1、附注：若lim f (x) lim g(x) 都存在，且0 x:x1g(x),附注：若lim f (x) lim g(x) 都存在，且0 x:x1g(x),limf(x)limg(x) fx x 證明：設(shè)lim f(x)A，lim g(x)B, 用反lim g(x)B假設(shè) limf(x)x f (x)g(x)lim f(x)x limg(x)x AB0由函數(shù)的局部保號(hào)性知20 xU(x0,2有f(xg(x0,f(x0=min U(x ,f(x) g(x),0,x1200但事實(shí)上當(dāng)xU(x0)，應(yīng)有f(x) g(x),得limf(x)limg(x) 注意：若limf(x)limg(x) 注意：若

2、fg(x) x x 說明定理1可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情.lim f(x) Alimglim f(x) Alimg(x) B, 2limf(x)g(x)lim f(x) limg(x) 利用極限與無窮小關(guān)系定理證明提示說明2可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情.limC f(x)Clim flimf(x)n lim f(x)C為常n為正定理 3 . 若lim f(x Alimg(x) BB0f(x)lim fAg(x)lim定理 3 . 若lim f(x Alimg(x) BB0f(x)lim fAg(x)limg(x)Blimf(x)A,limg(x)B證有f(x) A, g(xB f(x)A A

3、 A 1B(B(B A設(shè)Bg(x)BBAf(x)因此 為無窮小g(x),Blim f(x) Alim f由極限與無窮小關(guān)系定g(x)Blim g(x)ABAfAABB(B)g(x)BB0,A又0,x1212BB,ABAfAABB(B)g(x)BB0,A又0,x1212BB,BBBB21 B2,212),)二、求極限方法舉x.例3xxxlimx二、求極限方法舉x.例3xxxlimxlim3xlim解 lim(x2 3xxxxx(limx)2 3limxlimxxx 22 32 5 3 limx3 limx7xlim(x2 3xx3xx33n 小結(jié)設(shè)n次多項(xiàng)式(x)n 小結(jié)設(shè)n次多項(xiàng)式(x)x試證

4、明im Pn Pn (x0 anlim證明m n (x)a1limPn (x0 P(x)其中P(x), Q(x)多項(xiàng)式,若Q(x0 0試證: limP(x)其中P(x), Q(x)多項(xiàng)式,若Q(x0 0試證: limR(x)R(x0 ) lim P(x) P(x0) R(x lim R(x)證0lim Q(x)Q(x 0說明: 若Q(x0) 0,不能直接用商的運(yùn)算法(x3)(x1) lim x1 24x例xx3(x 3)(x63x304x.例2 2xxx 24x.例2 2xxx 2x3) lim(x解商的法則不能x又lim(4x1) 3 2x3 0 2lim 4x3x由無窮小與無窮大的關(guān)系,4

5、x x2xxx.例 2xxxx 時(shí),分子,分母的極限都是零解x.例 2xxxx 時(shí),分子,分母的極限都是零解(x1)(xx x2xx1 (x 3)(x2lim x 12(消去零因子法x x3532lim2例4x2 7xxx 3532lim2例4x2 7xxx 時(shí), 分子,分母的極限都是無窮大解先用x3,分出無窮小,再求極限2 3 x5lim 2x3x2 5 7x.x4x17432x7x(無窮小因子分出法當(dāng)a0 0b0 0m和n小結(jié),當(dāng)n當(dāng)a0 0b0 0m和n小結(jié),當(dāng)n 0 xmaxma 0,當(dāng)n xxnb xn1b,當(dāng)n 01nlim( n 2例n時(shí),先變形再求極限解lim( n )lim(

6、 n 2例n時(shí),先變形再求極限解lim( n ) lim1221n(n limlim1(1 1) 1n2n lim 10 x確定ab 11 解 0 x1axlim 10 x確定ab 11 解 0 x1ax xxxx x2xb1a a1b x2 x1ax)x2 x1 limxlimx 1 21xx1fx) 1 x ,lim ffx) 1 x ,lim f例x 2xx0是函數(shù)的分段點(diǎn),解lim f(x) lim(1 x y1xxlim f(x) xlim(x2 1) xy11o左右極限存在且相等xlim fx) x三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法xa,且x滿足x(x)a又lim fA三、 復(fù)合函數(shù)的極限

7、運(yùn)算法xa,且x滿足x(x)a又lim fAf (x)Afualim f0,0,證時(shí),fA0,0(x)a0,對(duì)上2(x)ax2時(shí)時(shí)1取x20auafA故fA,說明:若定理中(x)則類x說明:若定理中(x)則類xlim f(x)ufx例8.xu 解x例8.xu 解16limu 已16u 原式u 666lim x例9.x limu u x, 令解lim x例9.x limu u x, 令解ux1 uxulim(u1)xlim(xx 1) x 1)xx 1cos求極。sinlimcosx分lim(1cosx)1cos求極。sinlimcosx分lim(1cosx)1cosx0則1cosx0，又lim

8、sinx0，因此不能直接運(yùn)極限的四則運(yùn)算法則（0 0 x0 ，故可限定0 x2所以sinxx。，1cos11 2原式 。sin2 1cos11三、小極限的三、小極限的四則運(yùn)算法則及其推論極限求法 c.無窮小因子分出法求極限e.利用左右極限求分段函數(shù)極限3.思考在某思考在某個(gè)過程中f x) 有極限g(無極限，那么fxgx)是否有極限？為思考題解沒有極限假設(shè)思考題解沒有極限假設(shè)fxgx有極限 fx)有極限，g(x)f(x) g(x)必有極限f(與已，故假設(shè)錯(cuò)誤練習(xí)題一、填空題3 xxx.x 33練習(xí)題一、填空題3 xxx.x 33lim(1 1)(211).lim(n1)(n2)(n 3) 4.5limx2sin1 .xcos6.ex e2x2 x 4lim47.3x2 2lim (2x2x2 x 4lim47.3x2 2lim (2x3)20(3x8.、(2x二、求下列各極限lim(11 11 24(xh)2 x2h133)1 1 x1 x 23lim xx1 x 23lim xxx x2xx xmxnxn x練習(xí)41 57、12練習(xí)41 57、127、m