1、 初中數學分類討論思想運用的案例分析 周務新【Key】初中數學 分類思想案例分析G A0450-9889（2016）02A-0073-02分類思想是基于對象本質屬性的異同，將數學研究對象根據一定的關系，合理劃分為不同的種類進行分類討論，再將討論的結果進行總結歸納，得出題目和要研究問題的答案。比較是分類討論的基礎，分類討論思想是深入研究問題的一種常用思想方法，需要在實踐應用中掌握解題思路與技巧，做到觸類旁通，舉一反三。在初中數學教學中，分類討論思想的運用較為廣泛，關于絕對值、有理數、與圓有關的位置關系等概念的分類，還有不等式、含有字母的方程相關解題方法的分類，圖形位置關系、等腰三角形頂點不確定問

2、題的分類等。本文就幾個重要的分類思路與解題策略進行討論分析。一、坐標與圖形分類問題分類討論思想的運用中，坐標與圖形分類的運用較多，大多將重點集中在坐標系中各類圖形的變換方式，將坐標與矩形、三角形、拋物線、雙曲線等圖形相結合，綜合考查這些圖形的基本性質在坐標系下的運用，增加了題型的難度與變化程度，也重點強調了對學生想象力的培養。例1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，3），M為坐標軸上一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數有幾個？【解答】本題考查等腰三角形的判定、坐標與圖形性質、數形結合、分類討論等相關知識，通過數形結合，畫圖分析，了解到滿足條件的M的個數有6個

3、。例2：在平面直角坐標系中，已知點E（-4，2），F（-2，-2），以原點O為位似中心，相似比為2，把EFO縮小，則點E的對應點E的坐標是？【解答】本題考查位似變換、坐標與圖形性質、操作題、分類討論等相關知識。根據題意畫出相應的圖形，可以分析出點E的對應點E的坐標是（-2，1）或（2，-1）。例3：（如圖1）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為？【解答】當ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：（1）PD=OD=5，點P在點D的左側，計算出P的坐標為

4、（2，4）;（2）P在D的左側，OP=OD=5，計算出P的坐標為（3，4）;（3）PD=OD=5，點P在點D的右側，計算出P的坐標為（8，4）。【分析】本題考查矩形的性質、坐標與圖形性質、等腰三角形的性質、勾股定理等動點型相關知識，需要運用到分類討論的思想進行解答。P是一個不確定的點，在矩形與等腰三角形性質下，有三種不同的位置，再運用勾股定理，可以解答出P點的坐標。二、等腰三角形分類問題等腰三角形分類問題屬于分類討論中經常考查的一類問題，中考考查頻率高。常會涉及腰長與底邊長的確定、底角與頂角的確定等。較為復雜的是與圓、坐標等結合起來進行綜合考查，綜合題型較為復雜，學生要把握等腰三角形性質的核心

5、，有效變通。例4：若（a-1）2+|b-2|=0，則以a、b為邊長的等腰三角形周長為多少？【解答】先根據非負數性質求解出a與b的結果，得出a=1，b=2。再結合三角形三邊的關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得出腰只能為2，底只能為1，所以，周長為2+2+1=5。【分析】本題考查等腰三角形的性質、非負數的性質絕對值、非負數的性質偶次方、三角形三邊關系的相關知識，需要運用到分類討論思想，進行結果的分類討論與說明。難點在于討論求解的思路。例5：等腰三角形的一個角是80，則它頂角的度數是多少？【解答】80角是頂角時，三角形的頂角為80，80角是底角時，頂角為180-802=20。綜上，該等

6、腰三角形頂角的度數為80或20。【分析】本題考查等腰三角形兩個底角相等，兩腰長度相等，再結合三角形基本性質，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，就能得出問題的答案。三、動點型分類討論問題動點型分類討論問題一般是中考題型中的壓軸題，也是學生較為頭疼的問題。解決這類問題需要牢固掌握基礎知識，綜合運用三角形、圓形、坐標系、運動理論等相關知識，找準問題的關鍵，把握變化量及運動要素，有效解決問題。例6：射線QN與等邊ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，3cm為半徑的圓與A

7、BC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值。【解答】結合切線的性質、等邊三角形的性質相關知識，已知ABC為等邊三角形，AM=MB=2cm，在沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動的過程中，會有3種切線情況，分別如下圖2、圖3、圖4。運用切線性質中直角三角形的勾股定理、等邊三角形的相關知識，以及運動中速度、時間與路程的關系，得出圖2中t=2，圖3中t=3與t=7，圖4中t=8。由分類討論，總結得出答案為t=2或3t7或t=8。【分析】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，勾股定理，含30角的直角三角形性質，切線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行計算的能力，注意要進行分類討論，將分

8、類討論的結果進行總結歸納，得出正確結果，還需要進行再次檢驗，以求結果的準確性，提高解題效果。對于動點型分類討論，重要是進行分類思想與方法的運用，全面考慮每種情況，并驗證其正確性，再進行分類計算，總結出最后的結果，確保結果的全面、準確、有效。四、圖形的拼接分類討論在幾何圖形的拼接過程中，也運用到了分類討論思想，拼接問題需要注意拼接的合理性，要從角度、長度進行配合，不能隨意拼接，觀察拼接后想要的圖形，再整體規劃拼接前的切線，找到切線，計算各部分線段的長度，再計算面積、周長等。例7：如圖，有一張一個角為30，最小邊長為2的直角三角形紙片，沿圖中所示中位線剪開后，將兩部分拼成一個四邊形，所得四邊形的周

9、長是多少？【解答】根據三角函數可以計算出BC=4，AC=23，再根據中位線的性質可得CD=AD=3，CF=BF=2，DF=1，然后拼圖，出現兩種情況，如圖5與圖6，一種是拼成一個矩形，另一種拼成一個平行四邊形，進而算出周長即可。結合計算得出，所得四邊形的周長是8或4+23。【分析】這道題主要考查了圖形的剪拼，關鍵是根據條件畫出圖形，要考慮全面。實施分類討論，采取數形結合的方法，全面分類與總結歸納。【總結】對于該類型問題的分析，需要畫出圖形，運用數形結合的方法，再加上空間想象能力的運用，有效實施分類討論，得出正確結果。總之，分類討論思想的應用非常廣泛，需要深入到問題本質，展開思想方法的研究，發現數學本質屬性的相同點與不同點，將研究對象有效分類。基于不遺漏、不重復的原則，展開