1、AX+XB=D的最小二乘解摘要矩陣理論不僅是學習經典數學的基礎，也是最具有實用價值的數學理論。它不僅是數學的一個重要分支，而且已成為現代科技領域處理大量有限維空間形式和數量關系的有力工具。尤其是計算機的廣泛應用，為矩陣理論的應用開辟了廣闊的前景。例如，系統工程、優化方法和穩定性理論與矩陣理論密切相關。目前，在矩陣理論領域，矩陣方程解的研究一直是最熱門的問題之一。矩陣方程及其解的問題已在生物學、電學、光子光譜學、振動理論、線性最優控制等諸多領域中被發現。重要應用。對矩陣方程解的研究和探索從未間斷過。可見，解方程的問題確實是一個很重要的課題。本文將討論這個命題，利用矩陣的直積（Kronecker

2、product）、矩陣的行矯直和全秩分解來求解矩陣方程的最小二乘解，并且可以用Moore-Penrose逆表示.關鍵詞：矩陣方程 最小二乘解 矩陣直積（Kroneck product） 全秩分解計算摩爾-彭羅斯逆摘 要矩陣理論是學習經典數學的基礎，也是最有意義的數學理論之一。它不僅是數學的一個重要分支，而且已成為處理現代技術各種領域中有限維空間結構與數量之間許多關系的有力工具。計算機的廣泛使用為矩陣理論的應用帶來了光明的前景。許多問題都與矩陣理論密切相關，如系統工程、優化方法、穩定性理論等。目前，矩陣方程的研究已成為矩陣理論中最熱門的課題之一。它廣泛應用于生物學、電學、光譜學、振動理論、線性最

3、優控制等不同領域。人們一直在研究和探索矩陣方程的解法，這意味著課題研究是至關重要的。本文討論了矩陣方程的可用解，利用克羅內克積，對矩陣進行全秩分解，得到矩陣方程的最小范數最小二乘解。并且可以用Moore -Penrose 逆來表示。關鍵詞：矩陣方程；最小范數最小二乘解；克羅內克產品；全秩分解算法；摩爾-彭羅斯逆目錄TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc326618053 摘要 PAGEREF _Toc326618053 h 1 HYPERLINK l _Toc326618054 摘要 PAGEREF _Toc326618054 h 2 HYPERLINK l _Toc

4、326618055 1簡介 PAGEREF _Toc326618055 h 4 HYPERLINK l _Toc326618056 1.1 Yapunov矩陣方程5的應用背景及研究現狀 PAGEREF _Toc326618056 h HYPERLINK l _Toc326618057 1.2本文的主要工作 PAGEREF _Toc326618057 h 5 HYPERLINK l _Toc326618058 1.3符號說明 PAGEREF _Toc326618058 h 6 HYPERLINK l _Toc326618059 2預備知識 PAGEREF _Toc326618059 h 7 HY

5、PERLINK l _Toc326618060 2.1矩陣 PAGEREF _Toc326618060 h 7個數 HYPERLINK l _Toc326618061 2.1.1 8號矩陣的定義 PAGEREF _Toc326618061 h HYPERLINK l _Toc326618062 2.1.2矩陣數的性質 PAGEREF _Toc326618062 h 8 HYPERLINK l _Toc326618063 2.2矩陣的直積及其應用 PAGEREF _Toc326618063 h 10 HYPERLINK l _Toc326618064 2.2.1直積概念 PAGEREF _Toc

6、326618064 h 10 HYPERLINK l _Toc326618065 2.2.2矩陣直積的性質 PAGEREF _Toc326618065 h 11 HYPERLINK l _Toc326618066 2.2.3線性矩陣方程的可解性 PAGEREF _Toc326618066 h 11 HYPERLINK l _Toc326618067 2.3矩陣的全秩分解 PAGEREF _Toc326618067 h 12 HYPERLINK l _Toc326618068 2.3.1矩陣全秩分解的定義 PAGEREF _Toc326618068 h 12 HYPERLINK l _Toc32

7、6618069 2.3.2矩陣全秩分解的性質 PAGEREF _Toc326618069 h 12 HYPERLINK l _Toc326618070 2.4廣義逆矩陣的存在與性質 PAGEREF _Toc326618070 h 14 HYPERLINK l _Toc326618071 2.4.1 Penrose的廣義逆矩陣定義 PAGEREF _Toc326618071 h 14 HYPERLINK l _Toc326618072 2.4.2廣義逆矩陣的性質 PAGEREF _Toc326618072 h 14 HYPERLINK l _Toc326618073 2.4.3 Moore-Pe

8、nrose逆矩陣的計算 PAGEREF _Toc326618073 h 15 HYPERLINK l _Toc326618074 3矩陣方程的最小二乘解 PAGEREF _Toc326618074 h 16 HYPERLINK l _Toc326618075 3.1廣義逆矩陣和線性方程組的解 PAGEREF _Toc326618075 h 16 HYPERLINK l _Toc326618076 3.1.1線性方程組最小二乘解的定義 PAGEREF _Toc326618076 h 16 HYPERLINK l _Toc326618077 3.1.2矩陣方程到線性代數方程的變換 PAGEREF

9、_Toc326618077 h 17 HYPERLINK l _Toc326618078 3.2求解 PAGEREF _Toc326618078 h 矩陣方程18 HYPERLINK l _Toc326618079 3.2.1在一致條件下 PAGEREF _Toc326618079 h 求解矩陣方程的情況1 9 HYPERLINK l _Toc326618080 3.2.2矩陣方程不相容時的解 PAGEREF _Toc326618080 h 2 1 HYPERLINK l _Toc326618081 結論 PAGEREF _Toc326618081 h 2 2 HYPERLINK l _Toc

10、326618082 至 PAGEREF _Toc326618082 h 2 3 HYPERLINK l _Toc326618083 參考文獻 PAGEREF _Toc326618083 h 2 41 簡介矩陣理論不僅是學習經典數學的基礎，也是最具有實用價值的數學理論。它不僅是數學的一個重要分支，而且已成為現代科技領域處理大量有限維空間形式和數量關系的有力工具。在矩陣理論領域，矩陣方程解的研究一直是最熱門的問題之一，對矩陣方程解的研究和探索一直沒有中斷，但幾乎所有的結論都是基于矩陣作為特殊的矩陣（如對稱矩陣等），或者解的表達形式過于繁瑣。此外，還有一些文獻只討論理解的存在。 Lyapunov 方

11、程在力學和控制論等許多領域都有重要的應用。可見，方程的求解問題確實是一個很重要的課題，所以有必要考慮給出方程的最小二乘解的表達式。本文將討論這個命題，最后給出它的重要應用矩陣方程的最小二乘解和極小數的最小二乘解。1.1 Yapunov矩陣方程的應用背景及研究現狀在科學和工程中，經常遇到求解線性方程組的問題。矩陣是描述和求解線性方程組的最基本和最有用的數學工具。矩陣的基本數學運算有很多，如轉置、乘積、外積、逆矩陣、廣義逆矩陣等。矩陣方程及其解問題在生物學、電學、光子光譜學、振動理論、有限元、結構設計、參數辨識、自動控制理論、線性最優控制等諸多領域都有重要的應用。提出了許多不同類型的線性矩陣方程的

12、模型問題，刺激了該理論的快速發展，使得線性矩陣方程的求解成為當今計算數學領域的研究熱點之一。經過國外專家學者的不斷探索，迄今為止，在線性矩陣方程問題的研究中取得了一系列豐碩的成果。對于矩陣方程，1955年彭羅斯得到了它有通解的充要條件和通解表達式； 1994年，黃禮平博士研究了四元數方陣的標準形式和矩陣方程問題； 2002年馬飛，博士研究 2004年，袁永新教授研究矩陣方程的最優解。1.2本文的主要工作論文第一章簡要介紹了李雅普諾夫方程研究的實際背景和研究現狀；第二章介紹了現有的主要成果、數論、矩陣的直接乘積（Kronecker product）、矩陣全秩分解的row-wise straigh

13、tened sum算法等。第三章是本文的主要工作。根據直積的定義和性質，可以將矩陣方程化簡為總則線性方程組。得到方程的最小解和最小二乘解。雖然最小二乘解一般不唯一，但最小二乘解確實是唯一的，可以用 Moore-Penrose 逆來表示。如果矩陣方程不相容，則其最小二乘解需要滿足矩陣方程的最小二乘解。第四章給出結論，最后是本文的參考書目。1.3符號說明實數字段實維向量空間實矩陣空間秩實矩陣復數域復維向量空間復矩陣空間復雜的秩矩陣矩陣的行列式維線性空間矩陣的范圍，的列空間矩陣的秩單位換算向量和向量的乘積向量生成的子空間矩陣的轉置矩陣的共軛轉置矩陣的行和列任意數量的矩陣矩陣的 Frobenius 數

14、矩陣的條件數矢量-數字矩陣的特征值矩陣和矩陣的直接乘積矩陣的逐行拉直產生的列向量矩陣的摩爾-彭羅斯逆矩陣的組逆2預備知識2.1矩陣數量在計算數學，特別是數值代數中，數論在研究數值方法的收斂性、穩定性和誤差分析時非常重要。本章主要討論矩陣空間中矩陣數的理論和性質。矩陣空間是一維線性空間。矩陣A被看作是線性空間中的一個“向量”，A的個數可以用定義-數的方式來定義。但是，矩陣之間也存在乘法，這應該體現在數的定義中。2.1.1矩陣數的定義定義 2.1讓, 定義一個滿足以下三個條件的實值函數非負性：則 , 0；那么 , ;均質： ;三角不等式： , , 稱為A的廣義矩陣數。如果是, , 和上相同的廣義矩

15、陣數，我們有兼容性：,稱為矩陣數。2.1.2矩陣數的性質與向量的情況一樣，矩陣序列也有極限的概念：有一個矩陣序列 ，其中, .如果記錄的行和列的元素被使用，并且有極限，那么就有極限，或者說收斂到矩陣，記為=或不收斂的矩陣序列稱為發散矩陣。因此可以證明，充分必要條件是：(3)的定義2.1，可以證明以下不等式| |由此可以證明矩陣數的連續性，即可以啟動其實從上面的討論來看，當時，但是|所以在那個時候，就有了。推論 2.1 知道A = ( , 可以證明以下兩個函數,是上面的矩陣數。證明對于一個函數，它顯然是非負性和齊性的，下面只驗證三角不等式和相容性+因此，是A的矩陣數。同理，可以證明它也是A的矩陣

16、數。與向量數一樣，矩陣數也是多種多樣的。然而，在數值方法中做某種估計時，遇到的大多數情況是矩陣的個數往往與向量的個數混在一起，矩陣往往表現為兩個線性空間上的線性映射（變換）。因此，當考慮一些矩陣時，應該可以將其與向量的數量聯系起來。這可以通過矩陣數與向量數兼容的概念來實現。下面介紹這個概念。定義 2.2對于上的矩陣個數和齊次向量個數，如果, (2.1)矩陣和向量的數量被認為是兼容的。定理 2.1設A ，且都是酉矩陣，則即A左或右乘以酉矩陣后，其值不變（ when和Q都是正交矩陣）。A的第 j列，則有即。然后推論2.2與A 相似的酉（或正交）矩陣的F 個數相同，即如果，則，其中Q是酉矩陣。2.2

17、矩陣的直積及其應用矩陣的直積（Kronecker product）在矩陣的理論研究和計算方法中有著非常重要的應用。特別是，利用矩陣的直接乘積運算，可以將線性矩陣方程轉化為線性代數方程進行討論或計算。2.2.1直接產品概念首先從簡單的例子開始。有二元向量和三元向量，它們分別經過二階矩陣和三階矩陣，即, 的變換變成向量和, 即我們有,現在考慮一個六元素向量，其分量是這兩個向量分量的乘積什么樣的線性變換可以變成六元向量假設因此有+ ( )所以變換后的矩陣是一個六階矩陣一般引入以下定義。定義2.3稱其為如下塊矩陣(2.2)的直接產品（克羅內克產品）。是塊矩陣，所以公式 ( 2.2.1) 也可以簡寫為=

18、 (2.3)2.2.2矩陣直積的性質矩陣的直積具有以下性質。(1)(2)設為同階矩陣，則(3)(4)讓,，然后.假設兩者都是可逆的，那么(6)如果兩者都是上三角（lower triangular）矩陣，那么它們也是上三角（lower triangular ）矩陣。(7)(8) 如果和都是正交（酉）矩陣，那么它們也是正交（酉）矩陣。2.2.3線性矩陣方程的可解性在系統控制等工程領域，經常會遇到矩陣方程AX+XB=D (2.4)的解問題，其中,是已知矩陣， ,是未知矩陣。一般來說，線性矩陣方程可以表示為(2.5)其中是已知矩陣，是未知矩陣。下面利用矩陣直積的性質來研究矩陣方程(2.5)的可解性。設

19、置，并注意第一個行為和然后有從而=定理2.2式（2.5）有解的充要條件是，這里 表示矩陣A的列空間。定理2.3假設的特征值是方程有唯一解的充分必要條件。2.3矩陣的全秩分解本節討論將非零矩陣分解為列滿秩矩陣和行滿秩矩陣的乘積的問題。2.3.1矩陣全秩分解的定義定義 2.4令，如果有一個矩陣和使得(2.6)則公式（2.6）稱為矩陣的全秩分解。當它是滿秩（列滿秩或行滿秩）矩陣時，可以分解為一個因子是單位矩陣，另一個因子是它本身，這種全秩矩陣分解稱為平凡分解。2.3.2矩陣全秩分解的性質矩陣的全秩分解具有以下性質：定理 2.4假設存在滿秩分解 (2.6)。在證明的時候，根據矩陣的初等變換理論，可以將

20、初等變換轉化為梯形矩陣，即那么有一個有限數量的階初等矩陣的乘積，記為，使得或者會被分塊, ,然后有其中是列滿秩矩陣，是行滿秩矩陣。認證應該指出，矩陣（2.6）的全秩分解不是唯一的。這是因為如果它是任意階的非奇異矩陣，則方程（2.6）可以重寫為這是 的另一個全秩分解。求列滿秩矩陣時，需要求矩陣及其逆矩陣，非常麻煩。為了避免這些操作，引入以下定義。定義 2.5令, 并滿足(1)上一行的每一行至少包含一個非零元素，且第一個非零元素為1，后續行的元素全為零；(2) 如果第 1 行的第一個非零元素 1 在( ) 列中，則；(3)是單位矩陣的前列，則稱為 Hermite 標準形式。定義 2.6以階單位矩陣

21、的列向量為列組成的階矩陣(2.7)稱為排列矩陣，這里是1,2 的排列。定理 2.5假設Hermite 正則形式為（如 2.5 中所定義），則在（ 2.6 ）的全秩分解中，可取為.順便說一下，有一個順序可逆矩陣使得或者根據定理，塊將是, ,可以得到一個全秩分解，其中是的前一行形成的矩陣。接下來，確定列滿秩矩陣。參考Hermite 規范形式, 作為階置換矩陣除, , 那么有其中。再次可用即的前列形成的矩陣，的列形成的矩陣。認證2.4廣義逆矩陣的存在與性質2.4.1 Penrose的廣義逆矩陣定義定義 2.7設置一個矩陣，如果矩陣滿足以下四個彭羅斯方程（一世）(二)(四)稱為Moore-Penros

22、e 逆，記為。定理 2.6存在并且對于任何.先證者存在的證明。如果是零矩陣，則可以驗證零矩陣滿足四個彭羅斯方程。如果，根據定理，可以進行奇異值分解,其中是的奇異值，并且分別是階酉矩陣和階酉矩陣。易于驗證四個彭羅斯方程得到滿足。看得見，一直都在。唯一性滿足方程(i)(iv)，則認證2.4.2廣義逆矩陣的性質廣義逆矩陣具有以下性質定理 2.7假設, , , 那么(1)(2) ;(3) 如果和不是單數，則;(4) ;(5)并且都是冪等矩陣并且具有相同的秩；(6)定理 2.8給定矩陣和，充要條件是顯然證明是充分的，如果，從定理 2.6(5)，我們有因此，存在一個矩陣使得從而必然是因為和互為1,2-逆，

23、可由2.4.2定理( )的(4)得到。認證定理 2.9 如果給定矩陣，則(1)(2)(3) ;(4) ;(5) ;(6)推論 2.2如果, 那么(2.8)如果，那么(2.9)推論 2.3設為維度列向量， ，則(2.10)和(2.11)2.4.3Moore-Penrose逆矩陣的計算假設矩陣的秩為，其中，下面介紹一種求Moore-Penrose逆矩陣的方法，即全秩分解法。前面介紹了矩陣全秩分解的概念，給出了通過初等變換進行全秩分解的方法。假設全秩分解為(2.12)其中， ，則可根據下列定理給出的結論計算廣義逆矩陣。設置的全秩分解是等式。 (2.12)，那么(1)(2)(3)(4)(5)定理證明根

24、據定義，很容易驗證 (1), (2) 成立。(3) 可以直接從 (1), (2) 得到。 （當它們分別被替換時，結論仍然成立。）(4) 從 (3) 知道， ， 和 因為所以另一個公式可以類似地證明。(5) 由(4) 可知， , , 包含公式及其他結論。3矩陣方程的最小二乘解3.1廣義逆矩陣和線性方程組的解3.1.1線性方程的最小二乘解的定義考慮一個非齊次線性方程組(3.1)其中是給定的，并且是未確定的向量。如果存在使方程組 (3.1) 為真的向量，則稱方程組是相容的，否則稱為不相容或矛盾方程組。關于線性方程組的求解，常見的有以下幾種情況。(1) 方程組(3.1)兼容的條件是什么？當它兼容時找到

25、它的通用解決方案（如果解決方案不是唯一的）。(2) 如果方程(3.1)相容，則可能有無窮多個解，得到極小數的解，即(3.2)歐幾里得數在哪里。可以證明滿足這個條件的解是唯一的，稱為最小解。(3) 如果方程組 (3.1) 不相容，則沒有通常意義上的解。但在很多實際問題中，需要解決極值問題(3.3)，歐幾里得數在哪里。這種極值問題稱為求矛盾方程的最小二乘問題，對應的矛盾方程的最小二乘解稱為。(4) 一般而言，矛盾方程的最小二乘解不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，存在極小的解。(3.4)是唯一的，稱為最小二乘解。廣義逆矩陣與線性方程組的解密切相關。廣義逆矩陣可以用來解決上述許多問題，反之，廣義逆矩

26、陣可以由線性方程的解來確定。3.1.2將矩陣方程轉換為線性代數方程對于比較復雜的矩陣方程的解，我們通常采用行向量拉直的方法，將矩陣方程轉化為線性方程，將矩陣方程轉化為形式，然后討論矩陣方程的解。假設的第一個行為可以表示為所以所以由以上推理，我們可以得到也就是說，矩陣方程被行向量拉直為讓, , ,那么矩陣方程可以寫成等價形式3.2求解矩陣方程考慮矩陣方程（其中），在通過行向量拉直它之后，即表示，這里表示的第 th行。挑出來3.2.1在兼容的條件下求解矩陣方程在一致條件下求解矩陣方程的情況，以及其中和。由前面的分析可知，矩陣方程變為可以看出，當且僅當矩陣非奇異時，矩陣具有唯一解是相容的。定理3.1

27、成立，當且僅當, 其中的特征值是 ，矩陣方程有唯一解。證明矩陣方程有唯一解有獨特的解決方案有獨特的解決方案讓，并注意的特征值完全相同，由的特征值，所以其中。認證推論 3.1設的特征值和的特征值，則齊次方程有非零解的充要條件是存在。盡管上述定理給出了矩陣方程具有唯一解的充分必要條件，但通常不容易為其解矩陣寫出顯式表達式。如果和是一個穩定矩陣，即所有特征值的實部都小于零的矩陣，則解有一個明顯的表達式。定理3.2令和是一個穩定的矩陣，并且給定。那么線性矩陣方程有一個唯一解，并且，(3.5)證明定理的假設保證不存在與- 相同的特征值，因此根據定理 3.1，存在唯一解。現在考慮初值問題(3.6)其中是上

28、面定義的矩陣值函數。可以得到直接驗證，即問題（3.6）的解。對等式 (3.6)兩邊積分得到,那是.證明由 (3.5) 確定的解，只需要驗證上面的公式。為此，只需要證明它對任何穩定矩陣都成立。但根據普遍理論，我們有, ,式中，是不同的特征值，分別是它們的指標，是的分量。現在讓，分別的實部和虛部。根據一個穩定矩陣的假設， ，所以.所以， 。所以結論成立。前面我們討論了有解和唯一解的條件，現在我們討論方程有解時解的結構形式。具體步驟如下。首先取，我們得到以下特殊矩陣方程：, (3.7)求解方程 (3.7) 等價于找到與 可交換的所有矩陣。顯然，方程（3.7）有無窮多個解。事實上，復數多項式）總是它的

29、解。方程(3.7)的解的表達式在下面的定理3.3中給出，然后，應用這個結果，討論了解的表達式及其解空間的構造。由于解可以表示為齊次方程的齊解與非齊次方程的一個特解之和，所以最后只需要討論解的條件即可。定理3.3有形式，這里是Jordan 范式，是對應于的特征值的Jordan 塊。那么解方程（3.7）的充分必要條件是，其中是一個與 具有相同塊形式的塊矩陣。然后考慮齊次線性矩陣方程(3.8)解決方案的形式。主要技巧是將其歸結為前面討論的問題。顯然，方程（3.8）有解。假設它的解，可以驗證(3.9)可交換的，相反，如果（3.9）中的兩個階矩陣是可交換的，則它必須是方程（3.8）的解。因此，將定理 3

30、.3 的結果應用于 (3.9) 中的兩個矩陣，我們有,那么矩陣方程 (3.8) 的任何解都具有形式，其中( ) 是矩陣方程 的通解。類似地，將推論應用于矩陣方程(3.10)我們有以下結果推論3.2矩陣方程（3.8）的通解形式為：, (3.11)其中 是方程 (3.8) 的線性獨立解，并且, (3.12)這里，是的基本因子的最大公約數的度。順便指出，(3.12)正是(3.8) 的解空間的維數，所以它也等于，其中。最后考慮總則非齊次矩陣方程(3.13)它等價于一個線性代數方程組, 所以 , , , 因此, 如果方程 (3.10) 是可解的, 它的解要么是唯一的, 要么是無限的, 通解是方程 (3.

31、8) 的通解和方程（3.10）的一些特定解。以下基本結果采用非建設性方法給出了方程（3.10）求解的充分必要條件。顯然，它等價于3.2.2矩陣方程不兼容相當于當 時，稱矩陣方程是不相容的，并且這個方程組是一個矛盾方程組。當矩陣方程不相容時，可以求出方程的最小二乘解一般來說，矛盾方程的最小二乘解不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小數的解是唯一的，稱為最小二乘解。為了求解上述矩陣方程的最小二乘解，需要以下兩個引理。引理 3.1被假定為線性方程組的最小二乘解。相反，令是的最小二乘解，則引理 3.2 ，讓我們有定理3.4如果矩陣方程不相容且滿足矩陣方程的最小二乘解滿足唯一的解決辦法是。拉直行向量，我們得到從而將