1、空間向量綜合復習(二)空間向量與平行關系、選擇題1. (2011 三明高二檢測)如果直線l的方向向量是a = (-2,0,1),且直線l上有一點P在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DA=2, DC=3, DD4,M,N,E,F分別是棱人且,。史的中點. 求證：平面AMN平面EFBD.不在平面a上，平面a的法向量是b = (2,0,4),那么()la(B)la (C)lu a(D)l 與a 斜交3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為AB1上的點，若Bf 平面PBD,求證:P為AB1的中點.(A) a p(B) a p (C) a、p相交但

2、不垂直(D)以上都不正確已知平面a內有一點M (1, -1, 2),平面a的一個法向量n = (6, -3, 6),則下列點P中，在平求證：在四棱錐P-ABCD中，AP求證：在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.面a 內的是()(A)P (2, 3, 3) (B)P (-2, 0, 1) (C)P (-4, 4, 0) (D)P (3, -4, 4)(2011 大連高二檢測)在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a, M、N分別 為&B、AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能確定設平面a的法向量為(1,2,-2),平面p的法向量為(-

3、2,-4,k),若a p，貝0k=()(A)2 (B)-4(C)4 (D)-21 5已知直線l的方向向量是n=(2,-1,3),平面p的法向量v=( - , r r ),4 12則直線l與平面P的位置關系是()(A)平行(B)垂直(C)相交(D)平行或l p 設a,b分別是不重合的直線 l2的方向向量，則根據下列條件能判斷Ll2的是()14=(5,1,0),b=(-2,-4,0);a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);a=(5,0,2),b=(0,1,0); TOC o 1-5 h z a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).(A)(B)(C)(D)二、填空題 HYPERLIN

4、K l bookmark20 o Current Document 1.若AB = XCD + pCE (入，M er)，則直線AB與平面CDE的位置關系為, 已知 A、B、C 三點的坐標分別為 A (4, 1, 3), B (2, -5, 1), C (3, 7,入)，若 AB 1 AC , 則入等于.(2012 成都高二檢測)若a=(2,1,-1),b=(-2,1,3),則與a,b均垂直的單位向量的坐標為.(2012 南平高二檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為BB1的中點,F為AD的中點，以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則平面D1EF的法向量

5、.1三、解答題1在正方體ABCD-&BRD中，點N在BD上，點M在Bf上，且CM=DN,求證：MN平面ABB.4.如圖所示，在直角梯形ABCP中，APBC, APAB, AB=BC=1 AP, D為AP的中點，E, F, G分 別為PC, PD, CB的中點，將 PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖所示.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，/ABC=60 ,PA平面 ABCD, PA=AC=a,PB=PD= J2 a,點 E 在 PD 上，且PE : ED=2 : 1.在 棱PC上是否存在一點F,使BF平面AEC?證明你的結論.6.如圖，已知菱形ABCD的邊長為6 , ZBAD

6、 = 60。, ACDBD = O .將菱形ABCD沿對角線AC折起，使BD = 3 1.【解析】選 B. a-b =(-2, 0, 1) - (2, 0, 4)=-4+0+4=0,AB AC =2-36-2入 +6=0,.入=-14.答案：-147.【證明】如圖所示，以D為坐標原點，DA, DC, DD1所在直線為x軸、y軸、 z軸建立空間直角坐標系，過N作NFXAB于F,過M作MEBB1于E,連接EF, 設正方體的棱長為a,DN=CM=b,2.【解析】選 A. vu = (1,2,-2), v =(-3,-6,6)2222 . AB與CD , CE共面.AB平面CDE,或ABu平面CDE.

7、R ( 3 , 3 , 4), S24.添=(1, 3,0),EF=(1, 3,0),AR = (-2 , 4,4), TS34), T(1,次).答案：AB平面CDE或ABu平面CDE6.【解析】AB = (-2, -6, -2), AC = (-1, 6,入-3)MN = EF,AR = TS ,又MN與EF、AR與TS不共線，.MNEF,ARTS.MN平面 EFBD, AR平面 EFBD,又 MNu平面 AMN, ARU平面 AMN, MNn AR=R,平面AMN平面EFBD.方法二：建系同方法一，3由方法一可知，A (2, 0, 0), M (1, 0, 4), N (2,4),3D

8、(0, 0, 0), E (0,4), F (1, 3, 4),2 ,33, 則 AM = (1, 0, 4), AN = (0, , 4), DE= (0, , 4), DF= (1, 3, 4).-X| + 4Z=0,即設平面AMN,平面EFBD的法向量分別為-X| + 4Z=0,即3/ 八y +4z = 0, 2i if n AM 3/ 八y +4z = 0, 2i in AN = O, TOC o 1-5 h z 22 1令=1，得乞彳5=3，11廣(1，一，彳)，fn DE = 0, 1 =-AE-AC22ABF. AE、AC 共面.又BF平面AEC,.BF平面AEC.知能鞏固提升（

9、二十五）/課后鞏固作業（二十五）一、選擇題（每小題4分，共16分）設平面a的法向量為（1,2,-2）,平面6的法向量為（-2,-4,k）,若a 6 ,則k=（(D)-2-4(D)-21 5巳知直線1的方向向量是n=(2,-l,3),平面3的法向量v=(-,占)，則直線1與平面3的位4 12置關系是()(A)平行(C)(A)平行(C)相交(B)垂直(D)平行或1 u p(2012 鄭州高二檢測)設a, b分別是不重合的直線L，七的方向向量，則根據下列條件能判斷L 1,的是()(D a=(-, l,0),b=(-2,-4, 0): a=(4, 6,-2), b= (-2,-3, 1): a=(5,

10、 0, 2),b=(0, 1,0); TOC o 1-5 h z 22定(-2, -1, 1), b= (4, -2, -8). (A)(B)(C)(D)(易錯題)在正方體ABCD-ABCDi中，棱長為a, M, N分別為AB, AC的中點，則MN與平面BBCC的位置關系是()1(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能確定二、填空題(每小題4分，共8分)co(2012 -成都高二檢測)若a= (2, 1,-1), b= (-2, 1, 3),則與a, b均垂直的單位向量的坐標為.(2012南平高二檢測)正方體ABCD-ABCDi的棱長為1, E為BB】的中點,F為AD的中點，以DA, DC,

11、DD為x軸、y軸、z揄建立空間直角坐標縈，則平面|/|/ HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 18141%EF的法向量是.土、解答題(每小題8分，共16分)在正方體ABCD-ABCDi中，P為AB】上的點，若Bf 平面PBD,求證:P為AB】的中點.在長方體 ABCD-ABCDi 中，DA=2, DC=3, DD=4, M, N, E, F 分別是棱 AD A Bf D Cf B 的中點.求證：平面 AMN/4 EFBD.【挑戰能力】(10分)如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ZABC=60 , PAL平面ABCD,pPA=AC=a, P

12、B=PD= 2 a,點 E 在 PD 上，且 PE ： ED=2 : 1.在棱 PC 上是否存在一點 F,使BF平面AEC?證明你的結論.D 答案解析【解析】選C.若兩個平面平行，則它們的法向量也平行,/. (-2, -4, k)=A (1,2, -2) = (A ,2A ,-2A ),.A =_2, k=_2A = (2) X (-2) =4.15L 解析】選 D. Vn v=2 X (- ) + (-1) X +3 X =0,n J_ v,1 / 3 或 1 u 0 .412【變式訓練】已知平面a內有一點平面a的一個法向量11=(6,-3,6),則下列四點中，在 平面a內的是()(A)N

13、(4,13, 6)N (-4, 5, 0)(B)N (-2,0, 1)N (6,-8,8)f2x + y- z = 0-2x + y+ 3z = 0f2x + y- z = 0-2x + y+ 3z = 0【解析】選A.由題意知MN n,即MN n=0, 設 N(x, y, z),則MN = (x-l, y+1, z-2), .6 (x-l)-3 (y+1) +6 (z-2) =0,即2x-y+2z=7,代入四個點N,N,N,N的坐標驗證可知選A.*1234【解題指南】本題為求解適合平行的充分條件，可逐一驗證，因此適用排除法.【解析】選 A.a二一! b, 1 1 ,排除 B、C,a=-2b,

14、1 1 ,故選 A.A1212【變式訓練】設U、v分別是不同的平面a ,8的法向量,根據下列條件能判斷a |3的是1U=(-1, 1, -2), v=(3, 2,;4u=(0, 0, 3),v=(0, 0, -2);u= (4, 2, -3), v= (1, 4, -2).【解析】判斷兩個法向量是否平行即可.Vu=kv的k值不存在，.u與v不平行;_3*/u= v, .uv,.a /p ;Vu=kv的k值不存在，.*.u與v不平行.答案：【解題指南】由正方體易建立空間直角坐標系，可選鳥或q為原點，求虬N的坐標是解題關鍵.【解析】選B.以C為原點，以。耳一、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間

15、直角1 11 11 1坐標系如圖，a a, a),J 乙a aM(a,),J而平面BBCCi的一個法向量為n=(0, 1, 0),NM . n=0.又 MN 二面 BBCC, .MN與平面BBCCi平行.n-a = 05.【解析】設與a, b都垂直的向量為此(x, y, z)，則L.b = o5.解得y = -z,取 解得y = -z,取 z=l,則 n=(l, -1, 1),所求單位向量nQ=J3 3 /3 后 H 嫗 7，）或.答案：（M，1【變式訓練】已知la ,且1的方向向量為（2,m, 1）,平面a的法向量為（1, -,2）,則m二1【解析】vl/a , .-.1的方向向量與平面a的

16、法向量垂直，.-.2Xl + -m+2Xl=0,解得H1=-8.答案：-8 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 11【解析】根據題意得 D/0, 0, 1),E(1, 1, -),F(-,0, 0), A HYPERLINK l bookmark137 o Current Document D F =(! , 0, 1), D E = (l, 1, i 2i2設平面D EF的法向量是n=(x, y, z),則:x = 2z3 , y = - z2 1x = 2z3 , y = - z2n-DF = x-z = Oi

17、21 ，解得n-DE = x + y- z = Oi2取 z=2k (k尹 0)，則 x=4k, y=-3k,.*.n=(4k,-3k, 2k) (k尹 0).答案:(4k, -3k, 2k) (k尹 0)【證明】以D為原點，分別以DA,DC,D%所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正 方體棱長為1,則：A(l,0, 0),B(l,1, l),C(0, 1,0).設 P(x, y, z),則PB =(1-x, 1-y, 1-z), AP = (x-1,/DB = (1, 1,0), DP = (X, y, z), BC = (-l,0,-l),BC 平面 PBD.BC =A DB+m DP(X ,m 為實數)成立, 即(-1, 0, -1)=A (1, 1, 0)+p (x, y, z).人+ |LIX = -1 X + |Liy = 0，解得:x-y=z|LIZ = -1又點P在直線AB】上，AP=A序(x-1, y, z)=A (1x, 1y, 1z)成立，x-l = X(l-x)3,3.則 AM = (1, 0, 4), AN = (0, , 4), DE = (0, , 4), DF=(1, 3, 4).(x , y , z222-x +4z 0,i i(x , y , z222-x +4z 0,i i即