1、一、集合1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第一章 函數、極限與連續第一節 函數記為：集合分類：集合表示：一、集合1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子集.子集：例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子2.區間 (數集) 開區間閉區間半開區間（有限區間）（無限區間）2.區間 (數集) 開區間閉區間半開區間（有限區間）（無限區3.鄰域:。3.鄰域:。二、映射、函數1.映射定義：設 X、Y 是兩個非空集合，若存在使對 X中每個元素 x ，按法則 f ，在

2、Y 中有唯一確定的元素 y 與之對應，一個法則 f ，則稱 f 為從 X到Y 的映射，其中 y 稱為元素x（在映射 f 下）的像，記為 f (x)集合 X 稱為映射 f 的定義域，集合 X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作 f ： XY 二、映射、函數1.映射定義：設 X、Y 是兩個非空集合，若存例1 設例2 設xyo定義：設 f 是從 X到Y 的映射，則稱 f 為滿射，若對X 中任意兩個不同的元素則稱 f 為單射。若 f 既為單射又為滿射，則稱 f 為單一一映射（雙射）。例1 設例2 設xyo定義：設 f 是從 X到Y 的定義 設數集 則稱映射記作 y= f(x)，為定義

3、在 D 上的函數，按對應法則 f ，總有確定的值 y與之對應，這個值 y稱為函數 f 在x 處的函數值，記作 f (x).注意：函數 f 是指自變量x與因變量y之間的對應關系。函數值 f (x)是x在對應關系f 作用下的值。習慣上常用記號：來表示定義在D上的函數。應理解為由它確定的的函數 f 。2.函數定義 設數集 則稱映射記作 y= f(x)，為定義在 D 定義域與對應法則.函數與表示自變量的字母無關函數的兩要素:定義:例5 指出下列函數是否相同，為什么？不同相同定義域與對應法則.函數與表示自變量的字母無關函數的兩要素:定x1-1yo (1) 符號函數幾個特殊的函數舉例 1 2 3 4 5

4、-2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(2) 取整函數 階梯曲線 y=x x表示不超過 x 的最大整數x1-1yo (1) 符號函數幾個特殊的函數舉例 1 有理數點無理數點1xyo(3) 狄利克雷函數在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.例如有理數點無理數點1xyo(3) 狄利克雷函數在自變量的3、函數的幾種特性（1）函數的有界性:設函數 f(x) 的定義域為D，定義：則稱函數 f(x) 在X上有界，否則稱無界。則稱函數 f(x) 在X上有上界。則稱函數 f(x) 在X上有下界。3、函數的幾種特性（1）函數的有界性:設函數 f(x)

5、 的定函數 f(x) 在X上有界的充要是： f(x) 在X上既有上界又有下界.證必要性（顯然）充分性 因為f(x) 在X上既有上界又有下界.取M = max |A| , |B| 則必有所以函數 f(x) 在X上有界。函數 f(x) 在X上有界的充要是： f(x) 在X上既有上例6 證明有界證有界例6 證明有界證有界（2）函數的單調性:xyo（或減少）xyo則稱y = f(x)在區間 I 上是嚴格單調增加 的.（2）函數的單調性:xyo（或減少）xyo則稱y = f(x（3）函數的奇偶性:偶函數yxox-x（或奇函數）yxox-x奇函數（3）函數的奇偶性:偶函數yxox-x（或奇函數）yxox-

6、例7 證明兩個奇函數的乘積是偶函數證設 f(x)、g(x)都是奇函數記 h(x)=f(x)g(x)故 h(x)是偶函數兩個偶函數的乘積是偶函數一個偶函數與一個奇函數的乘積是奇函數例7 證明兩個奇函數的乘積是偶函數證設 f(x)、g(x) 證明 定義在R上的任意函數，一個奇函數與一個偶函數之和。都可以表示為證奇函數偶函數 證明 定義在R上的任意函數，一個奇函數與一個偶函數之和（4）函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.設函數 f(x) 的定義域為D，如果存在一個正數l則稱 f(x) 為周期函數，l 稱為 f(x) 的周期。（4）函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周

7、期）4、反函數與復合函數（1）反函數定義：設函數 y = f(x)若對存在唯一的使 y = f(x)成立，則在 f(X)中定義了一個函數稱為 y = f(x)的反函數，例8 求的反函數解反函數4、反函數與復合函數（1）反函數定義：設函數 y = f(x定理1 設函數 y = f(x) 在X上嚴格單調增(減),則設 y = f(x) 必存在反函數且它在 f (X)上也是嚴格單調增(減).證使y = f(x)因為y = f(x) 在X上嚴格單調增矛盾使y = f(x)故反函數存在定理1 設函數 y = f(x) 在X上嚴格單調增(減),因為y = f(x) 在X上嚴格單調增矛盾嚴格單調增因為y =

8、 f(x) 在X上嚴格單調增矛盾嚴格單調增（2）復合函數定義:,函數u = g(x)設函數y = f(u)的定義域為 的定義域為D， 則稱函數y = f ( g(x)為由函數y = f(u)和u = g(x)構成的復合函數 若存在 定義域(-1,1)（2）復合函數定義:,函數u = g(x)設函數y = f(例9解綜上所述例9解綜上所述三、初等函數（1）冪函數（2）指數函數（3）對數函數三、初等函數（1）冪函數（2）指數函數（3）對數函數（4）三角函數（5）反三角函數 冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數. 由常數和基本初等函數,經過有限次四則運算和有限次函數的復合,的函數,稱為初等函數.所構成并可用一個式子表示（4）三角函數