1、PAGE 大理市2023屆統一檢測（數學）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1. 已知復數，則（ ）A. B. C. D. 2. 設全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量滿足，則向量與所成的夾角為（ ）A. B. C. D. 4. 河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術寶庫，現為世界非物質文化遺產之一某洞窟浮雕共8層，它們構成一幅優美的圖案各層浮雕數成等比數列，第二層浮雕數為6，第5層浮雕數為48，則第7層浮雕數為（ ）A. 96B. 128C. 192D. 3845. 已知，則（ ）A. B. C. D. 6.

2、已知分別為雙曲線左、右頂點，點P為雙曲線C上任意一點，記直線，直線的斜率分別為若，則雙曲線C的離心率為（ ）A. B. C. 2D. 7. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交于點D，且，則的最小值為（ ）A. 16B. 18C. 20D. 148. 已知實數a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（ ）A. B. C. D. 二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9. 若直線平面，直線，則與的位置關系可以是（ ）A. 與相交B. C. D. 與異面10. 設函數在區間

3、上單調遞增，則下列說法正確的是（ ）A. B. 存在，使得函數奇函數C. 函數的最大值為2D. 存在，使得函數的圖像關于點對稱11. 設點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（ ）A. B. C. D. 的面積為（為坐標原點）12. 設函數的定義域為R，且滿足，當時，則下列說法正確的是（ ）A. B. 函數的圖象關于點對稱C. D. 若，則有三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若的展開式中第5項為常數項，則該常數項為_（用數字表示）14. 某校為落實“雙減政策在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興

4、趣小組活動，現有甲、乙、丙三名同學擬參加籃球、足球、乒乓球三項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為_15. 過點作曲線的切線，則切線方程是_16. 如圖，某位同學準備用邊長為正方形紙片剪掉陰影部分四個全等的等腰三角形，然后將分別沿翻折，使得重合并記為點P，制成正四棱錐形狀的禮品盒，則邊長取值范圍為_；該四棱錐體積最大時，邊長為_四、解答題（共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知數列前n項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）若數列，求數列的前項和18. 從下面中選取一個作為條件，填在橫線上，并解答問題；

5、的面積為在中，內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，滿足_（1）求角A的大小；（2）若點D在，且，求19. 如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，D為的中點，點E在棱上，且，點P為線段上的動點（1）求證：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求平面和平面的夾角的余弦值20. 2020年1月15日教育部制定出臺了關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見（也稱“強基計劃”），意見宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生，據悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試

6、環節（1）為了更好的服務于高三學生，某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統計分析，得到下表數據689101223456請用相關系數說明該組數據中與之間關系可用線性回歸模型進行擬合，并求關于的線性回歸方程（2）現有甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門筆試科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門筆試科目通過的概率依次為，其中，根據規定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作出決策，求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍參考公式：線性相關系數，一般地，相關系數的絕對值在以上（含）

7、認為線性相關性較強；否則，線性相關性較弱對于一組數據，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，21. 已知為橢圓C的左、右焦點，點為其上一點，且（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關于坐標原點O的對稱點R，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由22. 已知函數（1）若，求函數的單調區間；（2）設，當時，（是的導函數），求a的取值范圍大理市2023屆統一檢測（數學）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1. 已知復數，則（ ）A. B. C. D.

8、 【答案】A2. 設全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D3. 已知向量滿足，則向量與所成的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】B4. 河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術寶庫，現為世界非物質文化遺產之一某洞窟的浮雕共8層，它們構成一幅優美的圖案各層浮雕數成等比數列，第二層浮雕數為6，第5層浮雕數為48，則第7層浮雕數為（ ）A. 96B. 128C. 192D. 384【答案】C5. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D6. 已知分別為雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線C上任意一點，記直線，直線的斜率分別為若，則雙曲線C的離心率為（ ）A. B. C. 2D. 【

9、答案】A7. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交于點D，且，則的最小值為（ ）A. 16B. 18C. 20D. 14【答案】B8. 已知實數a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（ ）A. B. C. D. 【答案】C二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9. 若直線平面，直線，則與的位置關系可以是（ ）A. 與相交B. C. D. 與異面【答案】BCD10. 設函數在區間上單調遞增，則下列說法正確的是（ ）A. B. 存在，使得函數為奇函數C. 函數最大值為2D

10、. 存在，使得函數的圖像關于點對稱【答案】AC11. 設點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（ ）A. B. C. D. 的面積為（為坐標原點）【答案】BC12. 設函數的定義域為R，且滿足，當時，則下列說法正確的是（ ）A. B. 函數的圖象關于點對稱C. D. 若，則有【答案】BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若的展開式中第5項為常數項，則該常數項為_（用數字表示）【答案】3514. 某校為落實“雙減政策在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現有甲、乙、丙三名同學擬參加籃

11、球、足球、乒乓球三項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為_【答案】15. 過點作曲線的切線，則切線方程是_【答案】16. 如圖，某位同學準備用邊長為正方形紙片剪掉陰影部分四個全等的等腰三角形，然后將分別沿翻折，使得重合并記為點P，制成正四棱錐形狀的禮品盒，則邊長取值范圍為_；該四棱錐體積最大時，邊長為_【答案】 . . 16四、解答題（共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知數列的前n項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）若數列，求數列的前項和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據與的關系可得

12、，進而得，由累加法即可求解；（2）根據分組求和，由等差等比數列求和公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以，當時，-得：，即，所以，所以，由，可得，當時，符合上式，所以【小問2詳解】由題意得，則，所以18. 從下面中選取一個作為條件，填在橫線上，并解答問題；的面積為在中，內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，滿足_（1）求角A的大小；（2）若點D在，且，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1) 選擇，由余弦定理可求解；選擇，先由正弦定理，再由余弦定理可求解；(2)解法1：由正弦定理可求解；解法2：過點C作垂直交的延長線于點E，可得與相似，從而得，再由余弦定理可求解.【小問1詳解】選擇，

13、由得，即，因為，所以選擇，由得，即，因為，所以【小問2詳解】解法1：設，中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，即，即，所以，即解法2：過點C作垂直交的延長線于點E，如圖3，又與相似，又在中，從而得19. 如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，D為的中點，點E在棱上，且，點P為線段上的動點（1）求證：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求平面和平面的夾角的余弦值【答案】（1）證明見解析； （2）【解析】【分析】（1）根據勾股定理逆定理，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；（2）根據空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】在矩形中，D為的中點，所以，所以，因為是正三角形，D為

14、的中點，所以，又因為是正三棱柱，所以平面，而平面，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，點P為線段上，所以平面，而平面，所以；【小問2詳解】如圖以的中點為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，則，設，則，所以，即，解得，所以，設為平面的法向量，則令，則，所以，取為平面的法向量，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為20. 2020年1月15日教育部制定出臺了關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見（也稱“強基計劃”），意見宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生，據悉強基計劃

15、的校考由試點高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試環節（1）為了更好的服務于高三學生，某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統計分析，得到下表數據689101223456請用相關系數說明該組數據中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求關于的線性回歸方程（2）現有甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門筆試科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門筆試科目通過的概率依次為，其中，根據規定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作出決策，求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍

16、參考公式：線性相關系數，一般地，相關系數的絕對值在以上（含）認為線性相關性較強；否則，線性相關性較弱對于一組數據，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，【答案】（1）相關系數，與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，回歸直線方程；（2）【解析】【分析】（1）根據表格中的數據，求得相關系數，得到與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，進而求得，即可求的回歸直線的方程；（2）通過甲大學的考試科目數，得到，設通過乙大學的考試科目數可能的取值為0，1，2，3，求得相應的概率，求得，根據考生更希望通過乙大學的筆試考試，列出不等式，即可求解【詳解】（1）根據表格中的數據，可得，可得相關系數，

17、故與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，又由，可得綜上回歸直線方程（2）通過甲大學的考試科目數，則，設通過乙大學的考試科目數為，則可能的取值為0，1，2，3，則，所以，因為該考生更希望通過乙大學的筆試考試，所以，即，又由，解得，即為該考生更希望通過乙大學的筆試時的范圍為【點睛】求隨機變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個值對應的概率，寫出隨機變量的分布列；3、由期望和方差的計算公式，求得數學期望；4、若隨機變量的分布列為特殊分布列（如：兩點分布、二項分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.21. 已知為橢圓C的左、右焦點，點為其

18、上一點，且（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關于坐標原點O的對稱點R，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由【答案】（1） （2）存在，最大值為3【解析】【分析】（1）由橢圓定義知,再代入點即可；（2）設直線，再聯立方程即可求解.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，則解之得：所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】如圖所示，設直線，則消去x整理得，設的面積為S，又，則，令，則，又設，則，在上為增函數，所以，存在當時，即直線l的方程為的面積有最大值，其最大值為322. 已知函數（1）若，求函數的單調區間；（2）設，當時，（是的導函數），求a的取值范圍【答案】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為 （