDEF，DFEACE45，DAFDFE45，ADF是等腰直角三角形AECDEF，模型二120含60的半角模型(2014年23(3)題)如圖，ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接EF，繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)DBE到DCG，使DB與DC重合模型分析【結(jié)論】DEFDGF，EFGFBECF.模型二120含60的半角模型(2014年23(3)題)模型應(yīng)用3. 如圖，AB

13、C是正三角形，BDC是等腰三角形，BDCD，BDC120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN.(1)探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由(2)若ABC的邊長(zhǎng)為2，求AMN的周長(zhǎng)第3題圖模型應(yīng)用3. 如圖，ABC是正三角形，BDC是等腰三角形 解：(1)MNBMNC；理由如下：如解圖，延長(zhǎng)AC至E，使得CEBM，連接DE，BDC為等腰三角形，ABC為等邊三角形，BDCD，DBCDCB，ABCACB60，又BDDC，且BDC120，DBCDCB30，ABCDBCACBDCB603090，MBDECD90，第3題解圖 解：(1)MNBMNC；第3題解圖第3

14、題解圖在MBD與ECD中，MBDECD(SAS)，MDDE，BDMCDE，又BDC120，MDN60，BDMNDCBDCMDN60，CDENDC60，即NDE60，第3題解圖在MBD與ECD中，MDNNDE60，在DMN與DEN中，DMNDEN(SAS)，MNEN，又NENCCE，BMCE，MNBMNC；第3題解圖MDNNDE60，第3題解圖(2)ABC為等邊三角形，ABBCAC2，由(1)可得，BMCE，MNEN，AMN的周長(zhǎng)AMMNAN AMNEAN AMANNCCE AMANNCBM (AMBM)(NCAN) ABAC224.第3題解圖(2)ABC為等邊三角形，第3題解圖一般通過(guò)一線三等

15、角找等角或進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，來(lái)證明三角形全等或相似，當(dāng)證明三角形全等時(shí)必須還有一組對(duì)應(yīng)邊相等. 常見(jiàn)基本圖形如下：方法分析微專(zhuān)題一線三等角(2017、2013、2011年23題)(1)兩個(gè)三角形在直線同側(cè)，點(diǎn)P 在線段AB上銳角一線三等角直角一線三垂直鈍角一線三等角一般通過(guò)一線三等角找等角或進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，來(lái)證明三角形全等或相已知：123.利用三角形任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到一組對(duì)應(yīng)角相等從而可得兩三角形相似【結(jié)論】CAPPBD；當(dāng)ACBP或APBD或CPPD時(shí)，CAPPBD.已知：123.利用三角形任意一個(gè)外角等于與它不相鄰(2)兩個(gè)三角形在直線異側(cè)，點(diǎn)P在AB(或BA)的延長(zhǎng)線

16、上銳角一線三等角直角一線三垂直已知：123.利用三角形任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到一組對(duì)應(yīng)角相等從而可得兩三角形相似【結(jié)論】CAPPBD；當(dāng)ACBP或APBD或CPPD時(shí)，CAPPBD.鈍角一線三等角(2)兩個(gè)三角形在直線異側(cè)，點(diǎn)P在AB(或BA)的延長(zhǎng)線上模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)E是DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EFBE，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若CE2，求DF的長(zhǎng)第1題圖解：四邊形ABCD是正方形，BCEEDF90，EFBE，BEF90，模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)E是DC 即 CBEBEC90，BECDEF90，CB

17、EDEF，BCEEDF，解得DF3.DF的長(zhǎng)為3. 即 CBEBEC90，2. 如圖，在矩形ABCD中，已知ADAB.在邊AD上取點(diǎn)E，連接CE.過(guò)點(diǎn)E作EFCE，與邊AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)求證：AEFDCE；(2)若AB3，AE4，DE6，求線段BF的長(zhǎng)第2題圖 (1)證明：四邊形ABCD是矩形，AD90，AEFF90.EFCE，CEDAEF90，CEDF，AEFDCE；2. 如圖，在矩形ABCD中，已知ADAB.在邊AD上取點(diǎn)(2)解：由(1)知，AEFDCE， ABCD3，AE4，DE6，解得BF5.BF的長(zhǎng)為5.(2)解：由(1)知，AEFDCE，3. 如圖，在等邊ABC中，BC

18、8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作DPE60，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E.(1)在圖中找出與EPC始終相等的角，并說(shuō)明理由；(2)若PDE為正三角形，求BDCE的值解：(1)BDPEPC；理由如下：ABC為等邊三角形，B60.DPE60，DPEB.DPC是BDP的外角，DPEEPCBBDP，EPCBDP；第3題圖3. 如圖，在等邊ABC中，BC8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作(2)PDE為正三角形，PDPE.在BDP和CPE中，BDPCPE(AAS)，BDCP，BPCE，BDCECPBPBC8.(2)PDE為正三角形，4. 如圖， 在四邊形ABCD中， 點(diǎn)P在邊AB上 (點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合) ，ABD

19、PC.(1)求證：DAPPBC.(2) 若PD5，PC10，BC9，求AP的長(zhǎng)(3)如圖， 在ABC中，ACBC4，AB6，點(diǎn)P在邊AB上 (點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，連接CP，作CPEA，PE與邊BC交于點(diǎn)E. 當(dāng)CE3EB時(shí)， 求AP的長(zhǎng)第4題圖4. 如圖， 在四邊形ABCD中， 點(diǎn)P在邊AB上 (點(diǎn)P(1)證明：DPBAADP，DPCCPBAADP，ADPC，ADPCPB，AB，DAPPBC；(1)證明：DPBAADP，(2)解：DAPPBC，AP ；(2)解：DAPPBC，由(1)得CAPPBE， ACBEAPBP，BC4，CE3EB，BE1，AC4，BPABAP6AP，AP(6AP)4

20、，AP3 或AP3 .(3)解：ACBC，AB，CPEA，ACPEB，由(1)得CAPPBE，(3)解：ACBC，A微專(zhuān)題手拉手模型(2016、2015、2014年23題， 2011年22題)模型分析模型一共頂點(diǎn)兩等腰三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生全等三角形(2016、2015、2014年23題)微專(zhuān)題手拉手模型模型分析模型一共頂點(diǎn)兩等腰三角形，旋轉(zhuǎn)后模型展示模型特點(diǎn)在ABC中，ABAC，在ADE中，ADAE，BACDAE，繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BD、CE交于點(diǎn)P結(jié)論CAEBAD(SAS)，BDCE，BPCBAC(“8字型”證角相等)模型展示模型特點(diǎn)在ABC中，ABAC，在ADE中，AD1. 如圖，ABD

21、與BCE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H.(1)求證：AHD60；(2)連接HB，求證：HB平分AHC.模型應(yīng)用第1題圖1. 如圖，ABD與BCE都為等邊三角形，連接AE與CD證明：(1)ABEABDEBD，DBCEBCEBD，ABDEBC60，ABEDBC.在ABE和DBC中，ABEDBC(SAS)EABCDB.AHDABD60；證明：(1)ABEABDEBD，(2)如解圖，過(guò)B作AH、DC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.ABEDBC，SABESDBC.即 AEBM CDBN.又AECD，BMBN.HB平分AHC.第1題解圖(2)如解圖，過(guò)B作AH、DC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M

22、、N.第模型分析模型二共頂點(diǎn)的兩個(gè)相似三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生相似三角形(2011年22題)模型展示模型特點(diǎn)AOCBOD，且繞公共頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)總結(jié)AOBCOD，且 模型分析模型二共頂點(diǎn)的兩個(gè)相似三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生相似三角形模型應(yīng)用2. 如圖，在ABC和ADE中，ACBAED90，連接BD、CE，EACDAB.(1)求證：ABCADE；(2)求證：BADCAE；(3)已知BC4，AC3，AE .將AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，求BD的長(zhǎng)第2題圖模型應(yīng)用2. 如圖，在ABC和ADE中，ACBAE(1)證明：EACDAB，CABEAD，ACBAED90，ABCADE；(2)證明：由(1)知ABC

23、ADE， EACBAD，BADCAE；(1)證明：EACDAB，(2)證明：由(1)知A(3)解：ACB90，BC4，AC3，AB ，ABCADE， AD 如解圖，將AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，AECADB90，BD 第2題解圖(3)解：ACB90，BC4，AC3，第2題解圖微專(zhuān)題 十字模型(2017年23題)(1)如圖，經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在正方形ABCD中，AEBF，借助“同角的余角相等”模型一 正方形類(lèi)十字模型(2017年23題)模型分析微專(zhuān)題 十字模型(2017年23題)(1)如圖，經(jīng)過(guò)頂可證ADEBAF，從而可得AEBF.(2)如圖，不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H

24、分別為AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，其中EGFH.構(gòu)選全等三角形，可得EGFH.(注意：在正方形的對(duì)邊分別取點(diǎn)并相連，所得兩條線段，若垂直，則相等；若相等，則垂直)模型應(yīng)用1. 已知正方形ABCD.(1)如圖，E是AD上一點(diǎn)，過(guò)BE上一點(diǎn)O作BE的垂線，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，求證：BEGH；第1題圖可證ADEBAF，從而可得AEBF.模型應(yīng)用1. 已（1）證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作GH的平行線，交DC于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)O.四邊形ABCD是正方形，D90，HADAHD90.GHBE，AHGH，AHBE.HADBEA90.第1題解圖（1）證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作GH的平行線，交DC于點(diǎn)H，BEA

25、AHD.在BAE和ADH中， BAEADH(AAS)，BEAHGH；BEAAHD.(2)如圖，過(guò)正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AB，CD于點(diǎn)G，H，求證：EFGH.(2)解：如解圖，過(guò)E作EMBC，過(guò)G作GNCD，GN交EF于點(diǎn)Q.EMFGNH90，又GHEF，EOGGOF90，MEFEQG90，NGHEQG90，MEFNGH，又GNEM，EMFGNH，EFGH.第1題解圖第1題圖(2)如圖，過(guò)正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線模型二 矩形類(lèi)十字模型模型分析(1)如圖，經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在矩形ABCD中，ABa，ADb，其中AEBF.探究AE與B

26、F的關(guān)系；可證：ADEBAF AE BF.模型二 矩形類(lèi)十字模型模型分析(1)如圖，經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在矩(2)如圖，不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在矩形ABCD中，ABa，ADb，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)其中EGFH，探究EG與FH的關(guān)系；過(guò)B作BMFH交AD于M.過(guò)A作ANEG交CD于N，可證：ADNBAM = EG FH.模型應(yīng)用2. 如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，BEAC于F點(diǎn)(1)若AEAD，SAEF1，求ABC的面積；第2題圖(2)如圖，不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)：在矩形ABCD中，ABa，AD解：(1)四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，AEFCBF， ，AE AD，BF3EF

27、，CF3AF，SAEF1，SCBF9SAEF9，SABF3SAEF3，SABCSABFSCBF12；解：(1)四邊形ABCD是矩形，(2)若AD4，tanEAF ，求AF的長(zhǎng)解：AD4，tanEAF ，DCADtanEAF2，ABDC2，EAFBAF90，BAFABF90，EAFABF，tanABF ，即BF2AF，AF2BF2AB2，AF2(2AF)24，AF .(2)若AD4，tanEAF ，求AF的長(zhǎng)解：典例精講類(lèi)型一與全等三角形有關(guān)的問(wèn)題(2014、2011年23題)例1(2020合肥瑤海區(qū)二模改編)如圖，在等邊ABC中，AB6，BDCE, AD、BE交于點(diǎn)F.(1)求證：ABDBCE

28、；例1題圖典例精講類(lèi)型一與全等三角形有關(guān)的問(wèn)題(2014、2011年解：(1)ABC是等邊三角形，ABACBC，ABDC60，在ABD和BCE中，ABDBCE(SAS)；【思維教練】根據(jù)BDCE，又因?yàn)锳BC為等邊三角形可得邊的關(guān)系 ，角的關(guān)系 所以可得ABDBCE.ABBCCABCBAC60解：(1)ABC是等邊三角形，【思維教練】根據(jù)BDCE(2)當(dāng)FAE45時(shí)，求AE的值；【思維教練】由(1)可知，EBCBAD，所以ABEFAE45，又因?yàn)锽AE60，AB6，考慮ABE中有兩個(gè)特殊角，通過(guò)作垂線構(gòu)造兩個(gè)特殊直角三角形，簡(jiǎn)化圖如下圖，若設(shè)AHa，則其余邊均可表示出來(lái)，因?yàn)锳B6，所以可列等

29、式即可求得AE的長(zhǎng)(2)當(dāng)FAE45時(shí)，求AE的值；【思維教練】由(1)解：如解圖，作EHAB，垂足為H，設(shè)AHa，BAE60，ABE45，HEHB a ，即a a6，解得a3 3，AE 2AH2a6 6.例1題解圖解：如解圖，作EHAB，垂足為H，設(shè)AHa，例1題解圖(3)如圖，連接FC，若CFAD時(shí)，求證：BDCD .【思維教練】考慮F點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)部，通常考慮將ABF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造等邊三角形，可以延長(zhǎng)BE至G，使得FGFA，結(jié)合(1)的結(jié)論AFG60，可得AFG為 ，從而可證得 ，所以AGCAFB例1題圖等邊三角形ABF AGC(3)如圖，連接FC，若CFAD時(shí)，求證：BDCD ._

30、，所以FGC60，所以AFCG ，此時(shí) ，而B(niǎo)FCG，CG和FG關(guān)系由GFC30，GCF90可得，問(wèn)題得以證明證明：如解圖，延長(zhǎng)BE至G，使FGAF，連接AG，CG，由(1)知AFE60，BADCBE，AFG是等邊三角形，例1題解圖120_，所以FGC60，所以AFCG ，此時(shí)FAG60，AFAG，BACFAG60，BACCADFAGCAD，即BAFCAG，在BAF和CAG中，BAFCAG(SAS)，ABFACG，CGBF，又ABCBAC，BADCBE，ABCCBEBACBAD，即ABFCAF，F(xiàn)AG60，AFAG，ACGCAF，AFCG，AFC90，AFE60，CFCG，CFG30，F(xiàn)G2C

31、G，F(xiàn)G2BF，F(xiàn)DCG，BFDBGC， ，BD DC.ACGCAF，類(lèi)型二與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題(2019年23題,2012/2011年22題)典例精講例2(2020滁州模擬)已知，在ABC中，ABC90，(1)如圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線MN的垂線，垂足分別為M、N.求證：AMBBNC；例2題圖類(lèi)型二與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題(2019年23題,2012/證明：ABC90，ABMCBN90，AMBM，ABMBAM90，BAMCBN，BAMCBN，AMBBNC90，AMBBNC；【思維教練】欲證明AMBBNC，可將圖形簡(jiǎn)化得到一線三垂直模型，根據(jù)同角的余角相等，可證另外一組角相等，即可

32、證相似證明：ABC90，ABMCBN90，【思若AMBABC，求證：ACAMCN；【思維教練】由AMBABC可得MABBAC，即BA平分MAC，根據(jù)角平分線性質(zhì)想到此處用到的輔助線為 ，由CNBN，同理結(jié)合已證明的結(jié)論AMBBNC，可得類(lèi)似條件 ，即 從而根據(jù)證明三角形全等進(jìn)行線段之間的等量代換，從而可求證證明：如解圖，作BPAC于P，則APBABC90，又BAPCAB，APBABC，例2題解圖作BPAC于點(diǎn)PAMBAPBBAMBAP若AMBABC，求證：ACAMCN；【思維教練】令A(yù)MBABC，AMBAPB，BAMBAP，在BAM和BAP中， AMBAPB(AAS)，APAM，同理可證，CP

33、CN，ACAPCPAMCN；令A(yù)MBABC，AMBAPB，（2）如圖，點(diǎn)D是CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DEEB，AEAB，ADBCCA335，求 的值【思維教練】考慮到承接上一小問(wèn)，盡可能利用上問(wèn)結(jié)論，需要構(gòu)造k字形相似模型，對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，需要過(guò)A點(diǎn)向BE所在直線作垂線，如下圖所示，AMBE，CNBE，垂足分別為M、N，此時(shí)構(gòu)造出上一問(wèn)結(jié)論模型，這是我們做幾何壓軸例2題圖（2）如圖，點(diǎn)D是CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DEEB，AEA題常用思維之一同時(shí)，由條件AEAB，結(jié)合AMBE，可得 ，同時(shí)，由條件DEAMCN，可得 ，再根據(jù)線段之間的比例關(guān)系求得 的值解：設(shè)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AMBE于M，過(guò)點(diǎn)C作CNBE交EB的延長(zhǎng)線于N，DEB90，CNAMDE，例2題解圖題常用思維之一同時(shí)，由條件AEAB，結(jié)合AMBE，可得令 ,在RtABC中， , ,由(1)可知，AMBBNC, , AEAB，AMBE，EMMB，EMBMBN332，BMBNCN1289,設(shè)BM12k，則BN8k，CN9k，此時(shí)在RtBCN中，BC k. .令 ,類(lèi)型三與全等和相似三角