1、1 第2章 MATLAB 語言基礎2本章目標掌握矩陣、向量、數組和多項式的構造和運算方法能夠使用常用的幾種函數進行一般的數值問題求解3主要內容2.1 向量2.2 矩陣2.3 數組 2.4 多項式 42.1 向量向量是矢量運算的基礎行向量列向量 52.1.1 向量的構造1直接輸入2利用冒號表達式“:”生成向量3利用函數生成向量1. 直接輸入法1. 直接法 輸入向量。 A=2,3,4,5,6 %采用空格和逗號分隔構成行向量A = 2 3 4 5 6B=4 5 6 7 8 9; %分號，表示不顯示結果 b=1; 3; 9; 10; 15; 16 %采用分號隔開構成列向量2.利用冒號表達式“:”生成向

2、量(1) 用線性等間距生成向量矩陣(start:step:end)式中：start 為向量的第一個元素， end 為向量最后一個元素的限定值， step 是變化步長，省略步長時系統默認為1。 A= 1: 2: 10, % 步長 step=2；遞增A = 1 3 5 7 9 B=1:10, % 省略步長時系統默認為1，step=1B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C=10 : -1 : 1, % 步長也可以是負值，step=-1，遞減C = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1注意：D=10:2:4, E=2:-1:10 % Empty matrix: 1-by-03. 利用

3、函數生成向量（1）a=linspace(n1,n2,n) 在線性空間上，行矢量的值從n1到n2，數據個數為n，缺省n為100。 a=linspace(1,10,10) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（2）a=logspace(n1,n2,n) 在對數空間上，行矢量的值從10n1到10n2，數據個數為n，缺省n為50。 a=logspace(1,3,3) a= 10 100 100092.1.2 向量的運算1點積：dot函數2叉積：cross函數例 a = 1 2 3; b = 4 5 6; c = dot(a, b) d = cross(a, b) c =32d = -3 6

4、-3 102.2 矩陣2.2.1 矩陣的構造2.2.2 矩陣下標與子矩陣提取2.2.3 矩陣的算術運算2.2.4 矩陣的關系運算2.2.5 矩陣的邏輯運算2.2.6 矩陣函數2.2.1 矩陣元素的存儲次序假設有一個 mn 階的矩陣A，如果用符號i 表示它的行下標，用符號j 表示它的列下標，那么這個矩陣中第i 行、第j 列的元素就可表示為A(i,j)。11122.2.2 矩陣元素的表示及相關操作A(m, n)提取第m行，第n列元素A(:, n)提取第n列元素A(m, :)提取第m行元素A(m1:m2, n1:n2)提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素A(m:end, n)提取從第

5、m行到最末行和第n列的子塊A(:)得到一個長列矢量，該矢量的元素按矩陣的列進行排列【例2.10】 元素的下標表示。A=1 2 3;6 5 4;8 7 9A(2,3), A(6) % 顯示矩陣中全下標元素A(2,3)和單下標元素A(6)的值ans =4ans =7A(1:2,3) %顯示矩陣A 第1、2 兩行的第3 列的元素值ans =34A(6:8) %顯示矩陣A 單下標第68 號元素的值，此處是用一向量表示一下標區間ans = 7 3 413矩陣元素的賦值(1) 全下標方式：在給矩陣的單個或多個元素賦值時，采用全下標方式接收。【例2.11】 全下標接收元素賦值。clear %不要因工作空間中

6、已有內容干擾了后面的運算A(1:2,1:3)=1 1 1;1 1 1 %可用一矩陣給矩陣A 的12 行13 列的全部元素賦值為1A =1 1 11 1 1A(3,3)=2 %給原矩陣中并不存在的元素下標賦值會擴充矩陣階數，注意補0 的原則14A =1 1 11 1 10 0 2(2) 單下標方式：在給矩陣的單個或多個元素賦值時，采用單下標方式接收。15【例2.12】 單下標接收元素賦值(續例2.11)。A(3:6)=-1 1 1 -1 %可用一向量給單下標表示的連續多個矩陣元素賦值A =1 1 11 1 1-1 -1 2 A(3)=0;A(6)=0 %用單下標對單一元素賦值A =1 1 11

7、1 10 0 216(3) 全元素方式：將矩陣B 的所有元素全部賦值給矩陣A，即A(:)=B，不要求A、B同階，只要求元素個數相等。【例2.13】 全元素方式賦值。 A(:)=1:9 %將一向量按列之先后賦值給矩陣A，A 在上例已被引用A =1 4 72 5 83 6 9 A(3,4)=16,B=11 12 13;14 15 16;17 18 19;0 0 0%擴充矩陣A，生成43 階矩陣B A(:)=B %將43 階矩陣B 按列全部賦給34 階矩陣A矩陣元素的刪除clearA(2:3,2:3)=1 1;2 2 %生成一新矩陣AA =0 0 00 1 10 2 2 A(2,:)= %刪除A 矩

8、陣的第2 行，“：”可表示所有行或列A =0 0 00 2 217在MATLAB 中，可以用空矩陣(用表示)將矩陣中的單個元素、某行、某列、某矩陣子塊及整個矩陣中的元素刪除。 A(1:2)= %刪除新矩陣A 的前兩個單下標元素，矩陣變成向量A =0 2 0 2 A= %刪除所有元素A =182.2.1 矩陣的構造1、直接輸入法2、抽取法3、拼接法4、函數法5、拼接函數和變形函數法6、加載法7、M 文件法191、直接輸入法通過直接輸入矩陣的元素構造矩陣：(1) 矩陣的所有元素必須放在方括號()內；(2) 每行的元素之間需用逗號或空格隔開；(3) 矩陣的行與行之間用分號或回車符分隔；(4) 元素可

9、以是數值或表達式。 數據元素可以是表達式，系統將自動計算結果例：輸入矩陣A、B、C的值x=27;y=3;A=1 2 3;4 5 6; B=2,3,4;7,8,9;12,2*6+1,14; %用分號分隔矩陣各行C=3 4 57 8 x/y10 11 12; %用回車符分隔矩陣各行A,B,C20其運算結果為A =1 2 34 5 6B =2 3 47 8 912 13 14C =3 4 57 8 910 11 1221例：輸入矩陣A、B的值A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16B=1,sqrt(25),9,132,6,10,7*23+sin(pi),

10、7,11,15，4,abs(-8),12,162、抽取法1) 用全下標方式抽取法是從大矩陣中抽取出需要的小矩陣(或子矩陣)。線性代數中分塊矩陣就是一個典型的從大矩陣中取出子矩陣塊的實例。clearA=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16B=A(1:3,2:3)% 取矩陣A 行數為13，列數為23 的元素構成子矩陣BC=A(1 3,2 4) %取矩陣A 行數為1、3，列數為2、4 的元素構成子矩陣CC =2 410 12D=A(4,:) %取矩陣A 第4 行，所有列，“：”可表示所有行或列D =13 14 15 16E=A(2 4,end) %取1、4 行

11、，最后列，用“end”表示某一維數中的最大值E =816232) 用單下標方式【例2.17】 用單下標抽取法建立子矩陣。clearA=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16A =1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16B=A(4:6;3 5 7;12:14)B =13 2 69 2 1015 4 8243.矩陣拼接法行數與行數相同的小矩陣可在列方向擴展拼接成更大的矩陣。同理，列數與列數相同的小矩陣可在行方向擴展拼接成更大的矩陣。【例2.18】 小矩陣拼成大矩陣。clear A=1 2 3;4 5 6;7 8 9,B=9 8;7

12、 6;5 4 E=A B;B A注意：分號表示換行4. 函數法一些常用的特殊矩陣單位矩陣：eye(m,n); eye(m)零矩陣：zeros(m,n); zeros(m)一矩陣：ones(m,n); ones(m)對角矩陣：對角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)隨機矩陣：rand(m,n)產生一個mn的均勻的隨機矩陣26語句生成矩陣舉例： eye(2,3)ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3)ans= 0 0 0 0 0 0 ones(2,3)ans= 1 1 1 1 1 1 V=5 7 2; A=diag(V)A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2 eye(

13、2)ans= 1 0 0 1 zeros(2)ans= 0 0 0 0 ones(2)ans= 1 1 1 1如果已知A為方陣，則V=diag(A)可以提取A的對角元素構成向量V。5. 拼接函數和變形函數法(1)拼接函數法是指用cat 和repmat 函數將多個或單個小矩陣或沿行、或沿列方向拼接成一個大矩陣。cat 函數的使用格式是：cat(n,A1,A2,A3,)， n=1 時，表示沿行方向拼接； n=2，表示沿列方向拼接。 n 可以是大于2 的數字，此時拼接出的是多維數組，2.4.2 節將會加以討論。repmat 函數的使用格式是：repmat(A,m,n)， m 和n 分別是沿行和列方向

14、重復拼接矩陣A的次數。28【例2.20】 用cat 函數實現矩陣A1 和A2 分別沿行向和沿列向的拼接。 A1=1 2 3;9 8 7;4 5 6,A2=A1.A1 =1 2 39 8 74 5 6A2 =1 9 42 8 53 7 629 cat(1,A1,A2,A1) %沿行向拼接ans =1 2 39 8 74 5 61 9 42 8 53 7 61 2 39 8 74 5 6 cat(2,A1,A2) %沿列向拼接ans =1 2 3 1 9 49 8 7 2 8 54 5 6 3 7 6用repmat 函數對矩陣拼接【例2.21】 用repmat 函數對矩陣A1 實現沿行向和沿列向的

15、拼接(續例2.20)。 repmat(A1,2,2)ans =1 2 3 1 2 39 8 7 9 8 74 5 6 4 5 61 2 3 1 2 39 8 7 9 8 74 5 6 4 5 630repmat(A1,2,1)ans =1 2 39 8 74 5 61 2 39 8 74 5 6 repmat(A1,1,3)ans =1 2 3 1 2 3 1 2 39 8 7 9 8 7 9 8 74 5 6 4 5 6 4 5 6(2) 變形函數法主要是把一向量通過變形函數reshape 變換成矩陣，當然也可將一個矩陣變換成一個新的、與之階數不同的矩陣。reshape 函數的使用格式是：r

16、eshape(A,m,n)， m 和n 分別是變形后新矩陣的行列數。31【例2.22】 用變型函數生成矩陣A=linspace(2,18,9)A =2 4 6 8 10 12 14 16 18B=reshape(A,3,3) %注意新矩陣的排列方式，從中體會矩陣元素的存儲次序結果演示：B =2 8 144 10 166 12 1832a=20:2:24; b=a.; %生成3 個元素的列向b，便于將矩陣B 擴展成34 階的矩陣CC=B b, D=reshape(C,4,3) %將34 階的矩陣C 變形成43 階的矩陣D結果演示：C =2 8 14 204 10 16 226 12 18 24D

17、 =2 10 184 12 206 14 228 16 246. 加載法所謂加載法是指將已經存放在外存中的.mat 文件讀入MATLAB 工作空間中。這一方法的前提是：必須在外存中事先已保存了該.mat 文件且數據文件中的內容是所需的矩陣。在用MATLAB 編程解決實際問題時，可能需要將程序運行的中間結果用.mat 保存在外存中以備后面的程序調用。這一調用過程實質就是將外存中的數據(包括矩陣)加載到MATLAB 內存工作空間以備當前程序使用。337. M 文件法M 文件法和加載法其實十分相似，都是將事先保存在外存中的矩陣讀入內存工作空間中，不同點在于加載法讀入的是數據文件(.mat)，而M 文

18、件法讀入的是內容僅為矩陣的.m文件。M 文件一般是程序文件，其內容通常為命令或程序設計語句，但也可存放矩陣，因為給一個矩陣賦值本身就是一條語句。在程序設計中，當矩陣的規模較大，而這些矩陣又要經常被引用時，若每次引用都采用直接輸入法，這樣既容易出錯又很笨拙。一個省時、省力而又保險的方法就是：先用直接輸入法將某個矩陣準確無誤地賦值給一個程序中會被反復引用的矩陣，且用M 文件將其保存。每當用到該矩陣時，就只需在程序中引用該M 文件即可。342.3.1 矩陣元素的存儲次序2.3.4 矩陣的代數運算1. 求矩陣行列式2. 矩陣加減、數乘與乘法3. 求矩陣的逆矩陣4. 矩陣的除法5. 求矩陣的秩6. 求矩

19、陣的特征值與特征向量7. 矩陣的乘冪與開方8. 矩陣的指數與對數9. 矩陣轉置10. 矩陣的提取與翻轉351.求矩陣行列式例2.24】 求給定矩陣的行列式值。 A=3 2 4;1 -1 5;2 13, D1=det(A)A =3 2 41 -1 52 -1 3D1 =2436 B=ones(3),D2=det(B), C=pascal(4),D3=det(C)B =1 1 11 1 11 1 1D2 =0求矩陣行列式的值 由函數det(A)C =1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20D3 =1372. 矩陣加減、數乘與乘法 矩陣的加減：對應分量進行運算 矩陣的普通乘法參

20、與加減運算的矩陣具有 相同的維數！A=1 3;2 1;B=3 0;1 2;A+B參與運算的矩陣須滿足線性代數中矩陣相乘的原則！ 2*A 2*A-3*B A*B383求矩陣的逆矩陣 A=1 0 1;2 1 2;0 4 6A =1 0 12 1 20 4 6 format rat; A1=inv(A)A1 =-1/3 2/3 -1/6-2 1 04/3 -2/3 1/64. 矩陣的除法左除即AB=inv(A)*B，右除即A/B=A*inv(B)【例2.27】 求下列線性方程組的解39解：此方程可列成兩組不同的矩陣方程形式。A=1 4 -7 6;0 2 1 1;0 1 1 3;1 0 1 -1;B=

21、0;-8;-2;1; x=ABx =3.0000-4.0000-1.00001.0000由此可見，AB 的確與inv(A)*B 相等。40 inv(A)*Bans =3.0000-4.0000-1.00001.0000一是，設X=x1;x2;x3;x4為列向量，矩陣A= 1 4 7 6;0 2 1 1;0 1 1 3;1 0 1 1，B=0;-8;-2;1為列向量，則方程形式為AX=B，其求解過程用左除：右除AB ？= inv(A)*B二是，設X=x1 x2 x3 x4為行向量，矩陣A=1 0 0 1;4 2 1 0;-7 1 1 1;6 1 3 -1，矩陣B=0 8 2 1為行向量，則方程形

22、式為XA=B，其求解過程用右除：41A=1 0 0 1;4 2 1 0;-7 1 1 1;6 1 3 -1,B=0 -8 -2 1,x=B/Ax =3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000 B*inv(A)ans =3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000由此可見，A/B 的確與B*inv(A)相等。左除A/B ？= B*inv(A)5. 求矩陣的秩由函數rank(A)完成。【例2.28】 求矩陣的秩。 B=1 3 -9 3;0 1 -3 4;-2 -3 9 6,rb=rank(B)B =1 3 -9 30 1 -3 4-2 -3 9 6rb =2426.

23、求矩陣的特征值與特征向量43求矩陣的特征值與特征向量 X,=eig(A) X-矩陣A的特征向量 -矩陣的特征值 A=1 -3 3;3 -5 3;6 -6 4, X,Lamda=eig(A)X =0.4082 0.4082 -0.12030.4082 -0.4082 -0.75950.8165 -0.8165 -0.6393Lamda =4.0000 0 00 -2.0000 00 0 -2.0000447. 矩陣的乘冪與開方矩陣的開方運算由函數sqrtm(A)實現。 A=1 -3 3;3 -5 3;6 -6 4; A3 A1.2 3A A1=sqrtm(A) A128. 矩陣的指數與對數矩陣指

24、數運算的函數有多個，例如expm( )、expm1( )、expm2( )和expm3( )等，其中最常用的是expm(A)；對數運算函數：logm(A)。45 A=1 -1 1;2 -4 1;1 -5 3A =1 -1 12 -4 11 -5 3 Ae=expm(A)Ae =1.3719 -3.7025 4.48100.3987 -2.3495 2.9241-2.5254 -7.6138 9.5555 Ael=logm(Ae)Ael =1.0000 -1.0000 1.00002.0000 -4.0000 1.00001.0000 -5.0000 3.00009. 矩陣轉置單純的轉置運算可以

25、用函數transpose(Z)實現 a=1:9 A=reshape(a,3,3) B=A Z=A+i*B Z transpose(A) transpose(Z)4610. 矩陣的提取與翻轉矩陣的提取和翻轉是針對矩陣的常見操作。在MATLAB 中，這些操作都由函數實現，47函 數功 能函 數功 能triu(A)提取矩陣A 的右上三角元素，其余元素補0tril(A)提取矩陣A 的左下三角元素，其余元素補0diag(A)提取矩陣A 的對角線元素flipud(A)矩陣A 沿水平軸上下翻轉fliplr(A)矩陣A 沿垂直軸左右翻轉flipdim(A,dim)矩陣A 沿特定軸翻轉。dim=1，按行翻轉；d

26、im=2，按列翻轉rot90(A)rot90(A,k)矩陣A 整體逆時針旋轉90逆時針旋轉 k90 度【例2.33】 矩陣提取與翻轉。 a=linspace(1,23,12) A=reshape(a,4,3) fliplr(A) flipdim(A,2) flipdim(A,1) triu(A) tril(A) diag(A)48492.4 數組 運 算數組運算方式是一種元素對元素的運算（不按照線性代數的規則） ；除了加、減法的與矩陣相同以外，乘、除、冪的數組運算符都是通過在標準的運算符前面加一個圓點來生成。2.4.1 多維數組元素的存儲次序多維數組元素的存儲次序實際就是二維數組(或矩陣)元素

27、存儲原則的擴展。以一個mnl 的三維數組A 為例，考慮到它是由多個mn 的二維數組(表)疊放而成的，如果用符號i 表示每個二維數組(表)的行下標，用符號j 表示每個二維數組(表)的列下標，另外再用符號k 表示數組A 的另一維(稱為頁的)下標，那么數組A 中第i 行、第j 列、第k 頁的元素就可表示為A(i,j,k )。5051例如，要將一個322 的三維數組B 存儲在計算機中，其元素的存儲次序就按表2-11所列序號存放。表2-11 數組B 的各元素存儲次序序號元 素序號元 素序號元 素序號元 素1B(1,1,1)4B(1,2,1)7B(1,1,2)10B(1,2,2)2B(2,1,1)5B(2

28、,2,1)8B(2,1,2)11B(2,2,2)3B(3,1,1)6B(3,2,1)9B(3,1,2)12B(3,2,2)2.4.2 多維數組的創建單從形式上講，向量即是一種一維數組，而矩陣是一種二維數組。從這一理解出發，創建一維數組和二維數組的方法已經在前面兩節講過了。因此，本小節只準備介紹3 種三維以上數組的創建方法。它們分別是下標賦值法、工具陣函數法、拼接和變形函數法52531. 下標賦值法【例2.34】 創建一個兩頁的三維數組。 A=1,2,3;4 5 6;7,8,9;B=reshape(10:18,3,3).; %創建兩個二維數組 C(:,:,1)=A; C(:,:,2)=B; %將

29、A、B 分別賦給三維數組的頁下標1、2 C %顯示三維數組C，留意三維數組的表示形式C(:,:,1) =1 2 34 5 67 8 9C(:,:,2) =10 11 1213 14 1516 17 182. 工具陣函數法【例2.35】 用zeros、ones、rand 和randn 函數生成多維數組。54 zeros(2,3,3) ones(2,3,2,2) rand(2,3,2)3. 拼接和變形函數法【例2.36】 用cat 和repmat 函數創建三維數組。55 A1=1 2 3;9 8 7;4 5 6,A2=A1.A1 =1 2 39 8 74 5 6A2 =1 9 42 8 53 7

30、6 cat(3,A1,A2) %數字3 表示在頁方向上拼接，形成有兩頁的三維數組，參見2.3.3 節ans(:,:,1) =1 2 39 8 74 5 6ans(:,:,2) =1 9 42 8 53 7 6 repmat(A1,1,1,2) %數字2 表示在頁方向上放兩個矩陣A1，形成共有兩頁的三維數組ans(:,:,1) =1 2 39 8 74 5 6ans(:,:,2) =1 2 39 8 74 5 6【例2.37】 用reshape 函數變形生成三維數組。56 A=1:18 reshape(A,3,3,2) %體會三維數組元素的存放次序ans(:,:,1) =1 4 72 5 83

31、6 9ans(:,:,2) =10 13 1611 14 1712 15 182.4.3 數組的代數運算數組的加減、數乘與乘法【例2.38】一維和二維數組的加減乘運算。 A1=6 5 4 3 2 1;B1=1 2 3 4 5 6; C1=A1+B1,C2=C1-B1,C3=A1.*B1 A2=reshape(A1,2,3),B2=reshape(B1,2,3) D1=A2+B2,D2=3.*A2,D3=A2.*B2 A3=cat(3,D2,D3),B3=repmat(D1,1,1,2) A3.*B3 %體會三維數組對應元素相乘的含義572. 數組的除法為了與矩陣運算相對應，數組的除法運算也分左

32、、右除來定義，【例2.40】 用例2.38 的數據做數組的左右除。 D1./4 4./D1 A3./B3 B3.A3583. 數組的乘冪與開方數組的冪運算符是.，但數組的開方運算需借助開方函數sqrt 才能完成【例2.41】對23 的二維數組A的乘冪與開方運算 A=1 2 3;4 5 6; A2p=A.2, App=A.1.5 As=sqrt(A) App1=sqrt(A.3) %請與A.1.5 的結果相比較594. 數組的指數與對數【例2.42】 求數組A 的指數和對數。 A=1 2 3;4 5 6A =1 2 34 5 6 Ae=exp(A),Al=log(A)Ae =2.7183 7.3

33、891 20.085554.5982 148.4132 403.4288Al =0 0.6931 1.09861.3863 1.6094 1.7918605. 數組或矩陣的單純轉置單純轉置運算其運算符.。與矩陣的轉置運算符 相比較，它不具備轉置的同時完成共軛運算的功能，所以它是單純轉置的，對復矩陣也是如此。 a=1 2 3;4 5 6;b=2 3 4;5 6 7; A=a+i*bA =1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 3.0000i 3.0000 + 4.0000i4.0000 + 5.0000i 5.0000 + 6.0000i 6.0000 + 7.0000i B=A.B =1.0000 + 2.0000i 4.0000 + 5.0000i2.0000 + 3.0000i 5.0000 + 6.0000i3.0000 + 4.0000i 6.0000 + 7.0000i612.4.4 數組的關系與邏輯運算數組的關系運算mod(A,B)是一個求余函數，用于求A 除以B 的余數。若整除，其余數為0，那么，mod(A,B)=0 的結果就為1，否則為0。矩陣P 正反映了這一結果。 A=magic(6) P=mod(A,3)=062P =0 0 1 0 0 11 0