1、電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二五格林函數(shù)第1頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五2第2頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五3第3頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五4如何借助于有關(guān)點(diǎn)電荷的較簡單的邊值問題解決較復(fù)雜的邊值問題。為此，我們先說明點(diǎn)電荷密度的數(shù)學(xué)表示，然后利用格林公式把一般邊值問題和有關(guān)點(diǎn)電荷的相應(yīng)問題聯(lián)系起來。 本節(jié)研究的問題：第4頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五5給定V內(nèi)電荷分布和V的邊界S上各點(diǎn)的電勢(shì)|s 給定V內(nèi)電荷分布和電場法向分量/n|s 第一類邊值問題 ：第二類邊值問題 ：第5頁，共44頁，202

2、2年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五6一、點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示函數(shù)定義處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度用函數(shù)(xx)表示則有第6頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五7函數(shù)有如下重要性質(zhì)：同樣，若V包括x點(diǎn)在內(nèi)，而f(x)在x=x點(diǎn)附近連續(xù)，由函數(shù)定義可推出若f(x)為在原點(diǎn)附近的連續(xù)函數(shù)，V包括原點(diǎn)在內(nèi)，有第7頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五8二、格林函數(shù)一個(gè)處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢(shì)滿泊松方程及邊界條件 泊松方程的解第一類邊值問題的格林函數(shù)第8頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五9一個(gè)處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢(shì)滿足泊

3、松方程 第二類邊值問題的格林函數(shù)第9頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五10格林函數(shù)所滿足的微分方程為場點(diǎn)的位置矢徑， 為源點(diǎn)的位置矢徑是對(duì) 的微分算符。第10頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五11（1）無界空間的格林函數(shù)。在x點(diǎn)上一個(gè)單位點(diǎn)電荷在無界空間中激發(fā)的電勢(shì)為因此，無界空間的格林函數(shù)為上節(jié)中我們實(shí)際上已求出一些區(qū)域的格林函數(shù)。現(xiàn)列舉幾種區(qū)域的格林函數(shù)為例。第11頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五12一個(gè)無界空間處于x點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢(shì)滿泊松方程第12頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五13第

4、13頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五14第14頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五15第15頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五16第16頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五17第17頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五18第18頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五19（2）上半空間的格林函數(shù)。當(dāng)Q1時(shí)，由上節(jié)例1可得上半空間第一類邊值問題的格林函數(shù)。 以導(dǎo)體平面上任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z,) ，場點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，上半空間格林函數(shù)為 第

5、19頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五20（3）球外空間的格林函數(shù)。當(dāng)Q1時(shí)，由上節(jié)例2可得球外空間的格林函數(shù)。 以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)電荷所在點(diǎn)P的坐標(biāo)為R，場點(diǎn)P的坐標(biāo)為P第20頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五21上節(jié)例2中a對(duì)應(yīng)于R，b對(duì)應(yīng)于R02/R，鏡象電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為第21頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五22作一定代換后，球外空間格林函數(shù)為第22頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五23三、格林公式和邊值問題的解第23頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五24第24頁，共44

6、頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五25第25頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五26第26頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五27第27頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五28第28頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五29第29頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五30第30頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五31第31頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五32第32頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五33由這公式，只要知道格林

7、函數(shù)G(x,x) ，在給定邊界上的|s值情形下就可算出區(qū)域內(nèi)的(x) ，因而第一類邊值問題完全解決。第33頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五34第34頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五35其中s是電勢(shì)在界面S上的平均值。第35頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五36第36頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五37第37頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五38例 在無窮大導(dǎo)體平面上有半徑為a的圓，圓內(nèi)和圓外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓內(nèi)電勢(shì)為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢(shì)為0，求上半空間的電勢(shì)。 第38頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五39第39頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五40先計(jì)算格林函數(shù)的法向?qū)?shù) 第40頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五41第41頁，共44頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五42由于S上只有圓內(nèi)部分電勢(shì)不為零，所以只需對(duì)ra積分