1、1.1.1 集合的概念與表示 漁民與數(shù)學(xué)家的故事 一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家:“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么?”集合是不加定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民. 有一天，他來(lái)到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚(yú)在網(wǎng)中跳動(dòng)數(shù)學(xué)家非常激動(dòng)，高興地告訴漁民:“這就是集合!”問(wèn)題l:數(shù)學(xué)家說(shuō)的集合是指什么?問(wèn)題2:網(wǎng)中的“大魚(yú)”能構(gòu)成集合嗎? 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，創(chuàng)始者是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾.康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無(wú)窮集和超窮數(shù)的興趣.康托爾肯定了無(wú)窮數(shù)的存在，并對(duì)無(wú)窮問(wèn)題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展

2、打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 精講1 集合的概念問(wèn)題1 初中我們接觸了哪些集合?答案 (1)數(shù)集：自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合，.(2)點(diǎn)集：圓(同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合)，線段的垂直平分線(到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合)，.問(wèn)題2 所有的“美景”能否構(gòu)成集合?1.一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫作集合.2.集合與元素的符號(hào)語(yǔ)言：通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，表示集合，小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，表示元素.答案 不能構(gòu)成集合.常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N+ZQR3.常用的數(shù)集及其記法抽象概括學(xué)以致用【方法指導(dǎo)】根據(jù)集合的定

3、義判斷.D不能能能不能【方法小結(jié)】判斷每個(gè)元素是否具有確定性是判斷其能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵，而判斷一個(gè)元素是不是確定的，關(guān)鍵就是要找到一個(gè)明確的衡量標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性.學(xué)以致用D不能能能不能【針對(duì)訓(xùn)練】1.下列元素的全體不能組成集合的是().A.中國(guó)古代四大發(fā)明B.地球上的小河流C.方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解D.周長(zhǎng)為10 cm的三角形【解析】因?yàn)闆](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流，所以地球上的小河流不能組成集合.2.給出下列說(shuō)法：集合N與集合N*是同一個(gè)集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合N中的元素；集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正

4、確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是.【解析】由數(shù)集的性質(zhì)知錯(cuò)誤，正確.2B精講2 集合的表示方法開(kāi)學(xué)第一天學(xué)習(xí)了集合，老師布置了一道作業(yè)：把所有滿足不等式3x-12x+9的正整數(shù)用集合表示.結(jié)果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學(xué)的答案如下：姓名答案王浩宇1，2，3，4，5，6，7，8，9李琦x|x9，xN*張瑜x9，xN*謝芳xN*|x9答案 正確，他是先解不等式，再找出正整數(shù)解，最后用列舉法表示.問(wèn)題1 王浩宇的答案是否正確?他用了什么方法表示?精講2 集合的表示方法開(kāi)學(xué)第一天學(xué)習(xí)了集合，老師布置了一道作業(yè)：把所有滿足不等式3x-12x+9的正整數(shù)用集合表示.結(jié)果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學(xué)的答案如下：姓名答

5、案王浩宇1，2，3，4，5，6，7，8，9李琦x|x9，xN*張瑜x9，xN*謝芳xN*|x9問(wèn)題2 小組討論李琦、張瑜、謝芳三位同學(xué)的答案有幾個(gè)是正確的?答案 李琦和謝芳的答案都是正確的，用描述法要注意花括號(hào)內(nèi)用一豎杠分開(kāi)，豎杠左邊的是元素，豎杠右邊的是元素滿足的條件.問(wèn)題3 任何一個(gè)集合是否既能用列舉法也能用描述法表示?若不能，舉例說(shuō)明.答案 不一定，一般有有限個(gè)元素的集合或有無(wú)限個(gè)元素且元素之間有明顯規(guī)律的集合可用列舉法表示，而有無(wú)限個(gè)元素且元素間無(wú)規(guī)律可循的集合不能用列舉法表示，如不等式3x-12x+8的解組成的集合只能用描述法表示為x|x9.集合常用的表示法(1)列舉法：在花括號(hào)內(nèi)把

6、集合的所有元素一一列舉出來(lái)，特點(diǎn)是適用于元素的個(gè)數(shù)較少的集合.(2)描述法：用集合中元素的屬性表示集合，其一般形式是x|x所具有的屬性.抽象概括學(xué)以致用學(xué)以致用【方法小結(jié)】用列舉法描述集合時(shí)要注意元素的不重不漏，不計(jì)次序，且元素與元素之間用“，”隔開(kāi).用描述法表示集合時(shí)，常用的模式是x|p(x)，其中x代表集合中的元素，p(x)為集合中元素所具備的共同特征.要注意豎線不能省略，同時(shí)表達(dá)要力求簡(jiǎn)練、明確.2.已知集合A=x|ax2-3x-4=0，xR，若集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合.精講3 元素與集合的關(guān)系把高一年級(jí)所有的同學(xué)組成的集合記為A， a是高一(7)班的同學(xué)，b是高二(7)班

7、的同學(xué).問(wèn)題1請(qǐng)問(wèn)a與A，b與A之間各自有什么關(guān)系?答案aA，bA.問(wèn)題2由2，3，4，5，|-3|構(gòu)成的集合里是不是有5個(gè)元素?答案由2，3，4，5，|-3|構(gòu)成的集合表示為M=2，3，4，5，只有4個(gè)元素.問(wèn)題3問(wèn)題2中|-3|在集合M中嗎?-3在集合M中嗎?答案因?yàn)閨-3|=3，所以|-3|在集合M中；集合M中沒(méi)有-3，所以-3不在集合M中.1.集合中元素的三要素確定性：判斷每個(gè)對(duì)象是否具有確定性是判斷其能否組成集合的關(guān)鍵，而判斷一個(gè)對(duì)象是不是確定的，關(guān)鍵就是要找到一個(gè)明確的衡量標(biāo)準(zhǔn).互異性：集合中的任何兩個(gè)元素都是不相同的.無(wú)序性：在用列舉法表示集合時(shí)，元素的排列順序沒(méi)有關(guān)系，例如，集

8、合1，2，3同時(shí)也可以寫(xiě)成3，2，1和2，1，3.抽象概括2.元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作aA.3.含有有限個(gè)元素的集合叫作有限集；含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫作無(wú)限集；不含任何元素的集合叫作空集，記作.抽象概括學(xué)以致用【方法指導(dǎo)】根據(jù)元素與集合關(guān)系的定義判斷.學(xué)以致用【針對(duì)訓(xùn)練】已知集合A=a+1，a2-1，若0A，則實(shí)數(shù)a的值為.【解析】0A，0=a+1或0=a2-1.當(dāng)0=a+1時(shí)，a=-1，此時(shí)a2-1=0，A中元素重復(fù)，不符合題意.當(dāng)a2-1=0時(shí)，a=1或a=-1(舍去)，a=1，此時(shí)，A=2，0

9、，符合題意.1【方法小結(jié)】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法：(1)直接法，若集合中的元素是直接給出的，則只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法，對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.精講4 區(qū)間問(wèn)題1間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎?問(wèn)題2 “”是數(shù)嗎?如何正確使用“”?答案不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合0就不能用區(qū)間表示.答案“”讀作“無(wú)窮大”，是一個(gè)符號(hào)，不是數(shù).以“-”或“+”作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào).抽象概括區(qū)間的定義、名稱、符號(hào)及數(shù)軸表示如下表：抽象概括特

10、別提醒：(1)“”讀作無(wú)窮大，是一個(gè)符號(hào)，不是數(shù)，以-或+作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào).(2)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)必須保證左小、右大.【例4】若a，3a-1為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是 .學(xué)以致用【針對(duì)訓(xùn)練】用區(qū)間表示下列數(shù)集：(1)x|x1=；(2)x|20且y0，故集合可表示為(x，y)|x0，y0.(2)令y=0，則x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為(-1，0)，(3，0)，故采用列舉法表示為(-1，0)，(3，0).(3)觀察圖象，可知陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足條件1x6且1y4，故集合可表

11、示為(x，y)|1x6，1y4.1.知識(shí)圖譜：2.數(shù)學(xué)思想、學(xué)科素養(yǎng)：分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理；3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性.1.下列各組對(duì)象可以組成集合的是().A.數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題 B.小于8的所有素?cái)?shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D.所有小的正數(shù)2.已知集合A=2，4，x2-x，若6A，則x=().A.-2B.3C.6D.-2或33.集合x(chóng)|x-2用區(qū)間可表示為().A.(-，-2 B.(-，-2) C.-2，-) D.(-2，-)4.已知集合M=m|m=2k，kZ，P=x|x=2k+1，kZ，Q=y|y=4k+1，kZ，若xP，yQ，則x+

12、yM.(填“”或“”)5.已知A=a-2，a2+4a，10，若-3A，求a的值.1.下列各組對(duì)象可以組成集合的是().A.數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題 B.小于8的所有素?cái)?shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D.所有小的正數(shù)【解析】A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B能構(gòu)成集合；C中“一些點(diǎn)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，不能構(gòu)成集合；D中“小”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不能構(gòu)成集合.2.已知集合A=2，4，x2-x，若6A，則x=().A.-2B.3C.6D.-2或3【解析】若6A，則x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.BD3.集合x(chóng)|x-2用區(qū)間可表示為().A.(-，-2 B.(-，-2) C.-2，-) D.(-2，-)【解析】x|x-2表示小于或等于-2的數(shù)組成的集合，即用區(qū)間表示為(-，-2.4.已知集合M=m|m=2k，kZ，P=x|x=2k+1，kZ，Q=y|y=4k+1，kZ，若xP，yQ，則x+yM.(填“”或“”)【解析】根據(jù)集合的表示方法，首先弄清集合中元素的特征.由題意知M是偶數(shù)集，P是奇數(shù)集，Q中元素一