1、高等數(shù)學(xué)第 6 章 節(jié)拉朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性第章 分值理其用1.格朗日值定理和函的單調(diào)性引言為了了解中值理的背景我們可作以敘述弧 上一點(diǎn) P該處的切線平行與弦 AB如何揭示出 這一敘述中所含的“數(shù)量關(guān)呢？聯(lián)系“形莫于“解析幾何，故如建立坐標(biāo)系，則弧 AB 的數(shù)是 y=f(x)，x a,b的圖像點(diǎn) P 的坐為 x 如點(diǎn) P 處切線，則 f）在點(diǎn) x 處可導(dǎo),且切線的斜率為 ) ;另方面弦 AB 所在的直線斜為f (b f (a) b ，曲線 y=f(x）點(diǎn) P 的線平行于弦 AB f) f b f ( a) b 撇開(kāi)上述幾何景，單單觀察上述數(shù)關(guān),可以發(fā)現(xiàn)：左邊僅涉函數(shù)的導(dǎo),右邊僅涉及函數(shù)在

2、端點(diǎn) 的函數(shù)值這這個(gè)公式就把函數(shù)及導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)在二者間架起了一座梁，這座“橋”就是數(shù)在研究函數(shù)方面用的理論基礎(chǔ)鑒于 a b) ，把類似公式稱為“中值公把類的定理稱為中值定 理剩下的問(wèn)題是中值定理何時(shí)成立呢觀察如下事實(shí)，可以發(fā)：如y=f(x)在a,b上不連續(xù)或不可導(dǎo)（無(wú)切線不一有上述結(jié)論的換言，如保證類似點(diǎn)P 存在，曲線 至是連續(xù)，而且處處 有切線反映函數(shù) （x）,即要求 y=f在a,b上連續(xù)，在（a,b)可導(dǎo)一、羅爾中值定理與拉格朗日中值定理1、羅中值定理定 61若 f滿足如下條件（1） f ;（2） f在a）內(nèi)可導(dǎo)；(3） f（a)= （b)，則在 使 f ) （分析由條（1)知 f 論在a

3、，b上有最大值和最小值，再由條件 (2)及用馬定理便可得到結(jié)證明:因?yàn)?在a,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值,分用 與 m 表,現(xiàn)兩種情況討論：(i)若 M ， 則 f在，b上必為常數(shù)，從而論顯然成立750 n 高等數(shù)學(xué)第 6 章 節(jié)拉朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性0 n (ii）若 m M，則因 f （a)= f 得大值 M 與最小值 至有一個(gè)（a，b)內(nèi)某點(diǎn) 處取得,從而 是 f 的極值點(diǎn)，由條件2) f 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，故由馬定理推知f) =0。Rolle 值定幾意義在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的連續(xù)曲線如果曲線兩端點(diǎn)高度同則至少存在一水平切線 （在具有水平的可微曲線上有水平線注定中的條件都是充分但非必要即

4、定理中三個(gè)條件缺不可1不可導(dǎo)不定存在2不連續(xù)， 不一定存在；3）f（a) f(b)，不一定存在一定存”意味著一般情況如下Rolle 定不再成立但仍可能有 f ) 的情形發(fā)生例 ( ) 上 ， ( ) 2 x, 0,1, f x) x 0 x x 在0,1例 1：設(shè) f 為 R 上可導(dǎo)函，證明：若方程 沒(méi)實(shí)根，則方程 f（x)=0 至多只一個(gè)實(shí)c例 2;已知 c 2c ,證明： p( x ) x 0 1 2 xnn 至有一正實(shí)根2 中值定理定 6若函數(shù) 滿如下條件：（1） 在閉區(qū)間 b 連續(xù)；（2) 在區(qū)間( a b ）內(nèi)可導(dǎo)；則(，b）至少存在一點(diǎn) ，使得f f (b f ( ) b （分析羅

5、爾定理拉格朗日中值定理 （a (b)的特殊情況應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù) F ( ) ，得 F ( x) 滿羅爾定理的條件1）(3） 且 f f ( f ( ) b ，從而推得F (x) f ( x f ( a) f ( ) ( a) b ( x , 證明：作輔助函數(shù)F ( ) f ( a) f ( b f ( a) b ( x 顯然，F(xiàn)（a）=F(b)(=0 F 在a，b上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在點(diǎn)76高等數(shù)學(xué)第 6 章 節(jié)拉朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性 (a，b）,使得即F f (b f ( af b f (b ( ) b 注 1羅爾理是拉格朗日中值定理 f ( a f (

6、 ) 時(shí)的特注 2Lagrange 中定理幾意義 在足格朗日中值定理?xiàng)l件的線 ( ) 上至少存在一點(diǎn) f ( 該曲線在該處的切線平行曲線兩端點(diǎn)的連線 我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù) ( ) 正是 曲線 y f ( ) 與線 ABy f ( ) f (b f ( ) b ( x 之差，事實(shí)上,這個(gè)輔助函數(shù)引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)平內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系,線 平行 新軸（F）=F（b注 3此定的證明提供了一個(gè)用構(gòu)造數(shù)證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范;同時(shí)通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換一般化為特殊，復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)的論證思想,也數(shù)學(xué)分析的重要而常用數(shù)學(xué)思維的體注 4拉朗日中值定理的結(jié)論常稱拉朗日公式，它有幾種常用等形式 可根

7、據(jù)同問(wèn)題的特 點(diǎn)，在不同場(chǎng)靈活采用：f ( ) ( a f),a )f ( ) f ( a) f )( ),(0,1)f ( ) ( ) 注 5拉格日中值定理的兩個(gè)條件彼有，并不彼此獨(dú),因?yàn)?f在a,b）可導(dǎo)以推出 在a，b）續(xù)，但反之不成立這兩個(gè)條件的“重疊”分去掉，改成函數(shù) f ( ) 在a）可導(dǎo)且 f ( x) 在 右連續(xù)在 b 左續(xù)”這樣，兩個(gè)條件互相立但文字贅且不便記憶,因此一般不這樣述例 3 設(shè) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo)且 f ( ) 在 I 上界，證明 f在 I 上足 Lipschitz 條例 4 設(shè) h 0 ，數(shù) f在 上導(dǎo)，證存在 ，得f ( a f ( a f ( )h f( a

8、 f( 例 5：證明對(duì)切 h-10 有式h1 ) 3、拉朗日中值定的幾個(gè)要推論77推 1 若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且 f高等數(shù)學(xué)第 6 章 節(jié)拉朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性 ， x I ， f 為 I 上的一個(gè)常量函數(shù)幾何意義:斜率處處為 0 的線一定是平行 x 軸的線推廣：若 f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且在（，b）中除有限個(gè)點(diǎn)外有 f ， f 在 I 上是常函數(shù)推 2若函數(shù) f 和 g 均 I 上可導(dǎo)且 f g , x I 在區(qū)間 I 上 f(x)與 只差一個(gè)常，即存在常數(shù) C，得 f ( x) g ( ) 例 6 證明）在-1，1恒有: x arccos x 2，且 f(2)在 有

9、： arctan x arc cot x 24、數(shù)極定推 3 設(shè)數(shù) f 在點(diǎn) x 的某鄰域U ( x ) 內(nèi)續(xù)在U ( ) 內(nèi)可導(dǎo)且 f0 0 x ) lim f0 x xx x 的導(dǎo)數(shù)例 7 求函數(shù) ( ) ln(1 ) x 存在，則 f 在點(diǎn) 可，0二、函數(shù)單調(diào)性定 63設(shè) f(x)在區(qū)間 上導(dǎo)則 f(x）在 I 上遞增減 f 0( .注 （1）個(gè)理的主要用途在于用它研函的單調(diào)性,確定單調(diào)間例 8設(shè) f ( x 3 x2，試討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間定 6若函數(shù) f 在(a,b可導(dǎo),則 f 在嚴(yán)遞增(減的充要條件一 x ,有 f 0(0) ）在a,b）的任何子區(qū)間上 f 推設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上微，若 f 0(0) ，則 f 在 I 上嚴(yán)格遞增（減)注（2）從現(xiàn)充分的證明中發(fā)現(xiàn)，若 f f ( ) f ( x ) ( f ( x ) f ( 2 2 1增（減)，而有如推論：，即 f 嚴(yán)遞注（3）上推論是格遞增（減)的個(gè)充分非必要條注（4）一問(wèn)題：（x)在上有義在a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（減么 f(x)在a,