1、狀態空間分析法的主要特點及其應用引言60年代以前，研究自動控制系統的傳統方法主要使用傳遞函數作為系統的數學 描述，研究對象是SISO系統，這樣建立起來的理論就是現在所說的“古典控制 理論”。隨著宇航和生產技術的發展及電子計算機的出現，控制系統日漸復雜 （MIMO,時變，不確定，耦合，大規模），傳統的研究方法難以適應新的形勢。在50s后期，Bellman等人提議使用狀態變量法，即狀態空間法來描述系統，時 至今日，這種方法已成為現代控制理論的基本模型和數學工具。所謂狀態空間是指以狀態變量X1，X2 Xn為軸所構成的n維向量空間。這 樣，系統的任意狀態都可以用狀態空間中的一個點表示。利用狀態空間的觀

2、點分 析系統的方法稱為狀態空間法，狀態空間法的實質不過是將系統的運動方程寫成 一階微分方程組，這在力學和電工上早已使用，并非什么新方法，但用來研究控 制系統時具有如下優點。1、適用面廣：適用于MIMO、時變、非線性、隨機、采樣等各種各樣的系 統，而經典法主要適用于線性定常的SISO系統。2、簡化描述，便于計算機處理：可將一階微分方程組寫成向量矩陣方程， 因而簡化數學符號，方便推導，并很適合于計算機的處理，而古典法是拉氏變換 法，用計算機不太好處理。3、內部描述：不僅清楚表明I-O關系，還精確揭示了系統內部有關變量及 初始條件同輸出的關系。4、有助于采用現代化的控制方法：如自適應控制、最優控制等

3、。上述優點便使現代控制理論獲得了廣泛應用，尤其在空間技術方面還有極大成 功。狀態空間法的缺點：1、不直觀，幾何、物理意義不明顯：不象經典法那樣， 能用Bode圖及根軌 跡進行直觀的描述。對于簡單問題，顯得有點煩瑣。2、對數學模型要求很高：而實際中往往難以獲得高精度的模型，這妨礙了它的 推廣和應用。2.狀態空間分析法在部分系統中的應用2.1狀態空間分析法在PWM系統中的應用狀態空間分析法不僅適用于時變系統（例如PWM系統），而且可以將其簡 化，同時便于計算機處理。在許多控制系統中，包括直流和交流電源系統，采用了脈沖寬度調制（衛WM） 方式。可用于計算機和重要負荷的UPS（不停電供電電源），采用P

4、WM，除對輸 出電壓進行調節外，還可通過合理選擇每周期脈沖數，消除指定的高次諧波，并 可加快系統的動態響應速度。在對DC 一 Dc變換器等只具有正脈沖調制的系統 分析中，如滿足一定條件，則可運用狀態空間平均值法。對交變的PWM系統， 每周期系統狀態變化較大，有的變量正負值交替變化，因而不能運用平均值法分 析，故采用狀態空間分析方法。PWM系統通常均含開關器件，不同的脈沖間隔對應于開關器件的不同狀態， 即器件的導通或開斷。開關狀態的變化引起系統結構或參數的變化，則描述系統 運動過程的狀態方程也相應改變。設輸出脈沖波形如圖i所示，每周期有k個脈沖，正負脈沖數各一半，且設 每個脈沖前沿可調，其時刻記

5、為tj，j=1，3, 5,，2k 一 1，為奇數;脈沖后沿固定，記為t1=2, 4，2k,為偶數。記在時間-thi內狀態方程的系統矩陣人，輸入矩陣B和輸出矩陣C分別記為AhBhChh=1, 2，2k。 則系統在各脈沖間隔內的狀態方程為： X = A X + B.Uy=Ch x TOC o 1-5 h z T 一、.由于一周期T內各脈沖寬度相等;記為巳。兩個脈沖間隔為K。則零電平寬度為h n = K -氣。對各區間引入邏輯變量q (t)。) T (n中亍)T OHe擊(t-【1 (n -七T + HEt()丁d，(t )=1-d (t)ii則描述多脈沖系統的多組狀態方程式可寫成如下一個完整的表達

6、式： X (t L A (t )X (t)+ B (t U (t)y (t L C (t) X (t)式中從)=工 d (t )氣_1+d (t 如 B(t)=工 d (t)B2 + d (t 如. C(t)=2d (t)C . + d (t)c i=1分析對上式有以下結論：、多脈沖調制系統為時變系統，其狀態方程具有時變系數A(t), B(t), C(t)。(2)、如果Dj const，系統處于定寬穩定工作狀態，即在無擾動情況下，PWM 系統為周期時變的線性系統，其周期為T，即有A(t)= A(t + T)，B(t)=B(t + T)， C (t )= C (t + T )(3)、在擾動及控制

7、作用下，氣,H n，A(tB(t)為系統狀態與激勵的函數，此時系 統為時變非線性的。有 di )=l當系統存在擾動作用時，設U(t)= U + U (t) D = D + d , H = T - 有 di )=l TOC o 1-5 h z sgn(Dn-D),te(n+)T-Dn, n+ T-D k，0，其它+1z0式中sgn(z)= 0如果z = 0-1z 0系統狀態變量在擾動作用下變化為:x (t)= X + X Q在無擾動作用時則系統的穩態方程為：壹d(t)A + 尚)+Ed& + gXi 2i-1 i 2ii 2i-1 i 2ii =1i=1由于所選狀態量在逆變器改變工作量較大。由于

8、所選狀態變量在逆變器改變工作 狀態時均為連續的，故采用遞推方法求解。狀態方程組采用定步長四階龍格一庫 格法求解，步長h=0.0004s，計算換向過程的步長改為h=0.00001s通過計算機進 行求解。多脈沖寬度調制系統由于其內部非線性開關器件狀態的變化，使其電路結構 或參數也發生相應變化，因而描述系統運動過程需用多組狀態方程，即為非線性 時變系統。在引入一些反映系統工作特點的變量后，通過給出完整的系統狀態方 程式和當存在擾動系統進行PWM時系統的穩態及動態方程，并求出了穩態解。 用這些方程可對系統進行計算機輔助分析。這種方法還可用于系統的CAD，例 如改變濾波器的結構或參數，通過計算對各種方案

9、進行比較，從中擇優。2。2狀態空間分析法在化工系統中的應用狀態空間分析法不僅適用于多變量、非線性的系統，而且可以用于系統預測， 能從一定深度上揭示系統運動的規律和機制，較全面地反映系統各種因素和變量 之間的相互聯系。化工過程通常是多變量、非線性的，將過程多個變量反映到一個多維狀態數 據空間里，采用狀態空間方法分析可以更全面、直觀和有效地描述過程狀態的變 化。多變量分析方法中的主成分分析PCA(Principle Component Analysis)是目前常 用的方法。獨立成分分析ICA(Independent Component Analysis)是近幾年在PCA 基礎上發展起來的一種新方法

10、，分解出的各分量之間相互獨立的特點，使ICA 在信號處理領域，尤其是盲源信號分離(Blind Source Separation)方面受到廣泛的 關注。化工過程的狀態空間是確定的，可以通過過程的性質作出確定地判斷。通 過ICA算法從狀態空間中計算出對應的獨立分量，實現了過程狀態空間確定。 通過仿真，證實了這種狀態空間確定方法的合理性。2。2。1多變量化工過程的狀態空間表征系統運動的信息稱為系統狀態(States)，確定系統狀態的一組獨立(數目 最少的)變量稱為狀態變量。如果狀態變量有n個，一般記為X1，X2，Xn。 把描述系統狀態的狀態向量看作向量X的分量，則稱X為n維狀態向量，記為 X XX

11、2 X T，時間總是獨立的，在狀態空間中獨占一維，給定t=t0時初 始狀態向量X(t0)及tNt0的輸入向量，則tNt0的系統狀態可由狀態向量X(t)唯 一確定。如果用函數進行表示，則:State=f(符合基本單位變量的集)。下面分別對各子集中所包含的變量進行枚舉：時間是統一的，t集合中元素個數等于1。M和N是有關體系物料組成的變 量，在過程中如果總共存在k種物質，那么可以對應于i個獨立組成成份。物質 的質量和量(摩爾數)存在線性相關，可以用系統所包含的原子數乘原子量(常數) 得到質量，所以，M和N的交集中元素的數目為汀按照集中參數考慮系統，那 么溫度在均勻流股中是一致的，用一個變量表示，T集

12、合中的元素個數等于1。 在L集中，用長度描述三維幾何空間，空間中所有變量，都可以表示為不大于3 個長度變量的線性組合，所以L集的元素個數不大于3,其個數用j表示。在上 述集合之間不存在交集，因此作為上述集合的并集，系統中具有基本單位變量的 集合中，元素的個數等于各子集的元素數量之和。通過以上推論，得到結論:描述一個正常運行的化工過程，按照集中參數進 行考慮，用來描述其狀態的獨立變量數目DN=2+i+j式中i表示系統中獨立組分 的數量，iN1;j表示需要考慮的三維幾何空間的維數，j3。如果用時間序列對 系統進行描述，時間序列的數目SLN=1+i+j。根據Duhem定律，考慮的是系統 的穩態行為，

13、流股按照線性描述，依據本文所述結論:1+1+i=i+2。結論是一致的。 確定了空間維數，可以找出和維數對應的實際存在的或者概念上定義的最小變量 組作為狀態變量對系統進行描述，同時選擇有效信息損失最少和更符合過程機理 特征的算法來表征系統特性。2.2.2多變量統計方法和狀態空間的確定在一定的鄰域內，非線性化工過程可以按照線性系統描述以簡化問題的難 度。按照線性狀態空間，確定的空間內的變換不會增加空間維數。多變量分析方 法的樣本存在于狀態空間中或通過狀態輸出方程來表達。采用多變量統計的方法 在數據空間內進行變換，可以實現變量去相關和特征提取，從而獲得不相關的變 量組。對于線性系統，多變量線性統計方

14、法的不相關分量數目等于系統狀態變量 數目，得到的不相關分量是狀態空間坐標變換后的一組狀態變量;對于非線性的 線性近似，當指定了最小變量數目后，通過多變量統計方法獲得的變量組也可以 被認為是線性近似的狀態變量的線性變換。狀態空間可以通過多變量統計來近似 確定。2。2。2。1主成分分析主成分分析是應用最廣的多變量統計方法，該方法在數據空間內尋找原始數 據樣本的離差最大方向，通過去相關確定一個正交坐標系，按照離差降低順序， 選取其中主要的幾個向量(主成分或主元)，省略樣本分布密度低的向量完成數據 降維。Karhunen-Loeve變換(KL變換)是線性主成分分析的空間變換方法。KL變 換的原理如下:

15、設X是經標準化的含m個變量n個樣本的樣本集，矩陣X可以分 解為m個向量的外積之和。TTTX= t|p| + t2p2 + 升 tmpmT= t t2 tn 即x= ipj 或 r= xp式中T稱為得分(Score)矩陣。P稱為負荷(Load-ing)矩陣，即多維空間內的 正交坐標系，其中 pTp = 0(i#j)， pTp =1(i=j)。A= X)式中A是P的特征值數組。主成分Tj對系統信息貢獻率：卜N Sa從統計學觀點，累計主成分貢獻率大于80%，可認為能夠基本反映系統信息。 分量貢獻率是目前多。變量分析方法判斷能否正確反映系統的一個重要標準。 KL變換是線性的，非線性狀態可以用線性方法近

16、似描述。以下算例通過分量貢 獻率來說明多變量統計方法描述的近似程度。構造矩陣X1，X2，X3:X 1X2X3lx，x，x + 3x ,3x + 5x X 1X2X3 TOC o 1-5 h z I 121212Ik，x，x 3-5 + 3x ,3x + x 4，x 3-5 + x 412121212 ILx + x /20，x + x /20,x + x + x /201323123式中，xl, x2, x3是由Matlab產生的隨機數組。ki=2.906 0ki=2.906 0L 094 0 0 0.2= 3.221 3 L639 8 0.1304 0.008 4 0.000 1&3=L 9

17、48 1 L 046 0 0. 005 9.X1，X2存在于x1，x2構成的2維數據空間，X3疊加了幅度為5%的x3，看作 是一維噪聲。選取2主成分的情況下，X1，X2, X3的主成分貢獻率分別為100%， 97%，99%。對于線性系統主成分個數等于空間維數，線性PCA完全描述系統; 對于非線性系統，按照線性PCA計算可以很大程度上準確描述系統;噪聲會增加 數據空間的維數。采用線性多變量統計分析，在滿足統計準確度的前提下，其主 成分個數和狀態空間的維數一致。KL變換也是ICA算法的基礎，ICA計算和PCA 一致。在仿真分析中，狀態空間維數的判定和PCA分量貢獻率對比結果一致。 獨立成分分析2.

18、2.2.2獨立成分分析在主成分分析的基礎上，獨立成分分析的目的在于通過線性變換，使得所獲 取的分量不僅不相關，而且彼此獨立。設xi;i= 1，2,，L為一組觀測信號樣 本，si;i= 1，2,，K為一組相互獨立的信號源，其中xi=(xi(0)，xi(N-1)， 為了便于分析，將它們表示為列向量的形式si=(si(0)，si(N-1)。， 得:X = (x1，x2xl)t，S = 1，s2.sk。X中的各分量是由S中各獨立源線性 組合而成。即Xj= Hj |S |+ Jj2S2+ BjkSK =K皿料 (i = 1.2,L)i可用矩陣形式表示為X= AS式中A為LxK維常系數矩陣，矩陣系數aij是未知的。ICA的任務是在系數矩陣 A和信號源S未知的前提下，從觀測信號X中分離出信源S的各分量，即需要 尋找一分解矩陣W對觀測信號X進行分離，如式S= WX分離的結果是對源信號s的良好的逼近。PCA和ICA都是多元統計分析方法，PCA去除各分量之間的相關性，PCA 構造的坐標系是正交的。ICA不僅實現了去相關（二階統計獨立），而且要求各高 階統計量獨立，尋