1、含根式函數值域的求法含根式函數值域的求法含根式函數值域的求法創作時間：二零二一年六月三十天含根式函數值域的幾何求法之勘阻及廣創作創作時間：二零二一年六月三十天函數值域和最除夕夜值、最小值問題是高中數學中重要的問題,其求解的方法很多,罕有的解法有：察見解、配方法、均值不等式法、反函數法、換元法、鑒識式法、單調函數法、圖解法等.其中,利用數形結合來求函數的值域,特別是含根式函數的值域,擁有其共同的收效,它能夠把滿足題意的幾何圖形畫出來,生動形象的直觀圖,提示和啟示我們的解題思路,有時,圖形式直接供應了我們追求的謎底,因此,幾何法既能夠使題意更加明確,又能夠使運算獲得簡化.例1求函數y2x1x3的最

2、小值.解：由x30得：x3.u2x1(u5)v21(u5)(u5,v0)令vx3(v0),消去x得：2v21(u5)又在直線vuy上,如圖1,則點u,v在2的拋物線段上,易知,當直線與拋物線相切時,y取最除夕夜值,取y最小值.v21(u5)2聯立方程組vuy,消去u整理得：2v2vy50,由=0,圖1即：(1)242(y5)0創作時間：二零二一年六月三十天創作時間：二零二一年六月三十天41解得：y8.41原函數的最小值為8.評注：本題能夠利用代數換元法,將含根式函數的值域問題轉變成二次型函數在某區間上的值域問題,其解題過程中運算量其實不除夕夜,而且不難接受理解.因此,本題利用構造直線與拋物線進

3、行求解,并沒有真切表現出幾何解法的優越性.例2求函數y1x3x1的值域.解析：本題不能夠用換元法進行求解,因此,我們也來檢驗考試利用幾何解法.1x0解：由3x0解得：3x1.u1x(0u2)令v3x(0v2),消去x得：u2v24(0u2,0v2)則點u,v在u2v24的園弧上,又在直線vuy1上,圖2如圖2,顯然OAy1OB又OA2,OB221y221即為原函數所求的值域.例3求函數yx24x26x10的最小值.解析：當我們把yx24x26x10化為：y(x0)2(02)2(x3)2(01)2時,簡單聯想到兩點間距離.解：設P（x,0）,A（0,2）,B（3,1）,則問題轉變創作時間：二零二

4、一年六月三十天創作時間：二零二一年六月三十天為在x軸上找一點P,使得P到A、B兩點的距離之和最小.如圖3,易求得點A關于x軸的對稱點A/的坐標為（0,2）,則：APBPA/PBPA/B即為最小.yminA/B(03)2(21)223.評注：本題可用鑒識式法以及構造復數由模的重要不等式進行求解,可是鑒識式法計算量很除夕夜,不簡單求解,而復數法實質上就是上述解法的另一種形式,可見,利用數形結合求解含根式函數的值域,不只簡化認識題過程,而且在思想上提高了認識,對培養學生的創建力擁有重要的意義.例4求函數y1610 xx24014xx2的值域.解：由y1610 xx24014xx2得：y9(x5)29

5、(x2)522x(x2).我們能夠看到上式的右邊表示過函數u9(x5)2上自變量x相差2的任意兩點的直線的斜率,如圖u4,kCDy2kABB,C兩點的坐標分別為4,22,6,22圖4kCD2,kAB2y22即：22y22.2原函數的值域為22,22.創作時間：二零二一年六月三十天創作時間：二零二一年六月三十天例5求函數yx43x26x13x4x21的最除夕夜值.解：由已知函數得：y(x22)2(x3)2(x21)2(x0)2上式可看作拋物線uv2上的點P到點A（3,2）,B（0,1）距離之差的最除夕夜值,如圖5.由PAPBAB可知：當點P在AB的延長線上的P/處時,y取最除夕夜值AB.ymax

6、(30)2(21)210.圖5例6求函數y2x24(x2)27的值域.ux(0u4)解：令v4(x2)2(0v2),消去x整理得：(u2)2v24,y2u2v722(2)22u2v722(2)2則,2u2v7其中22(2)2是半園A：(u2)2v24（0v2）上點到直線l：2u2v70的距離,如圖6,從圓心A作ACl于C交半園ACE2u2v7BD于E,BDl22(2)2于D,則CEAC211222,2222圖62(2)CEy2(2)BD1142y15即為所求函數的值域.y12x2例7求函數x2的最除夕夜值.創作時間：二零二一年六月三十天創作時間：二零二一年六月三十天解析：把原函數化為的斜率公式.y12x20 x(2)時,我們就簡單聯想到兩點解：由.12x2022x20解得：2x2.ux(2u2)12x222令v(0v1),消去x整理得：2u2v21,y12x212x20 x2x(2).則12x202u2v2(2u2)上點P其中x(2)可看作是橢圓弧122與點Q（2,0）連線的斜率k,如圖7易知：當直線過點Q且與橢圓弧相切時,其斜率取最除夕夜值.2u2v21聯立方