1、 5/52021年高考文科數學模擬試卷 2020年高考文科數學模擬試卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題檢出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（共12題；共60分） 1.設復數滿足，其中為虛數單位，則（） A. B. 2 C. D. 2.設全集UR，集合，則集合( ) A. B. C. D. 3.已知，則( ) A. B. C. D. 4.已知等比數列的首項為，且，則（） A. B. C. D. 5.函數的圖像大致為（） A. B. C. D. 6.某中學高三（1）班有學生55人，現按座位號的編號采用系統抽樣的方法選取5名同學參加一項活動，已知座位號為5號、16

2、號、27號、49號的同學均被選出，則被選出的5名同學中還有一名的座位號是（） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 7.（） A. B. C. D. 8.已知菱形的邊長為2，點滿足，若，則 （） A. B. C. D. 9.執行如圖的程序框圖，則輸出的值為（） A. 1 B. C. D. 0 10.已知雙曲線-y2=1的一條漸近線方程是y= x，則雙曲線的離心率為（） A. B. C. D. 11.數書九章中對己知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補了我國傳統數學的一個空白與著名的海倫 公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半

3、之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幕減上，余四約之，為實一為從隅，開平方得積”若把以上這段文字寫成公式，即，現有周長為的滿足：，試用以上給出的公式求得的面積為 A. B. C. D. 12.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點.若 的中點坐標為，則的方程為（） A. B. C. D. 二、填空題（共4題；共20分） 13.函數的圖像在點處的切線垂直于直線，則 _. 14.若數列的首項，且；令，則 _ 15.函數的最大值為_ 16.把三個半徑都是2的球放在桌面上，使它們兩兩相切，然后在它們上面放上第四個球（半徑是2），使它與下面的三個球都相切，則第四個球的最高點與桌面的距離為_ 三、解答題：共

4、70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（共5題；共60分）17.為了調查喜歡旅游是否與性別有關，調查人員就“是否喜歡旅游”這個問題，在火車站分別隨機調研了 名女性或名男性，根據調研結果得到如圖所示的等高條形圖. 參考公式： ，其中（1）完成下列列聯表： （2）能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為“喜歡旅游與性別有關”. 附： 18.在中，、分別是的三個內角、所對的邊，已知 （1）求證：、成等差數列； （2）求角的取值范圍 19.如圖，四棱錐中，底面是正方形，是正方形 的中心，底面，是的中點求證： （

5、）平面； （）平面平面 20.已知函數f（x）= （x0） （1）函數f（x）在區間（0，+）上是增函數還是減函數？證明你的結論； （2）若當x0時，f（x）恒成立，求正整數k的最大值 21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知R（x0，y0）是橢圓C：=1上的一點，從原點O向圓R：（xx0）2+（yy0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q （1）若R點在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程； （2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求k1?k2的值； （3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由 喜歡旅游不喜歡旅游估計 女性 男性 合計 四

6、、選考題，共10分。請考生在第22、23題中任選一直作答。如果多做。則按所做的第一題計分。（共2題；共20分） 22.選修4-4：坐標系與參數方程 在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為，以極點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系. （1）曲線的直角坐標方程和點的直角坐標； （2）若過點且傾斜角為的直線，點為曲線上任意一點，求點到直線的最小距離. 23.不等式選講：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z2的最小值 答案 一、選擇題： 1.D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. C 8.A 9. D 10. D 11. A 12. D 二、填空題 13.

7、 14. 15. 16. 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 17. （1）解：根據等高條形圖，女生不喜歡打羽毛球的人數為， 男性不喜歡打羽毛球的人數為. 填寫列聯表如下： （2）解：根據列聯表中數據，計算 ， 所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜歡打羽毛球與性別有關. 18. （1）證明：由已知得：， ， ，即，、成等差數列 （2）解： ， ， 19. （）證明：連接 是的中點，是的中點， ， 又平面，平面， 平面 （）證明：底面， ， 又，且， 平面 平面， 平面平面

8、20. （1）解：函數f（x）= f（x）= 1ln（x+1）= +ln（x+1） 由x0，x20，0，ln（x+1）0，得f（x）0 因此函數f（x）在區間（0，+）上是減函數 （2）解：解法一：當x0時，f（x）恒成立，令x=1有k21+ln2又k為正整數則k的最大值不大于3 下面證明當k=3時，f（x）（x0）恒成立 即證明x0時（x+1）ln（x+1）+12x0恒成立 令g（x）=（x+1）ln（x+1）+12x， 則g（x）=ln（x+1）1 當xe1時，g（x）0；當0 xe1時，g（x）0 當x=e1時，g（x）取得最小值g（e1）=3e0 當x0時，（x+1）ln（x+1）+1

9、2x0恒成立 因此正整數k的最大值為3 解法二：當x0時，f（x）恒成立 即h（x）= k對x0恒成立 即h（x）（x0）的最小值大于k 由h（x）= ，記（x）=x1ln（x+1）（x0） 則（x）= 0， （x）在（0，+）上連續遞增 又（2）=1ln30，（3）=22ln20， （x）=0存在惟一實根a，且滿足：a（2，3），a=1+ln（a+1）， 由xa時，（x）0，h（x）0；0 xa時，（x）0，h（x）0知： h（x）（x0）的最小值為h（a）= =a+1（3，4） 因此正整數k的最大值為3 21.（1）解：由圓R的方程知圓R的半徑， 因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，

10、 所以，即 又點R在橢圓C上，所以聯立，解得， 所以，所求圓R的方程為 （2）解：因為直線OP：y=k1x和OQ：y=k2x都與圓R相切， 所以， 兩邊平方可得k1，k2為（x028）k22x0y0k+（y028）=0的兩根，可得，因為點R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以 （3）解：方法一當直線OP，OQ不落在坐標軸上時， 設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由（2）知2k1k2+1=0，所以，故 因為P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，所以，即，所以， 整理得， 所以 所以 方法（二）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時， 設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 聯立， 解得， 所以， 同理，得 由（2）2k1k2+1=0，得， 所以 = ， 當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36 綜上：OP2+OQ2=36 四、選考題，共10分。請考生在第22、23題中任選一直作答。如果多做。則按所做的第一題計分。 22. （1）解：由得， 把代入上式得， 曲線的直角坐標方程為 設點的直角坐標為， 則， 點