1、11.4抽樣方法與總體分布的估計高考理數(shù)考點一隨機(jī)抽樣考點清單考向基礎(chǔ)類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣 抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等;每次抽出個體后不放回,即不放回抽樣從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣 將總體分成幾層,按比例分層進(jìn)行抽取在每一層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成考向突破考向三種抽樣方法的運用例(2020屆四川9月聯(lián)合診斷,3)某運動隊由足球運動員18人,籃球運動員12人,乒乓球運動員6人組成(每人只參

2、加一項),現(xiàn)從這些運動員中抽取一個容量為n的樣本,若分別采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法,都不用刪除個體,那么樣本容量n的最小值為()A.6B.12C.18D.24解析本題考查了分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)對兩種抽樣方法進(jìn)行分析和討論,以便求出樣本容量.由題意知,總體容量為36,當(dāng)樣本容量為n時,系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為,分層抽樣的抽樣比為,則采用分層抽樣抽取的足球運動員人數(shù)為18=,籃球運動員人數(shù)為12=,乒乓球運動員人數(shù)為6=,可知n是6的整數(shù)倍,故n的最小值為6.答案A考點二用樣本估計總體考向基礎(chǔ)1.頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下:(1)求極差,即求一

3、組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差;(2)決定組距與組數(shù);(3)將數(shù)據(jù)分組;(4)列頻率分布表,落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù),每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率,計算各小組的頻率,列出頻率分布表;(5)畫頻率分布直方圖,依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖,其中縱坐標(biāo)(小長方形的高)表示頻率與組距的比值,其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積,即每個小長方形的面積=組距 =頻率.各個小長方形面積的總和等于1.2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作頻率分布直方圖時所

4、分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.3.莖葉圖莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖,莖是指中間的一列數(shù),葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分,分界線與x軸交點的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和4.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征考向突破考向一統(tǒng)計圖表的應(yīng)用例1(2019安徽六安

5、毛坦廠中學(xué)3月月考,3)某位教師2017年的家庭總收入為80 000元,各種用途占比統(tǒng)計如下面的折線圖.2018年收入的各種用途占比統(tǒng)計如下面的條形圖,已知2018年的就醫(yī)費用比2017年增加了4 750元,則該教師2018年的家庭總收入為()A.100 000元B.95 000元C.90 000元D.85 000元解析由已知得,2017年的就醫(yī)費用為80 00010%=8 000元,故2018年的就醫(yī)費用為12 750元,所以該教師2018年的家庭總收入為=85 000(元).故選D.答案D考向二用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例2(2019河南名校聯(lián)盟尖子生第六次聯(lián)合調(diào)研,5)某外賣企業(yè)

6、抽取了阿朱、阿紫兩位員工今年3月某10天日派送外賣量的數(shù)據(jù)(單位:件),如莖葉圖所示.針對這10天的數(shù)據(jù),下面說法錯誤的是()A.阿朱的日派送外賣量的眾數(shù)為76B.阿紫的日派送外賣量的中位數(shù)為77C.阿朱的日派送外賣量的中位數(shù)為76.5D.阿紫的日派送外賣量更穩(wěn)定解析阿朱的日派送外賣量中,只有76出現(xiàn)了2次,其他數(shù)只出現(xiàn)了1次,故眾數(shù)為76,A中的說法正確;計算可得阿朱、阿紫的日派送外賣量的中位數(shù)分別為76.5、77,B、C中的說法正確;阿朱日派送外賣量波動較小,更穩(wěn)定,D中的說法錯誤.答案D方法1抽樣方法的應(yīng)用1.系統(tǒng)抽樣的最基本特征是“等距性”.一般地,每組內(nèi)所抽取的號碼依據(jù)第一組抽取的號

7、碼和組距確定.每組抽取的號碼依次構(gòu)成一個以第一組抽取的號碼m為首項、組距d為公差的等差數(shù)列an,第k組抽取的號碼為ak=m+(k-1)d.2.分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層,實質(zhì)是等比例抽樣,抽樣比=.方法技巧例1(1)(2019河南部分省示范性高中1月份聯(lián)考,7)某學(xué)校為落實學(xué)生掌握社會主義核心價值觀的情況,用系統(tǒng)抽樣的方法從全校2 400名學(xué)生中抽取30人進(jìn)行調(diào)查.現(xiàn)將2 400名學(xué)生隨機(jī)地從12 400編號,按編號順序平均分成30組(180號,81160號,2 3212 400號),若第3組與第4組抽出的號碼之和為432,則第6組抽到的號碼是()A.416B.432C.448

8、D.464(2)(2018安徽安慶一中、山西太原五中等五省六校期末聯(lián)考,3)某中學(xué)有高中生960人,初中生480人,為了了解學(xué)生的身體狀況,采用分層抽樣的方法,從該校學(xué)生中抽取容量為n的樣本,其中高中生有24人,那么n等于()A.12B.18C.24D.36解析(1)設(shè)第n組抽到的號碼是an,則an構(gòu)成以80為公差的等差數(shù)列,所以a3=a1+802=160+a1,a4=a1+803=240+a1,則有a3+a4=2a1+400=432,解得a1=16,所以a6=16+805=416.故選A.(2)根據(jù)分層抽樣方法知=,解得n=36.答案(1)A(2)D方法2頻率分布直方圖的應(yīng)用1.繪制頻率分布

9、直方圖時需注意:(1)頻率分布直方圖中的縱軸表示,而不是頻率;(2)頻率分布直方圖中各小長方形的高之比就是相應(yīng)各組的頻率之比;(3)頻率分布直方圖中各個小長方形的面積是相應(yīng)各組的頻率,所有的小長方形的面積之和等于1,即頻率之和為1.2.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計算時,需掌握下列關(guān)系式:(1)組距=頻率;(2)=頻率,此關(guān)系式的變形為=樣本容量,樣本容量頻率=頻數(shù).例2(2020屆四川聯(lián)合診斷,17)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了

10、了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計x的值,并說明理由.解析(1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.080.5=0.04,同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.

11、04,0.02.由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1)知,100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5x3.由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解

12、得x=2.9.所以,估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).方法3樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是重要的數(shù)字特征,利用它們可對總體進(jìn)行一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可描述總體的集中趨勢,方差和標(biāo)準(zhǔn)差可描述波動大小.2.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論:(1)若數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)為,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均數(shù)是m+a.(2)設(shè)數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差為s2,則s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2;數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,xn+a的方差也為s2;數(shù)據(jù)a

13、x1,ax2,axn的方差為a2s2.例3(2018河南新鄉(xiāng)一模,19)為了了解甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo),從兩廠各隨機(jī)選取了10個輪胎,將每個輪胎的寬度(單位:mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖:(1)分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均值;(2)若輪胎的寬度在194,196內(nèi),則稱這個輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小,根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動情況,判斷這兩個工廠哪個的輪胎相對更好.解析(1)甲廠10個輪胎寬度的平均值:=(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm),乙廠10個輪胎寬度的平均值:=(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm).(2)甲廠10個輪胎中寬度在194,196內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195,平均數(shù):=(195+194+196+194+196+195)=195,方差:=(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-1