1、無限重復完全信息博弈的例子 【篇一：無限重復完全信息博弈的例子】四完全信息重復博弈（完整版）博弈博弈完全信息重復博弈【故事1:笑林廣記有一個人去理發鋪剃頭， 剃頭匠給他剃得很草率。剃完后，這人卻付給剃頭匠雙倍的錢，什 么也沒說就走了。一個多月后的一天，這人又來理發鋪子剃頭。剃頭匠還記得他上次多付了錢，覺得此人闊綽大方，為討其歡心， 多賺點錢，便竭力上心，周到細致，多用了一倍的功夫。剃完后， 這人便起身付錢，反而少給了許多錢。剃頭匠不愿意，說“上次我為 您剃頭，剃得很草率，您尚且給了我很多錢；今天我格外用心，為 何反而少付錢呢？ ”這人不慌不忙地解釋道：“今天的剃頭錢，上次 我已經付給你了；今天

2、給你的錢，正是上次的剃頭錢。”說完大笑而去。兩人緩緩地走到山腳下，回頭只見夕陽在山，照得半天云彩紅中泛 紫，藍天薄霧襯著山頂積雪，實是美艷難以言宣，兩人想到在世之 時無多，對這麗景更是留念。龍女癡癡的望了一會，忽問：“你說人 死之后，真要去陰世，真是有個閻羅王么？ ”楊過道：“但愿如此。陰世便有刀山油鍋諸般苦刑，也還是陰世的好。否則，渺渺茫茫， 咱倆可永遠不能相見聚會了。”小龍女道：“是啊，但愿得真有個陰世才好。聽說黃泉路上有個孟 婆，她讓你喝一碗湯，陽世種種你便盡都忘了。這碗湯啊，我可不 喝。過兒，我要永永遠遠記得你的恩情。”她善于自制，雖然心中悲傷，語氣還是平平淡淡。楊過卻實在忍耐 渺茫，

3、能夠不死，總是不死的好。不住了，轉過身去，拭了拭眼淚。小龍女嘆道:“幽冥之事，究屬不住了，轉過身去，拭了拭眼淚。小龍女嘆道:“幽冥之事，究屬”。兩人又行一陣，在一片草地上坐了下來。小龍女道：“你還記 得那日拜我為師的情景么？ ”楊過道：“怎不記得？ ”小龍女道：“你 發過誓，說這一生永遠聽我的話，不管我說什么，你總是不會違 拗。”楊過笑道：“你說什么，我便做什么。師命不敢違，妻命更加 不敢違。”小龍女道：“嗯，你可要記得才好。陸無雙忽道：“還有一處沒去瞧過，說不定她正設法撈那顆絕情 丹上來”。楊過心頭一震，沒聽她說完，發足便往斷腸崖奔去。他一面急奔，一面大呼：“龍兒，龍兒！ ”到得崖前，俯視深

4、谷，但 見灰霧蒙蒙，哪有人影？。忽聽得隔崖陸無雙叫道：。“楊大哥，你在那邊干什么啊？ ”楊過一回頭，猛見崖壁上用劍尖刻 著兩行字，一行大的寫道：“十六年后，在此重會，夫妻情深，勿失 信約。”另一行較小的字寫道：“小龍女書囑夫君楊郎，珍重萬千，務求相 聚。黃蓉默默沉思了一會，忽然分享到:分享到：使用一鍵分享，輕松賺取財富值，嵌入播放器：普通尺寸(450*500pix)較大尺寸(630*500pix)免費大小：960.19kb所需財富值：2登錄百度文庫，專享文檔復制特權，財富值每天免費拿！你可能喜歡【篇二：無限重復完全信息博弈的例子】1首先行動優勢首先行動優勢(first-mover advant

5、age)是指，在博弈中首先作出戰略 選擇并采取相應行動的參與人可以獲得較多的利益.2.確實可信的威脅確實可信的威脅(credible threat)是指，博弈的參與人通過某種行動改 變自己的支付函數，從而使得自己的威脅顯得可信.參與人為改變博弈 結果而采取的措施稱為承諾(commitment).第四節不完全信息靜態博弈在許多情況下,參與人對對手的了解往往是不夠精確的.這種情況下的 博弈就是不完全信息博弈舉例來說,某一市場原來被a企業所壟斷現在b企業考慮是否進入-b 企業知道,a企業是否允許它進入，取決于a企業阻撓b企業進入所花 費的成本.如果阻撓的成本低，那么，正如表7-10后兩列所表示的,a

6、企 業的占優戰略是阻撓，博弈有重復剔除的占優戰略均衡 一a阻撓,b 不進入.如果阻撓的成本高，那么，正如表7-10前兩列所表示的,a企業 的占優戰略是默許b進入，博弈有重復剔除的占優戰略均衡 一a默許,b進入b企業所不知道的，是a企業的阻撓成本是高是低.這里，某 一參與人本人知道、其他參與人則不知道的信息稱為私人信息.某一 參與人所擁有的全部私人信息稱為他的類型.在上述例子中，阻撓成本 就是a的私人信息.高阻撓成本和低阻撓成本則是兩種不同的類型 顯然，在這里,b所遇到的，是不確定性條件下的選擇問題.因為b不僅 不知道a的類型(是高還是低)，而且不知道不同類型的分布概率. 解決這類問題的方法之一

7、,就是把不確定性條件下的選擇轉換為風險 條件下的選擇.在風險條件下,b雖然不知道a的類型，但可以知道不同 類型的分布概率.將不確定性條件下的選擇轉換為風險條件下的選擇， 稱為海薩尼轉換(the harsanyi transformation)按照海薩尼的方法,所有參與人的真實類型都是給定的.其他參與人雖 然不清楚某一參與人的真實類型，但知道這些可能出現的類型的分布 概率，而且這種概率是公共知識.用上例來說，公共知識不僅意味著b企 業知道a企業高阻撓成本與低阻撓成本的分布概率，而且意味著a也 清楚b知道這一概率.通過海薩尼轉換，不完全信息博弈變成了完全但不完美信息博弈(games of comp

8、lete but imperfect information).這里的不完美信 息，就是指其他參與人只知道某一參與人某些方面類型的分布概率，而 不知道該參與人在這些方面的真實類型 在上述轉換的基礎上，海薩尼提出了貝葉斯納什均衡(bayesian nash equilibrium).對此,可以作如下解釋：在不完全信息靜態博弈中滲與 人同時行動,沒有機會觀察到別人的選擇.給定其他參與人的戰略選擇, 每個參與人的最優戰略依賴于自己的類型.由于每個參與人僅知道其 他參與人有關類型的分布概率,而不知道其真實類型，因而，他不可能知 道其他參與人實際上會選擇什么戰略.但是，他能夠正確地預測到其他 參與人的選

9、擇與其各自的有關類型之間的關系 因此,該參與人的決策目標就是：在給定自己的類型，以及給定其他參 與人的類型與戰略選擇之間關系的條件下，使得自己的期望效用最大 貝葉斯納什均衡是一種類型依賴型戰略組合.在給定自己的類型和其他參與人類型的分布概率的條件下，這種戰略組合使得每個參與人的 回到上面提到的市場進入的例子.在這個例子里,對于挑戰者b來說源 壟斷者a在阻撓成本方面，存在著兩種可能性：高成本或低成本.b不 知道a的阻撓成本究竟是高是低，但他知道a在這兩種不同阻撓成本 下會作出的選擇，以及不同阻撓成本(類型)的分布概率.假定高成本 的概率為X,則低成本的概率為(1-x).如果a的阻撓成本高,a將默

10、許b 進入市場；如果a的阻撓成本低,a將阻撓b進入市場.在這兩種情況 下，如表7-10所示,b進入的支付函數分別是得到40和失去10.因 此,b選擇進入所得到的期望利潤為40 x+(-10)(1- x),選擇不進入的期 望利潤為0.簡單的計算表明,當a阻撓成本高的概率大于20%時，挑戰 者b選擇進入得到的期望利潤大于選擇不進入的期望利潤.此時，選擇 進入是b的最優選擇.此時的貝葉斯納什均衡為，挑戰者b選擇進入， 高成本原壟斷者選擇默許，低成本原壟斷者選擇阻撓.期望效用達到了最大化.期望效用達到了最大化.=j最根據參與者類型的公共知識獲得參與者行動的概率，依此決定下一步 策略.第五節不完全信息動

11、態博弈在動態博弈中,行動有先后次序，后行動者可以通過觀察先行動者的行 為,來獲得有關先行動者的信息，從而證實或修正自己對先行動者的判 斷.如上所述,在不完全信息條件下，博弈的參與人知道其他參與人可能有 哪幾種類型，也知道不同的類型與相應戰略選擇之間的關系.但他們并 不知道其他參與人的真實類型.在不完全信息靜態博弈中，我們是通過 海薩尼轉換,即通過假定其他參與人知道某一參與人的所屬類型的分 布概率，來得出博弈的貝葉斯納什均衡結果的而在不完全信息動態博弈中，問題變得更加簡單.博弈開始時，某一參與 人既不知道其他參與人的真實類型，也不知道其他參與人所屬類型的 分布概率.他只是對這一概率分布有自己的主

12、觀判斷，即有自己的信念. 博弈開始后,該參與人將根據他所觀察到的其他參與人的行為，來修正 自己的信念.并根據這種不斷變化的信念作出自己的戰略選擇 對應于不完全信息動態博弈的均衡概念是精煉貝葉斯均衡(perfect bayesian equilibrium).這個概念是完全信息動態博弈的子博弈精煉 納什均衡與不完全信息靜態均衡的貝葉斯(納什)均衡的結合.具體來說，精煉貝葉斯均衡是所有參與人戰略和信念的一種結合.它滿 足如下條件：第一,在給定每個參與人有關其他參與人類型的信念的 條件下，該參與人的戰略選擇是最優的.第二，每個參與人關于其他參與 人所屬類型的信念,但是使用貝葉斯法則從所觀察到的行為中

13、獲得的. 貝葉斯法則是概率統計中的應用所觀察到的現象對有關概率分布的 主觀判斷(即先驗概率)進行修正的標準方法.采用上一節的例子，可 以將貝葉斯規則的分析思路表達如下.挑戰者b不知道原壟斷者a是屬于高阻撓成本類型還是低阻撓成本 類型，但b知道，如果a屬于高阻撓成本類型,b進入市場時a進行阻撓 的概率是20% （此時a為了保持壟斷帶來的高利潤，不計成本地拼命 阻撓）；如果a屬于低阻撓成本類型,b進入市場時a進行阻撓的概 率是100%.博弈開始時,b認為a屬于高阻撓成本企業的概率為70%,因此,b估計 自己在進入市場時，受到a阻撓的概率為：0.44是在b給定a所屬類型的先驗概率下,a可能采取阻撓行

14、為的概 率.當b進入市場時,a確實進行阻撓.使用貝葉斯法則，根據阻撓這一可以 觀察到的行為,b認為a屬于高阻撓成本企業的概率變成根據這一新的概率,b估計自己在進入市場時，受到a阻撓的概率為： 如果b再一次進入市場時,a又進行了阻撓.使用貝葉斯法則，根據再次 阻撓這一可觀察到的行為,b認為a屬于高阻撓成本企業的概率變成 這樣,根據a 一次又一次的阻撓行為,b對a所屬類型的判斷逐步發生 變化,越來越傾向于將a判斷為低阻撓成本企業了 以上例子表明，在不完全信息動態博弈中，參與人所采取的行為具有傳 遞信息的作用.盡管a企業有可能是高成本企業,但a企業連續進行的 市場進入阻撓，給b企業以a企業是低阻撓成

15、本企業的印象，從而使得 b企業停止了進入地市場的行動應該指出的是，傳遞信息的行為是需要成本的.假如這種行為沒有成本, 誰都可以效仿，那么，這種行為就達不到傳遞信息的目的.只有在行為需 要相當大的成本，因而別人不敢輕易效仿時，這種行為才能起到傳遞信 息的作用.傳遞信息所支付的成本是由信息的不完全性造成的.但不能因此就說 不完全信息就一定是壞事.研究表明，在重復次數有限的囚徒困境博弈 中，不完全信息可以導致博弈雙方的合作.理由是：當信息不完全時，參 與人為了獲得合作帶來的長期利益,不愿過早暴露自己的本性.這就是 說,在一種長期的關系中，一個人干好事還是干壞事，常常不取決于他的 本性是好是壞，而在很

16、大程度上取決于其他人在多大程度上認為他是 好人.如果其他人不知道自己的真實面目，一個壞人也會為了掩蓋自己 而在相當長的時期內做好事.根據參與者類型的公共知識以及參與者歷史行為來獲得參與者行動的概率,依此決定下一步策略【篇三：無限重復完全信息博弈的例子】1 / 26完全信息【故事1：笑林廣記有一個人去理發鋪剃頭， 剃頭匠給他剃得很草率。剃完后，這人卻付給剃頭匠雙倍的錢，什 么也沒說就走了。一個多月后的一天，這人又來理發鋪子剃頭。剃頭匠還記得他上次多付了錢，覺得此人闊綽大方，為討其歡心， 多賺點錢，便竭力上心，周到細致，多用了一倍的功夫。剃完后， 這人便起身付錢，反而少給了許多錢。剃頭匠不愿意，說

17、上次我為 您剃頭，剃得很草率，您尚且給了我很多錢；今天我格外用心，為 何反而少付錢呢？這人不慌不忙地解釋道：今天的剃頭錢，上次我 已經付給你了；今天給你的錢，正是上次的剃頭錢。說完大笑而去。】問：剃頭匠為什么對同一個人提供的兩次服務截然不同？【故事 2：神雕俠侶三十二回情是何物】。兩人緩緩地走到山腳下，回頭只見夕陽在山，照得半天云彩紅中泛 紫，藍天薄霧襯著山頂積雪，實是美艷難以言宣，兩人想到在世之 時無多，對這麗景更是留念。龍女癡癡的望了一會，忽問：你說人 死之后，真要去陰世，真是有個閻羅王么？楊過道：但愿如此。陰 世便有刀山油鍋諸般苦刑，也還是陰世的好。否則，渺渺茫茫，咱 倆可永遠不能相見聚

18、會了。小龍女道：是啊，但愿得真有個陰世才好。聽說黃泉路上有個孟婆， 她讓你喝一碗湯，陽世種種你便盡都忘了。這碗湯啊，我可不喝。過兒，我要永永遠遠記得你的恩情。她善于自制，雖然心中悲傷，語氣還是平平淡淡。楊過卻實在忍耐 茫，能夠不死，總是不死的好。不住了，轉過身去，拭了拭眼淚。小龍女嘆道:幽冥之事，究屬渺不住了，轉過身去，拭了拭眼淚。小龍女嘆道:幽冥之事，究屬渺。兩人又行一陣，在一片草地上坐了下來。小龍女道：你還記得那 日拜我為師的情景么？楊過道：怎不記得？小龍女道：你發過誓， 說這一生永遠聽我的話，不管我說什么，你總是不會違拗。楊過笑道：你說什么，我便做什么。師命不敢違，妻命更加不敢違。 小龍

19、女道：嗯，你可要記得才好。陸無雙忽道：還有一處沒去瞧過，說不定她正設法撈那顆絕情丹 上來。楊過心頭一震，沒聽她說完，發足便往斷腸崖奔去。他一面 急奔，一面大呼：龍兒，龍兒！到得崖前，俯視深谷，但見灰霧蒙 蒙，哪有人影？。忽聽得隔崖陸無雙叫道：楊大哥，你在那邊干什么啊？楊過一回 此重會，夫妻情深，勿失信約。頭，猛見崖壁上用劍尖刻著兩行字，一行大的寫道:十六年后，在頭，猛見崖壁上用劍尖刻著兩行字，一行大的寫道:十六年后，在另一行較小的字寫道：小龍女書囑夫君楊郎，珍重萬千，務求相聚。黃蓉默默沉思了一會，忽然兩眼發亮，雙手一拍，笑道：過兒， 大喜，大喜！楊過驚喜交集，顫聲道：你說。說是喜訊么？黃蓉道：

20、這個自然。龍家妹子遇到了南海神尼，當真是曠世奇緣。黃蓉道：我爹爹說，每隔十六年，她老人家便來中土一行，惡人 撞到了她那是前世不修。好人遇到了，她老人家必有慈悲。龍家妹子這等美艷如仙的人物，她老人家定是十分歡喜，將她收作 徒兒，帶到南海去了。十六年后十六年后楊過再來到斷腸崖楊過再來到斷腸崖此刻再臨舊 地，但見荊莽森森，空山寂寂，仍是毫無曾經有人到過的跡象，當 下奔到斷腸崖前，走過石梁，撫著石壁上小龍女用劍尖劃下的字跡，手指嵌入每個字的筆劃之中，一筆筆的將石縫中的青苔揩去，那兩 行大字小字顯了出來。這一日中，他便如此癡癡的望著那兩行字發呆。O這般苦苦等候了五日，已到了三月初七，他已兩日兩夜未曾交睫

21、入 睡，O。卻哪里有小龍女的影蹤。O他便如一具石像般在山頂呆立了一夜，直到紅日東升。四下里小 鳥鳴啾，花香浮動，春意正濃，他心中卻如一片寒冰，似有一個聲 音在耳際不住響動：傻子！她早死了，在十六年之前早就死了。她 自知中毒難愈，你決計不肯獨活，因此圖了自盡，卻騙你等她十六 年。傻子，她待你如此情誼深重，你怎么到今日還不明白她的心 意？ OO奔到斷腸崖前，瞧著小龍女所刻下的那幾行字，大聲叫道：十六 年后，在此重會，夫妻情深，勿失信約！小龍女啊小龍女！是你親 手刻下的字，怎地你不守信約？ 。O他自來便生性激烈，此時萬念俱灰，心想：龍兒既已在十六年前 便即逝世，我多活這十六年實在無謂之至。望著斷腸崖

22、前那個山谷，只見谷口煙霧繚繞。O他輕輕說道：當年你突然失蹤，不知去向，我尋遍山前山后，找 不到你，那時定是躍入了這萬丈深谷之中，這十六年，難道你不怕 寂寞嗎？淚眼模糊，眼前似乎幻出了小龍女白衣飄飄的影子，又隱 隱似乎聽到小龍女在谷底叫道：楊郎，楊郎，你別傷心，別傷心！ 楊過雙足一蹬，身子飛起，躍入了深谷之中。完全信息重重復博弈復博弈完全信息重復博弈2 / 26重復博弈重 復博弈以前討論的動態博弈基本上都有一個特征，即參與人在前一 個階段的行動選擇決定隨后的子博弈的結構，因此從后一個決策結 開始的子博弈不同于從前一個決策結開始的子博弈，或者，同樣結 構的子博弈只出現一次。房地產開發博弈中，開發商

23、a選擇開發后 的子博弈就不同于選擇不開發后的子博弈。這樣的博弈稱為序貫博 弈。動態博弈的另一種特殊但是非常重要的類型是重復博弈，重復博弈 就是同樣結構的的博弈重復多次，其中的每次博弈稱為階段博弈 （stage game）。重復博弈有3個基本特征：階段博弈之間沒有 物理上的聯系（no physical link），即前一個階段博弈的結果不改 變后一個階段博弈的結構（例:石頭、剪刀、布）每個參與人都能觀察 到博弈過去的歷史，即過去發生的事情（合作還是背叛）每個參與 人得到的最終報酬是各個階段博弈支付的貼現值之和?重復博弈中 參與人的策略在單次囚犯困境博弈中，參與人只有兩種選擇：合作 （抵賴）還是不

24、合作（坦白）。每個參與人的選擇沒有辦法建立在對方如何行動的基礎上。但是在重復博弈中，由于參與人過去的行動歷史是可以被觀察到的， 每個參與人就可以把自己今天的選擇建立在其他參與人行動歷史的 基礎之上。比方說，你過去欺騙過我，那么我這次就不選擇與你合 作，或者我也同也欺騙你一次；咱們過去合作很愉快，那么我這次 也選擇與你合作。由于過去歷史的多樣化，當前行動和歷史關聯的 方式也多種多樣，這就使得每個人的策略空間大大擴展了。正是這 種可能性使得合作有可能作為均衡結果出現。定義：（1）一個博弈在時期的歷史歷史h是在所有時期合）的列 表（list）（2）某個參與者在重復t次博弈中的策略策略是一個由該參 與

25、者在每個時期t（t，-”t21=）所采取行動的序列（列表），每個 時期t的行動h到行動a的一個映射）一個例子：戰爭與和平國家 1戰爭（w）和平（p）12,1 =，-,t博弈結果（即策略組iitaa是以 該博弈在時期t的歷史為基礎的（即ita建立了從歷史ti在單次博弈 中，均衡結果是兩個國家都會選擇戰爭，盡管和平對雙方來說都是 最好的。這是個典型的囚徒困境。（？）該博弈重復兩次，那么國家1純策略集中共有多少策略？首 先考慮第二期。第二期會有可能的4種歷史，它們是由第一期參與者的4種不同的 行動序列決定的。第二期的歷史滿足,w（h 2對每一種歷史，國家1 可以采取的行動行動（非策略）有）p,p（

26、）,w,p（ ）,p,42個，聯同第一 期的兩個行動，當博32個。p,w（ ）,w。在第二期，針w兩種。策略必須指定在每種給定歷史下的 行動，因此在第二期國家1的行動弈重復兩次時，國家1的純策略 數量一共是（？）如果博弈重復3次，那么國家1的純策略數有多 少個？簡記b）p,w（ , a）w,w（=弈之后的結果有4種，即）,w,w（行動 數量共有2 42=d，連同第一期博弈后的4種結果_bb,ba,ad,ac,ab）p,ppaa,p（）,（ ,cw,h 3）（w,pp,（ ,w（=p。考慮第三期， 由于第二期博）,）,可知，第三期的歷史歷史共有1644=個，即：dd,dc,db,da,cd,cc

27、,cb,ca,bd,bc,基于第三期的歷史，第三期 的行動數2個，該博弈重復三次后國家1的純策略共有行動共有共 有162個，連同第二期行動個數22 42和第一期的行動個2097152 個！ 2221164=國家 2 戰爭（w）1, 1 3, 0 和平（p）0，3 2, 2 完全信息重復博弈3 / 26 策略是從信息集到行動空間的映射，上 述方法其實是在利用信息集計算純策略個數如果博弈重復兩次，國 家1在第二期有4種歷史，也就是有4個信息集，連同第一期的1 個信息集，那么寫出國家1的策略共需要5個步驟，每個步驟（信 息集）可以有兩種選擇。因此國家1的純策略數總共有222（w； p， w，w，p）

28、。如果博弈重復三次，那么國家1在第三期有么連同第二期的4個信 息集和第1期的一個信息集，國家1共有21個信息集，每個信息集 上可以有兩種行為選擇，因此國家1的純策略數總共有是（w； p， w，w，p；p，w，p，p，w，w，w，p，w，w，w，w，p，p，p， w）。重復博弈的支付重復博弈中每個參與人得到的總支付是各個階段博 弈支付的貼現值之和。貼現系數（因子）：111 +=）r/（，計算明天的1元錢值今天多少。 貼現因子反映的是參與人的耐心程度，越大意味著一個人越重視未 來。今天的1元錢是1元錢；明天的1元錢值今天的，后天的1元 錢值今天的；如此等等，離現在越遠的1元錢在今天越不值錢。反 過

29、來，過去某種價值放在今天會變得更加珍貴。例子：?大晏：滿目河山空念遠，落花風雨更傷春，不如憐取眼 前人?紅杏尚書：為君持酒勸斜陽，且向花間留晚照?納蘭：被酒莫驚春睡重，賭書消得潑茶香，當時只道是尋常？不思過去， 不思將來，把握當下：禪宗的思想，將貼現系數瞬間調整到0 ?莊子齊物論：狙公賦芋（XU?），曰：朝三而暮四。眾狙皆怒。曰：然則朝四而暮三。眾狙皆悅。名實未虧而喜怒為用，亦因是也。t次重復博弈的某博弈方，某一均衡下各階段支付分別為總支付的貼 現值為：5222=個。例如，國家1的純策略之一是1644=種歷史， 也即16個信息集，那212個。例如，國家1的純策略之一？ 2t，-” 21,則重復

30、博弈的=t =+=ttttt1113221給定貼現因子，若在 無限次重復博弈一路經下，某博弈方各階段支付為，-”21則該博國 家1國家1國家2國家2國家1國家1國家1國家2國家2國 家2國家1在第二期有4種歷史國家1在第三期有16種歷史w p w p w p國家1國家2完全信息重復博弈4 / 26弈方總支付的貼現 值就是：=t =+113221tt定義：如果一個常數作為重復博弈各 個階段的支付，能產生與支付序列貼現值，則稱為，,2的平均支付 平均支付。無限次重復博弈每階段支付都是時，貼現值為：）/（ 1【即，,21相 同的1 ）/（）（ =+112】而每階段博弈支付為，”21時，無限次重 復博

31、弈的支付的貼現值是=11ttt，因此令=t =1t = 111tt）/（，得到: =11tt）（這就是計算無限次重復博弈平均支付的公式。平均支付是貼現值之和的標準化（標準化因子是可以直接與階段博 弈支付比較，因為平均支付用相同的單位度量階段博弈支付和重復 博弈支付。如果一個策略組合給出每階段2單位的支付，另一個策 略組合給出平均支付1（每階段支付可能不同），我們說參與人從 前一個策略組合中得到的支付大于從后一個策略組合中得到的支付。 后面將要介紹的無名氏定理無名氏定理中的支付應該被理解為平均 支付。隨機停止隨機停止將作一些擴展，我們就可以把隨機結束的重復博 弈與無限次重復博弈統一起來。典型的隨

32、機結束重復博弈可以理解 為在進行一個重復博弈時，每次都通過抽簽來決定是否停止重復， 如果抽到停止重復的概率為p，則抽到重復下去的概率為t，利率 為r，因為在第一次博弈以后能夠繼續下一次重復的可能性是p 1， 因此第二階段的期望支付為p（ 12 22311）r/（）p（+，所以該博弈方在 該重復博弈中的期望支付的貼現值為：1）。使用平均支付的優越 性在于?？ p 1。設某博弈方在此博弈中的階段支付為）r/（）+1。進一步，第三階段的期望支付為.)r/()p()r/()p(+ + +=223211111 =t =t =+ =111111tttt)rp(令=+隨機停止重復博弈問題可以視為無限重復博弈

33、來進行分析；反過來，無限重復博弈也可理解為隨機停止博弈。注意：本身就可以直接理解為博弈下一次重復的可能性。含義是， 假定今天彼此相互博弈，那么明天我們繼續博弈的可能性有多大。 即使明天的1元錢值今天的1元錢，如果明天得到1元錢的可能性 小于1，參與人也會對明天的收入打折扣。當然，由上式=+ )r/()p(11中，也可被理解為下一次重復的可能性與貼現因子的乘 積。的含義：代表了未來收益對參與人的重要程度，因此有時被籠統地 解釋為耐心。未來收益對一個人有多重要與該人的年齡、婚姻、健康、宗教信仰 都有關系。官員的59歲現象一人預期明天將去世，與預期30年后去世，行為 也會大不相同宗教：來世取得回報對

34、未來利益的重視程度是決定 參與人行為的一個重要變量。I=J最)r/()p(11I=J最1=/最l=J最完全信息重復博弈5 / 26 有限重復博弈有限重復博弈連鎖店悖論 連鎖店悖論(市場進入博弈(chain-store paradox; selton,1978) 在單次博弈中，如果進入者先行動，這個博弈的唯一的子博弈精煉 納什均衡結果是進入者進入，在位者默許，分別得到40和50的支 付現在假定同樣的市場有20個(可以理解為在位者有20個連鎖 店)，進入者每次進入一個市場，博弈就變成了 20次重復博弈。假 定進入者先進入第1個市場，在位者應該如何反應呢？【你也許會 想，盡管從一個市場來看，在位者的

35、最優選擇是默許；但現在有20 個市場要保護，為了阻止進入者進入其他19個市場，在位者應該選 擇斗爭。？】設想前19個市場已經被進入，進入者現在進入第20 個市場。因為在最后階段，選擇斗爭已沒有任何威懾意義，在位者 的最優選擇是默許，進入者將選擇進入。現在考慮第19個市場。因 為不論在位者選擇什么行動，第1=/最l=J最(因為進入者知道第20個市場上在位者將選擇默許)，在位者的最 優選擇仍然是默許。如此一直倒推回去，我們得到這個博弈的唯一 的spne是每個市場上都選擇默許，進入者在每個市場上選擇進入。囚犯困境與市場進入博弈類似，只要博弈重復的次數是有限的，最 后階段博弈的唯一納什均衡是兩個囚徒都

36、選擇坦白；逆向歸納法意 味著總是坦白是唯一的spne。上述結果可以一般化為下述定理。定理：令g是階段博弈，）t（g是g重復t次的重復博弈（的納什均 衡，重復博弈）t（g的唯一子博弈精煉納什均衡結果是階段博弈g的 納什均衡重復t次（即每個階段博弈出現的都是一次性博弈的均衡結 果）口多個純策略納什均衡博弈的有限重復博弈多個純策略納什均 衡博弈的有限重復博弈階段博弈存在有唯一納什均衡的有限重復博 弈本質上不過是原博弈的簡單重復，重復博弈的spne就是每次重復 采用原博弈的納什均衡。這種重復并不能給博弈方帶來比一次性博弈更好的結果。但是，如果重復博弈的原博弈有多于一個的納什均衡，情況可能發 生變化。設

37、一個市場上有兩個生產同質產品的廠商，他們對產品的定價同有 高、中、低三種可能。設高價時市場總利潤為10個單位，中價時市 場總利潤為6個單位，低價時市場總利潤為2個單位。假設兩廠商 同時決定價格，價格不等時價格低者獨享利潤，價格相等時雙方平 分利潤。這時候兩廠商對價格的選擇就構成了一個靜態博弈的問題。 t）。那么如果g有唯一重復博弈使博弈的可能結果出現了很多可 能性，兩次重復博弈的純策略路徑有9 9=81種之多，加上混合策略 的路徑可能的博弈結果的數量就更大。重要的是，兩次重復博弈中 確實存在第一階段采用（h，h）的子博弈精煉納什均衡，其中雙方 的策略是：觸發策略觸發策略（trigger str

38、ategies）博弈方1： 第一次選h；如第一次的結果為（h，h），則第二次選m，如果第 一次結果為任何其他策略組合，則第二次選1。博弈方2：同博弈方1進入者在位者默許斗爭進入40，50 -10， 0 不進入 0，300 0，300 廠商 1 廠商 2 h m l h 5, 5 0, 6 0, 2 m 6, 0 3, 3 0, 2 l 2, 0 2, 0 1, 1這個博弈有兩個純策略納什均衡（m，m） 和（l，l），對應的雙方支付分別是（3,3）和（1,1），但是這個博 弈中兩個博弈方的總利益最大、而且也符合他們個體利益（僅次于 對方高價、自己中價時的6）的策略組合（h，h）并不是納什均衡，

39、因此一次博弈的結果不可能是帕累托有效的完全信息重復博弈6 / 26在上述策略下，兩次重復博弈的路徑為第一階段（h，h），第二階 段（m，m），這是一個子博弈完美均衡路徑。廠商1廠商2 proof：首先，第二階段是一個原博弈的納什均衡， 因此不可能有哪一方有積極性單獨偏離；其次，第一階段的（H, H）雖然不是原博弈的納什均衡，一方單獨偏離，采用M能增加1 單位支付，但是這樣的后果是第二階段至少要損失2單位的支付， 因為對方采用的是有報復（懲罰）的策略。因此偏離（h，h）是得 不償失的，合理的選擇是堅持h。q.e.d.在觸發策略下，雙方首先試探合作，一旦發覺對方不合作，則 在下階段采用不合作進行報

40、復。在無限次重復博弈中我們還將看到，觸發策略是實現合作和提高均 衡效率的關鍵機制，是重復博弈分析的重要組成部分。實際上，在上述兩次重復博弈中，當兩博弈方都采用上述觸發策略 時，第二階段都是一種條件選擇。當第一階段結果為（h ,h）時，第 二階段為（m，m），支付為（3,3）；當第二階段結果為其他8種 結果時，第二階段為必為（1，1），支付為（1,1）。如果我們把（3,3）加到第一階段（H，H）的支付上，把（1 ,1） 加到第一階段其他策略組合的支付上，就把兩次重復博弈化成了一 個等價的一次性博弈，其支付矩陣如下圖。懲罰機制的可信問題：再談判在上述博弈中，如果第一階段的結果 確實是（H，H），也

41、就是在子博弈精煉納什均衡路徑上，第二階 段的（M，M）符合雙方的利益，不會存在問題。但是如果第二階 段有一方偏離了均衡路徑就會產生問題。根據觸發策略，另一方會 在第二階段采用報復性的L策略，這樣偏離的一方只能采用1，雙 方都只能得到比較差的支付。實際上，未偏離方在報復偏離者的同 時，自己也遭受了損失。如果未偏離方能夠既往不咎，還是與對方 共同采用M（雙方在事后進行再談判），對他自己也是有利的。如 此一來，觸發策略就不可信了。如果認為觸發策略不可信，認為博弈方不可能真正采用觸發策略， 就相當于不管第一階段結果如何，第二階段的結果都會是（M， M），雙方得（3,3）。在第一階段所有支付上都加上（3

42、 , 3），得到這種情況下兩次重復博弈的等價一次性博 弈。再談判的可能當第一階段某個參與人偏離時，在第二階段實施 懲罰對雙方而言都是不利的，因此重新談判是很自然的事情，但是， 一旦雙方都預期到對第一階段的每種結果，第二期的結果都是（m， m），則第一階段選擇（h，h）的動機就被破壞了。上例說明，子 博弈精煉的概念對 h m 1 h 5, 5 0, 6 0, 2 m 6, 0 3, 3 0, 2 1 2, 0 2, 0 1,1 廠商 1 廠商 2 h m l h 8,8 3,9 3,5 m 9,3 6,6 3,5 l 5,3 5,3 4,4 容易 看出，第一階段的最佳選擇不是（h, h），而是（

43、m, m）。這意味著兩次重復博弈的均衡路徑是兩次重復（m，m）廠商1廠商2 h m l h 8, 8 1, 7 1, 3 m 7, 1 4, 4 1, 3 l 3, 1 3, 1 2, 2 容易看出，（h，h）是一個納什均衡，并且支付是兩個博弈方的最佳支付，因 此兩博弈方必然會采用它等價是對應于兩博弈方特定策略的，而不 是一般意義上的等價 完全信息重復博弈7 / 26可信性的要求并不嚴 格。再談判意味著在第一階段和第二階段中間發生了信息交流甚至討價 還價，如果我們不考慮這種交流的可能，觸發策略中報復機制的可 信性依然還是一個問題，可能會受到相互預期等很多復雜因素的影 響。如果未偏離一方并不想報

44、復偏離一方，而偏離的一方卻因為害怕報 復而采用I，那么仁慈的未偏離方則將再次受到損失。但是，并不是每個重復博弈的觸發策略都有可信性問題，觸發策略 在不少情況下是非常可信的。博弈雙方分別采用下面的觸發策略：參與人1：在第一階段采用h， 如果第一階段的結果是（H，H），那么第二階段采用M，否則采 用P;參與人2：在第一階段采用瓦 如果第一階段的結果是（H， H），那么第二階段采用M,否則采用。可以證明，上述觸發策略 組合構成該重復博弈的一個SPNE，而且雙方的觸發策略中的懲 罰都是可信的，因為懲罰不僅本身可以構成納什均衡，而且對懲罰 者自己也是有利的。例子：?出軌的丈夫張柏芝amp;古天樂河東獅吼

45、歌曲：一個人背兩個人的債:別像個小孩，帶著一臉的無奈，找不到依賴;個人背兩個人的債:別像個小孩，帶著一臉的無奈，找不到依賴;事到如今，我要離開；好好站起來，不要再責怪；為什么從前不坦白，讓你身邊愛你的人受傷害；你是我一生的最壞，也是我一生的白，讓你身邊愛你的人受傷害；你是我一生的最壞，也是我一生的最愛；不能再照顧你的未來，我也要走得明明白白；一個人背兩人 的債，受多少苦我也能挨；為你跳進忘情苦海，死去再活來陳季常 的經典臺詞：從現在開始，我只疼你一個，寵你，不會騙你，答應 你的每一件事情，我都會做得到，對你講的每一句話，都是真話， 不欺負你，不罵你，相信你，有人欺負你，我會在第一時間來幫你，

46、你開心的時候，我會陪著你開心，你不開心，我也會哄著你開心， 永遠覺得你最漂亮，做夢都會夢見你，在我的心里，只有你！ ？冷 酷的女生一女生告訴朋友說剛剛分手的前男友又在她面前揮刀尋死，朋友趕過去一看，原來對方只是用水果刀在臂上劃了一道細細的口 子，卻把女生嚇得花容失色。這位朋友問女生：你有他父母家的電 話嗎？女生點點頭。這位朋友迅速接通：請問這里是某某家嗎？你 是他媽媽呀？哎呀，你兒子尋死了，不得了，快過來。于是，輪到對方大驚失色了。又有一次，那位前男友在女生的家門 口坐了一天一夜。這一次那女生也聰明了，馬上一個電話打到110,。 警察來了把他訓了一頓帶走了。終于，這位前男友徹底死了心。參與人

47、1 參與人 2 h m l p q h 5,5 0,6 0,2 0,0 0,0 m 6,0 3,3 0,2 0,0 0,0 l 2,0 2,0 1,1 0,0 0,0 p 0,0 0,0 0,0 4, 1/2 0,0 q 0,0 0,0 0,0 0,0 1/2,4該博弈有4個純策略（m，m） （1，1）（p，p）（q，q），效率較高的（h，h）也不是納什均衡。正是由于比前一個博弈多了兩 個純策略納什均衡，因此在重復博弈中采用觸發策略的余地增大了， 而且構成觸發策略的懲罰機制變得可信完全信息重復博弈8 / 26 無限重復博弈無限重復博弈定義定義：在有限重復博弈）t。由第（g） t中，由第+t在無

48、限重復博弈重復博弈，和在有限情況下相似，博弈1+t階段開始的一個子博弈為g進行階段開始有許多子博弈，到t階 段為止的每一可能的歷）,（g中，由中，由1+t）,（g階段開始的子博弈。 tt次的重復博弈，可表示為t（g1史之后都是不同的子博弈。在無限 等同于初始博弈等同于初始博弈g歷史，就有多少從階段開始的每 階段開始的每個到t階段為止有多少不同的個子博弈都子博弈都）,1（t +注意：重復博弈的第t階段本身（在有限情況下假定博弈。子博弈是原博弈的一個部分，除了包含博弈到此為止的歷史已經成 為全體參與者的共同知識，還包括了原博弈在這一點之后的所有參 與人行動情況。考慮囚徒困境博弈。我們將證明，如果參

49、與人有足夠的耐心，（抵 賴，抵賴）是一個子博弈精煉納什均衡結果。tt）并不是整個博弈的一個子考慮觸發策略【又稱為冷酷策略grim strategies）】：（1）開始選擇抵賴；（2）選擇抵賴直到有一方 選擇了坦白，然后永遠注意，根據這個策略，一旦一個囚徒在某個 階段中自己選擇了坦白，之后他將永遠選擇坦白。proof： 1、首先證明冷酷策略是一個納什均衡。【給定對方選擇冷酷策略：要證明(1)他不首先坦白，我也不會坦 白；(2)他首先坦白，我會依照冷酷策略懲罰他(3)我若首先坦 白，我將依照冷酷策略永遠坦白】假定囚犯j堅持冷酷策略，那么 冷酷策略是不是囚犯i的最優策略呢？因為博弈沒有最后一個階段，

50、 我們不能運用逆向歸納法求解。令是貼現因子。如果i在博弈的某個階段首先選擇了坦白，他在該 階段得到0單位的支付，而不是-1單位的支付，因此他的當期凈收 益是1單位。但是他的這個機會主義行為將觸發囚徒j永遠坦白的 懲罰，因此i隨后每個階段的支付都是-8。因此如果下列條件滿足， 給定j沒有選擇坦白，i將不會選擇坦白：階段1 2永遠選擇坦白t t+1 t+2兩個囚徒行動組合囚徒i階段收益抵賴，抵賴抵賴，抵賴坦白，抵賴坦白，坦白坦白，坦白-1 -1 0 -8 -8或者：.)() (.)()8(+ + 1+1 +) 1+ +11 1 8 8 022 ) /() ) (/( t=1 t=2 t=3 , t

51、 t+1 t g(t-t)囚犯a囚犯B坦白抵賴坦白-8，-8 0，-10抵賴-10，0 -1， -1完全信息重復博弈9 / 26解得：81 ；就是說，如果81，給定j 堅持冷酷策略并且j沒有首先坦白，i將不會選擇坦白。(1)滿足。現在假定j首先選擇了坦白。那么，i是否有積極性堅持冷酷策略以 懲罰j的不合作行為呢？給定j堅持冷酷策略，j 一旦坦白將永遠選 擇坦白；如果i堅持冷酷策略，他隨后每階段的支付是-8,但是如果 他選擇任何其他策略，他在任何階段的支付不會大于-8 (選擇抵賴則 只會得到-10)，因此不論是多少，i有積極性堅持冷酷策略。(2)滿足。給定j堅持冷酷策略，如果i自己首先選擇了坦白

52、，那么在隨后j永 們就證明了冷酷策略是一個納什均衡。遠選擇坦白，i遠選擇坦白，i自己永遠選擇坦白也是最優的，(3)滿足。這樣我2、其次證明冷酷策略是一個spne，即在每一個子博弈上都構成納 什均衡因為博弈重復無限次，從任何一個階段開始的子博弈與這個 博弈的結構相同。在冷酷策略納什均衡下，子博弈可以劃分為兩類：類型a，沒有任何 參與人曾經坦白；類型b，至少有一個人曾經坦白。我們已經證明，冷酷策略在a類型子博弈構成納什均衡【無限重復 博弈中子博弈等價于整個博弈，且(1)滿足】在b類型子博弈， 根據冷酷策略，參與人只是重復單個階段博弈的納什均衡，它自然 也是整個子博弈的納什均衡。1=/最q.e.d.

53、由此我們證明，如果81=/最如果博弈無限次重復且每個人有足夠的耐心，任何短期的機會主義 行為的所得都是微不足道的這個博弈還有許多其他的子博弈精煉均 衡。如同在一次性博弈中一樣，在每個階段博弈兩人都選擇坦白也是一 個SPNE，并且，是唯一一個當期行動獨立于過去行動歷史的均 衡口無限次重復古諾模型無限次重復古諾模型假定市場出清價格 q（q8）q（pp =場總產量。再設兩廠商都無固定成本，邊際成本都為2。 那么一次性博弈存在唯一的納什均衡（2, 2），即兩廠商都生產2 單位產量，該產量稱為古諾產量，用3=mq兩個廠商生產壟斷產量 的一半1.5 （即合作或合謀），則兩廠商的支付都會增加。但是這種 情形

54、在一次性博弈中不可能實現，在有限次重復博弈中也不可能實 現。現實經濟中，寡頭市場往往是相當穩定的，寡頭之間年復一年的產 量競爭就可以完全看作為無限次重復博弈，就是無限次重復博弈古 諾模型。首先證明，在無限次重復古諾模型中，當貼現率滿足一定條件時， 兩廠商都采用下列觸發策略構成一個子博弈精煉納什均衡：第一階 段生產壟斷產量的一半（1.5）；在第t階段，如果前則繼續生產1.5，否則生產古諾產量2=。【實質：先試圖合作，選擇符合雙方利益的產量，1）0p, 8qif; 8=，其中21qqq+=其中21qqq+=為市cq表示。如果該市場是家廠商壟斷，那么最優壟斷產量是，納什均衡的總產量4大于壟斷產量3。

55、如果1 t階段的結果都是（1.5, 1.5），cq , t沒有人曾經坦白（均衡路徑）至少有 一個人坦白（非均衡路徑）t a類型b類型t+1 t+1完全信息重復博 弈10 / 26而一旦發現對方不合作，偏離對雙方有利的產量，則選擇 納什均衡產量來進行報復】給定廠商1采用觸發策略，如果廠商2 也采用該觸發策略，則每期利潤為4.5，無限次重復博弈總利潤的貼 現值為：=+1541542.）（.如果廠商2偏離上述觸發策略，則他在 偏離階段所選產量是如下問題的解：（maxq2解得2522.q =5.不過， 從第二階段開始，廠商1將報復性地永遠采用古諾產量2,這樣廠商 2也被迫永遠采用古諾產量，從此得利潤4

56、。無限次重復博弈在偏離情況下總利潤的貼現值：+406255）（179/時，上述觸發策略是廠商2對廠商1同樣觸發 策略的最優反應。在上述情況下，實際上古諾模型巳經轉變為在兩種策略（壟斷產量 的一半1.5和偏離產量2.25）之間的囚徒困境博弈。,即博弈方不太看重未來利益時，我們曾經在無限次重復囚徒困境博弈中證明，當參與人有足夠耐心 雙方都采用觸發策略是一條子博弈精煉納什均衡路徑。在本例中， 足夠的耐心意味著qe.d.?較低程度的合作從上面分析可知，當 179/時，偏離是廠商2對廠商1的觸發策略的最優反應。這說明未 來收益折算成現值的貼現系數太小,即博弈方不太看重未來利益時，他就會只顧眼前利益，不會

57、為長遠打算，也不會害怕對方在未來的 報復，這時觸發策略構不成無限次重復博弈的納什均衡，更不是 spne。但這并不是說當采用古諾產量（不合作），實現每階段結果 為原博弈的低效率納什均衡的利潤。其實，雖然較小時因遠期利益的重要性不足，無限次重復博弈也不 能促使兩廠商把產量都控制在512）/q（m=的低水平（完美合作，或 高程度的合作），但是還是有可能使各廠商把產量都控制在比古諾 產量qq ）q.2222518，利潤為0625，高于不偏離觸發策略時第一階 段的利潤54.。1+=4206255.即179/。179/時，兩廠商就一定只能每階段都cq低的水平，即壟斷產量 一半）/q（m 2 （完美合作）和

58、古諾產量cq （完全不合作）之間的某 個中間產量水平基礎構造一種雙方共同采用的觸發策略：第一階段 生產q （該產量在）q ,q（，則繼續生產q （低程度的合作）。下面 我們以q為2/qm和古諾產量cq之間，待定）；在第t階段，如 果前q，否則生產q ,q（1 t階段的結果都是cq =2上方都采用該觸 發策略時，均衡路徑為每階段都是=（qq ）q（228 ），兩廠商的利潤 都為q ） q26。1=/最給定廠商1采用上述觸發策略，那么若廠商2也采=q ）q（26，無限 次重復博弈利潤的貼現值為用觸發策略，則他的每期利潤是11段的 最大利潤產量，則該產量必滿足：=26q ）q（。如果廠商2在某期開

59、始偏離，并根據廠商1的產量q決定自己該階q ）2qq（maxq2282 解得262/ ）q（q =，相應的利潤為462/）q（d，因此廠商2也只能采用 =2。但是，從第二階段開始，因為廠2=，從此利潤永遠為商1必然 報復性地采用古諾產量4=c1=/最=cqcq只有當不偏離時對應的總利潤貼現值大于上述偏離后的利潤 貼現值時，廠商2才不會偏離，)/(/)q(cd 4 + =+ 14621完全信息 重復博弈 11 / 26 即)/(/)q(9)/( q )3(q( 4 + 52 6 146 1q )2)6 2 亦即 0963 5 ) 9(q(時，廠商2才愿意采用觸發策略，否則)【沒有要求 必須等于肯

60、定會偏離。由于2 q，因此只有9q 5 992)(，只要大于該 值并小于古諾產量就可以了】時觸發策略是穩定的。也就是說，對 于給定的水平，它能夠支持的具有穩定性的最低合作產量=9 q q滿足：5 92)(q 0 q，越大，將來利益越重要，就越能支持低的子 博弈精煉納什均衡產量q。當0，即將來的利潤對博弈方來說幾乎無意義，2。當1790時，cqqqm2。越接近17? 9，q越接近2mq。無名氏定理上例中，當0，c qq ；當179/時，2/qqm q ；這意 味著如果179/，任何介于庫諾特均衡產量和壟斷產量之間的產量(即q ,2/qcm)都可能是觸發策略精煉均衡的一個特定結果。參與人選擇如下觸