1、空間力系第1頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五5.1 力在空間坐標軸上的投影 工程中常常遇到各力的作用線不在同一平面內的力系如圖所示的各種力系，統稱為空間力系。而當各力的作用線匯交于一點的力系又稱為空間匯交力系(圖(a)；各力的作用線彼此平行的力系稱為空間平行力系(圖(b)；各力的作用線在空間任意分布的力系稱為空間任意力系(圖(c)。它們是最一般的力系。空間力系的研究方法與平面力系基本相同。第2頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五一、力在空間的表示及在空間坐標軸上投影設空間力F作用于物體的0點，空間表示如圖所示第3頁，共52頁，2022年，5月20

2、日，12點24分，星期五 1 一次投影法 若已知力F與坐標軸間的方向角、，則力F在x、y、z三個坐標軸上的投影為(如圖(a)X=Fcos，Y=Fcos，Z=Fcos此為一次投影法，也叫直接投影法。 反過來若已知力F在三軸z、y、z上的投影X、Y、Z，也可求出力F的大小和方向，即第4頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 由直角坐標中矢量沿各坐標軸的分量與其在該軸上的投影的關系，則力F沿空間直角坐標軸分解表達式可表示為 式中，i、j、k為沿z、y、z三個坐標軸正向的單位矢量。Fx=Xi，Fy=YjFz=Zk，它們是力F沿三個方向的分量。第5頁，共52頁，2022年，5月20日

3、，12點24分，星期五例題力系中，F1=100N，F2=300N，F3=200N，各力作用線的位置如圖所示。試將力系向原點O 簡化。解 由題意得第6頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五第7頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 X=Fcoscos，Y=Fcossin， Z=Fsin此為二次投影法。注意:力在軸上的投影是代數量，而力在xy平面上的投 影F。是矢量，因為它也有大小和方向. 2 二次投影法 若已知力F與坐標軸間的仰角和俯角，則先將力F投影在xy平面和z軸上，然后將xy平面上的投影Fxy。再投影到x、Y軸上。即 第8頁，共52頁，2022年，5

4、月20日，12點24分，星期五5.2 力對軸的矩、力對點的矩與合力矩定理 一、力對軸的矩的概念及計算 平面內力對點的矩可以看成是空間物體繞通過O點且垂直于該平面的z軸轉動（如圖所示），所以平面內力對點的矩實際上就是空間的力對軸之矩。第9頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五符號規定（右手螺旋法則）兩種特殊情況：zodabABFxyFxy代數量第10頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五二、力對點的矩的概念及計算 在平面力系中力對點的矩和空間力對軸的矩都是用代數量表示，這是因為它們力與矩心所在的平面(力矩作用面)是固定不變的。 空間力對點的矩是一個矢量，用

5、m0(F)表示(如圖)。該矢量通過矩心0，垂直于力矩作用面。 方向：遵循右手規則即對著力矩矢看去，逆時針方向為正，順時針為負。大小:說明：力矩矢量為一定位矢量，當矩心的位置改變時，m0(F)的大小及方向也隨之而變。 矢量式: 力對于任一點的矩等于矩心至力的作用點的矢徑與該力的矢積。上式稱為力對于點的矩的失積表達式。第11頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五平面力對點之矩和空間力對點之矩的區別1.平面問題中，由于矩心與力矢均在同一個特定的平面內，因此力矩矢總是垂直于該平面，即力矩的方向不變、指向可用正、負號區別，是一個代數量。2.空間問題中，矩心與力矢不在同一平面內，力矩矢

6、垂直于矩心和力共同確定的平面，即力矩的方向隨矩心或力位置的不同而改變、指向可用正、負號區別，是一個矢量。第12頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五三、力對點的矩與力對通過該點軸的矩的關系 即：力對任意一點之矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于力對該軸之矩（力矩關系定理）。力F對于O點矩矢的大小為 力F對于通過O點的任一z軸的矩的大小為 由幾何關系可知 可得第13頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 應用力矩關系定理可以求出力對于坐標軸的矩的解析表達式。若以矩心D點為原點作坐標系0 xyz，力F及其作用點A的矢徑r可表示為 力F對于O點矩矢為 力F對于各

7、坐標軸的矩 第14頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五四、合力矩定理 與平面力系情況類似，在空間力系中也有合力矩定理， 空間力系的合力對某一軸的矩等于力系中所有備分力對同一軸的矩的代數和。 例5-1 已知力P=2000N，作用于曲柄的C點上(c點在Oxy平面內)，尺寸如圖所示。試求該力對圖示三個坐標軸的矩。 第15頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五解 首先將力P向z、y、z三個坐標軸分解，通過二次投影法，可求得力P在x、y、z三個坐標軸的分力為 Px=Pcos45sin60，Py=Pcos45cos60，Pz=Psin45 應用合力矩定理可得 第1

8、6頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例題水平圓盤的半徑為r，外緣C 處作用有已知力F。力F 位于鉛垂平面內，且與C處圓盤切線夾角為60，其他尺寸如圖a所示。求力F 對x，y，z 軸之矩。解 （1）方法1，如圖b所示，由已知得第17頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五（2）方法2第18頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五第19頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五5.3 空間匯交力系的合成與平衡 1) 幾何法 幾何法也是應用空間力多邊形法則。用空間力多邊形的封閉邊來表示空間匯交力系的合力，其合力的作用線通過力

9、系的匯交點，用矢量式表示為 2) 解析法 空間匯交力系F1，F2，Fn匯交于點O。以O為空間坐標系原點。各力分解表達式為 一、空間匯交力系的合成第20頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五代人式(5-11)后得 則有 這就是空間力系的合力投影定理即空間力系的臺力在某一軸上的投影等于力系中所有備力在同一軸上投影的代數和。 合力R的大小為 合力R的方向為 第21頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五二、空間匯交力系的平衡 由于空間匯交力系的合成結果為一合力，所以空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力為零，即 即空間匯交力系幾何法平衡的必要與充分條件

10、是：該力系的力多邊形自行封閉。 空間匯交力系解析法平衡的必要與充分條件是：該力系中所有各力在三個坐標軸中每一個坐標軸上投影的代數和等于零即 此式稱為空間匯交力系的平衡方程。 第22頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例5-2 重為P的物體由桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承(如圖)。桿AB在B處由鉸鏈與鉛垂面連接。巳知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，=45，不計桿重，求繩索的拉力和桿AB所受的力。解 取節點A為研究對象，作用于A點的力有重力P、繩索的拉力Tc與TD及桿的約束反力s(因不汁桿重，故桿AB為二力桿，s方向必沿桿AB的連線)。這些力

11、組成一空間匯交力系。選取坐標系Axyz如圖(b)所示，由 解得第23頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五為求Tc和TD，將各力投影在Axy水平面內，得一平面匯交力系(圖(c)，其中S是力s的投影，其大小為s=sin。對此投影力系列平衡方程 而解得第24頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例題空間構架由3 根無重直桿組成，在D 端用球鉸鏈連接，如圖a所示。A，B 和C 端則用球鉸鏈固定在水平地板上。如果掛在D 端的物重P=10kN，求鉸鏈A，B 和C 的約束力。第25頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五解 取節點 D 為研究對象，

12、設各桿受拉力，受力如圖b所示。在力系作用下平衡：又有解得第26頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例題在圖a所示起重機中，已知AB=BC=AD=AE；點A，B，D 和E 等均為球鉸鏈連接，如三角形ABC 的投影為AF 線，AF 與y 軸夾角為 。求鉛直支柱和各斜桿的內力。解（1）節點C 為研究對象，受力及坐標系如圖d所示，其中x 軸沿BC，y 軸鉛直向上。解得第27頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五(2) 節點B 為研究對象，受力及坐標系如圖b、c 所示解得第28頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五5.4 空間任意力系的平衡方

13、程與空間約束 1空間任意力系的平衡方程 設剛體上作用有空間任意力系F1，F2，Fn。(圖(a)，該力系既可能使剛體沿空間x、y、z三個軸方向移動，又可能使剛體繞空間x、y、z三個軸方向轉動。若剛體在該空間任意力系作用下保持平衡，則要求剛體既不能沿空間z、y、z三個軸移動，也不能繞空間x、y、z三個軸轉動(圖(b)。第29頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 若保證剛體沿x、y、z三個坐標軸方向都不移動。則必須要求此空間任意力系各力在z、y、z三個坐標軸中，每個軸上投影的代數和為零。同理若保證剛體不繞x、y、z 三個空間坐標軸轉動，也必須要求該空間任意力系各力對x、y、z三

14、個軸中每個軸的矩的代數和為零。即這就是空間任意力系平衡的必要與充分條件。 對于空間匯交力系，若選擇空間匯交力系的匯交點為坐標系0 xyz的原點（如圖），則由于各力與三個坐標軸x、y、z軸都相交，因此，不論此力系是否平衡，各力對三個坐標軸中每個軸的矩都恒為零，即第30頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五所以，空間匯交力系的平衡方程為 對于空間平行力系，假設力系中各力均與z軸平行(如圖)，則各力對z軸的矩必等于零，又由于平行于z軸的力在x、y軸上的投影必為零。所以有 因此，空間平行力系的平衡方程為 第31頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五2空間約束 第

15、32頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 例5-3 三輪起重機可簡化為圖所示，車身重G=100kN，重力通過E點(E點為A、B、C三個輪組成等邊三角形的中心)。巳知a=5m，b=3m，起吊物重P=20kN，且重力通過F點，FHA在一條直線上且垂直平分BC。設輪A、B、與地面為光滑接觸，求地面對起重機二個輪的約柬反力。 解 取起重機為研究對象，作用于起重機上的力有重力G與P，以及地面對三個輪的反力NA、NB、NC，這五個力組成一個空間平行的平衡力系，選坐標系Hxyz如圖所示，列空間平行力系的平衡方程：第33頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五由（2）式

16、得由（3）式得代入（1）式得 例5-4 車床主軸裝在軸承A與B 上(如圖)，其中A為向心推力軸承，B為向心軸承。圓柱直齒齒輪C的節圓半徑Rc=l00mm，在它的最下點與另一齒輪嚙合，且受力為Q。在軸的右端固定一半徑為RD=50mm的圓柱體工件，車刀給工件的切削力Px=466N，Py=352N，Pz=1400N，試求齒輪C所受的力Q和兩軸承A、B處的反力。 第34頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 解 選主軸連同齒輪C和工件一起為研究對象，受力如圖所示，共受九個力作用，是空間任意力系。 方法1：直接應用空問任意力系平衡方程求解。 選取坐標系Axyz如圖，列平衡方程，先列出

17、只含有一個未知數的平衡方程，使得每列一個方程就能解出一個未知數。由 解得由解得由解得第35頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五由解得由解得由解得第36頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五 方法2：將空間力系投影到三個坐標平面內，轉化為平面力系平衡問題來求解首先將圖中的空間任意力系投影到Axz平面，如圖(a)。由解得投影在Ayz平面，如圖(b)所示。由 解得由解得第37頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五由解得投影在Axy平面，如圖 (c)所示。由 由解得解得第38頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例題 圖

18、a所示空間桁架由桿1，2，3，4，5 和6 構成。在節點A上作用1個力F，此力在矩ABDC 平面內，且與鉛直線成45角。EAK =FBM 。等腰三角形EAK，FBM和NDB 在頂點A，B 和D 處均為直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10 kN，求各桿的內力。第39頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五解(1)節點A為研究對象，受力及坐標如圖b 所示解得第40頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五（2）節點B 為研究對象，受力如圖b所示解得第41頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五例題：均質長方形薄板，重量P=200N，角A由光

19、滑球鉸鏈固定，角B 處嵌入固定的光滑水平滑槽內，滑槽約束了角B在x，z方向的運動, EC為鋼索，將板支持在水平位置上, 試求板在A, B處的約束力及鋼索的拉力。ACDxyzEB4m2m2m第42頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五ACDxyzEB4m2m2m解：1.以板為對象畫出受力圖ACDxyzEB4m2m2mP2.列平衡方程第43頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五ACDxyzEB4m2m2mP第44頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五5.5 空間平行力系的中心與物體的重心 物體的重力就是地球對物體的引力，物體上每個微小部分

20、都受地球引力的作用，這些引力組成的力系是一個空間匯交力系（交于地球的中心）。由于物體的尺寸與地球的半徑相比小得多，因此可近似地認為這個力系是一空間平行力系，此平行力系的合力W，稱為物體的重力。通過實驗我們知道，無論物體怎樣放置，這些平行力的合力總是通過物體內的一個確定點（即平行力系的中心），這個點叫做物體的重心。 質心即物體的質量中心，只與物體的質量分布有關，與物體是否受引力作用無關。一般情況下，物體的質心與重心是相重合的。1.空間平行力系的中心和重心的概念 第45頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五均質物體薄板物體2.物體重心坐標公式合力矩定理形心：物體幾何形狀的中心。

21、對于均勻物體，與重心重合對y軸取矩對x軸取矩對x軸取矩一般物體第46頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五3. 物體重心的求法1. 組合法 它是將形狀比較復雜的物體分成幾個部分，這些部分形狀簡單，其重心位置容易確定，再根據重心坐標公式求出組合形體的重心。2. 對稱性法 具有對稱軸、對稱面、對稱中心物體，其重心一定在對稱軸、對稱面或對稱中心上。3. 負面積法 若在物體內切去一部分，要求剩余部分物體的重心時，仍可應用分割法，只是切去部分的面積（或體積）應取負值。第47頁，共52頁，2022年，5月20日，12點24分，星期五4. 實驗法（形狀復雜而不便于計算或非均質物體）（1）懸掛法：先將物體懸掛與任一點A, 根據二力平衡原理, 重心必在經過懸掛點的鉛直線上，在物體上畫出此線。然后再將物體懸掛與另一點B，同樣畫出另一直線，兩線的交點即為重心。（2）稱重法：先稱得重物的重量, 然后將其