1、北京大學數學學院期末試題 20102011學年第二學期考試科目 高等代數II 考試時間 2011年6月15日姓 名 學 號 判斷對錯, 正確的請給出簡要證明, 錯誤的舉出反例. （24分）只要A是冪零矩陣, 就有 | I + A | = 1 .正確. A可寫成 U J U-1的形式, J是A的Jordan 標準型. 由于A冪零, J的對角元都是0 . 于是 | I + A | = | I + U J U-1 | = | I + J | = 1 .設 F 5是包含5個元素的有限域, A為F 5上的方陣.若A滿足3 A 3 + A 2 + 2A = I , 則A可以在F 5上對角化.正確. 由于A

2、的最小多項式m ( x )是 x 3+ 2x 2 x 2 = ( x + 2)( x 2 1 ) = ( x + 2)( x + 1 ) ( x 1 )的因式, m ( x )是F 5上不同的一次因式的乘積. A可對角化.若線性變換 A 滿足 Ker A Im A = 0 , 則A 2 = A .不正確.例如, R上的線性變換 a a2a 即不滿足此命題. 若A是實矩陣, 滿足 AT = A , 則 I + A 一定可逆.正確.反對稱實矩陣的特征值都是純虛數或0, 不可能是 1 .填空題（20分）在 R x 1 , x 2 , x 3 中, 由全體 10次齊次多項式和零多項式構成的實線性空間的

3、維數是_; 其中由全體 10次齊次對稱多項式和零多項式構成的線性子空間的維數是_14_.已知 1 , 2 , 3 , 4是歐氏空間R4的標準正交基, 其中 1 = 1 0 0 0 T , 2 = 0 0 1 0 T , 且 3 與 1 1 1 1 T 的夾角為45 , 則 4 =_.3) 以下諸矩陣的相似等價類的分類為 A , C , B , D _., , 三（10分）已知 R3 上的對稱雙線性函數 f ( a , b ) 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩陣為 .1) 判斷 f ( a , b ) 能否構成R3 上的內積;2) 求基底 b1 , b2 , b3 , 使得 f 在此基下的

4、度量矩陣是對角矩陣. 解: 1) 由于 但 f ( a , b ) 不構成內積;2) 對以下矩陣做成對的行列變換, 得 于是, 在新基底 下, f 的度量矩陣是 .四（24分）已知 A是實線性空間 V上的線性變換, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩陣為 A = . 1) 求A 的特征多項式與最小多項式 ;2) 求 V 的根子空間分解, 寫出每個根子空間的基底;3) 求 V 的一組基, 使得A的矩陣為 Jordan 標準型.解: 1) A 的特征多項式為 注意到 A - 2I = 的秩 = 3, ker( A - 2I )的維數 = 1 ; ( A - 2I ) 2 = 的秩 = 2

5、, ker( A - 2I ) 2的維數 = 2 ;( A - 2I ) 3 = 的秩 = 1, ker( A - 2I ) 3的維數 = 3 .于是有 ker( A - 2I ) ker( A - 2I ) 2 ker( A - 2I ) 3 = ker( A - 2I ) 4 = . . .故 A 的最小多項式為 . 2) 全空間可以分解為根子空間的直和: V = Ker( A - 2I ) 3 Ker( A - I ) .由以上計算可知 ( A - 2I ) 3 1 = 0, 但 ( A - 2I ) 2 1 = 3 0 .于是 1 , ( A - 2I ) 1 = 1 + 3 4 ,

6、( A - 2I ) 2 1 = 3 是根子空間 Ker( A - 2I ) 3 的一組基底.另一方面, 對矩陣A I 做初等行變換, 得A - I = ( A I ) X = 0 解的公式為 , x 4是自由變量.( A I ) 的解空間為 , 于是 2 4 是根子空間 Ker( A - I ) 的一組基底. 由以上討論可知, 在基底 ( A - 2I ) 2 1 , ( A - 2I ) 1 , 1 , 2 4下, A的矩陣為Jordan 標準型 . 由 (A - 2I ) 2 1 ,(A - 2I ) 1 , 1 , 2 4 = 1 , 2 , 3 , 4 可知五（12分）設b1 , b

7、2 , b3 與 1 , 2 , 3分別是矩陣 B = 與 C = 的列向量. 求歐氏空間R2上的線性變換A (寫出標準基下的矩陣), 使得 取到最小值.解: 記線性變換A在標準基下的矩陣為 A = , 記 bi = , i = , . 則=+ . (*)欲求A , 使得(*)式取到最小值, 只需分別求 a , b與 c , d , 使得等號右邊的兩個求和式各取到最小值. 注意到右邊第一個求和式取最小值當且僅當 是 在子空間 上的正交投影, 即 a, b T是方程組 的解. 解此方程組, 得 取到的最小值為 類似地, (*)式右邊第二個和式取最小值當且僅當 是 在 上的正交投影, 即 c, d

8、 T是方程組 的解. 解此方程組得 取到的最小值為 0. 于是, 當A在標準基下的矩陣為 A = 時, 取到最小值 1/3 .六 設A是歐氏空間Rn上的正交變換. 證明:1)（3分）A的每個復特征值 都滿足 | | = 1 ;2)（7分）Rn 可分解成有限個1維與2維A -子空間的直和.證: 設A在歐氏空間Rn的一組標準正交基下的矩陣為A . 則A是正交矩陣且與A有相同的(復)特征值. 以下對矩陣A進行討論.1) 設 是A的一個復特征值, 是相應的復特征向量. 由 A = , 可得 . 于是 . 注意到A是正交矩陣且 0, 我們有 | | = 1 .2) 對歐氏空間的維數應用數學歸納法:當 n

9、 = 1或2時命題顯然成立. 設命題對維數 n 的歐氏空間成立, 以下考察n 維歐氏空間的情況.設 是A的一個復特征值. 若 是實數, 則 = 1. 設V1 = , 是 的一個實特征向量. 對任意b V1, 有 ( Ab , ) = ( Ab , A ) = ( b , ) = 0 , 于是A b V1. 注意到線性變換 A 限制在不變子空間V1 上, 是歐氏空間V1上的正交變換. 由歸納假設, V1可分解為 1維與2維A -子空間的直和. 于是Rn = V1 V1也可分解為1維與2維A -子空間的直和.以下設 = u + i v 不是實數( u, v R, v 0), 設1 + i 2是 的復特征向量 ( 1, 2 Rn ). 由A ( 1 + i 2 ) = ( u + i v ) ( 1 + i 2 ) = ( u 1 v 2 ) + i ( v 1 + u 2 )得 A 1 = u 1 v 2, A 2 = v 1 + u 2 . 于是V2