1、高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 高中數學必修五學問點匯總第一章 解三角形一、學問點總結正弦定理 : 1正弦定理 : a b c 2 R R為三角形外接圓半徑 . sin A sin B sin C步驟 1. 證明：在銳角ABC中,設 BC=a,AC=b,AB=c；作 CHAB垂足為點 H CH=a sinB CH=b sinA asinB=b sinA 得 到 a b同 理 , 在 ABCsin a sin b中,c bsin c sin b步驟 2. 證明：a b c 2 Rsin A sin B sin C如圖,任意三角形 ABC,作 ABC外接圓 O. 作直徑 BD交 O于

2、D. 連接 DA. 因 為 直 徑 所 對 的 圓 周 角 是 直 角 , 所 以 DAB=90Ab,sinCsinc；R由于同弧所對的圓周角相等, 所以 D等于 C. 所以sinDcsinC2R故aAbBcC2Rsinsinsin2. 正弦定理的一些變式：i a b csinAsinBsinC ；iisinAa,sinB2R2R2Riii a2 sinA b2RsinB b2 RsinC ；（4）sinabcC2sinB3兩類正弦定懂得三角形的問題：（1）已知兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一角. （2）已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊角 4. 在 ABC 中,已知 a,b 及 A時,解得情

3、形：解法一：利用正弦定理運算. （可能有一解,兩解,無解）解法二：分析三角形解的情形,可用余弦定理做,已知a2a,b 和角 A,就由余弦定理得即可得出關于 c 的方程：c22 bcosAcb20分析該方程的解的情形即三角形解的情形 =0, 就三角形有一解 0 就三角形有兩解 0 就三角形無解 余弦定理 : 第 1 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 a2b2c22 bccosA1余弦定理：b2a2c22 accosBc22 ba22 bacos CcosAb 2c2a22 bc2. 推論：cosB2 ac2b2. 2 accos C2 ba2c22 ab設 a 、 b、

4、 c 是C 的角、 C 的對邊,就：如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o3. 兩類余弦定懂得三角形的問題： （1）已知三邊求三角 . 面積公式 : （2）已知兩邊和他們的夾角,求第三邊和其他兩角.已知三角形的三邊為a,b,c, 1.S1 2ah a1 2absinC1 2r abc （其中 r 為三角形內切圓半徑）2. 設p1abc,Sp pa pbpc 海倫公式 2例：已知三角形的三邊為a、b、c,設p1abc ,求證：2（1）三角形的面積Sp papb pc；（2） r 為三角形的內切圓半徑,就rpappbpc（3）把邊 BC、CA

5、、AB上的高分別記為h a、hb、hc,就ha2ppapbpcahb2ppa pbpc bhc2ppa pbpcc證明：（1）依據余弦定理的推論：cosCa2b2c22 ab由同角三角函數之間的關系,sinC12 cosC1a2b22 c22ab第 2 頁 共 24 頁記p代入S高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 pb ,1 2abcpc1absinC ,得2S1ab1a2b2c221 2ab22ab12ab2a2b2c22412aba2b22 c2aba2b2c241abc abc cabcab4c ,就可得到1 2bcapa ,1 2cab代入可證得公式（2）三角形的面積S與三角形

6、內切圓半徑r 之間有關系式S12prpr2其中p1 2abc ,所以rSpapbpc pp注：連接圓心和三角形三個頂點,構成三個小三角形,就大三角形的面積就是三個小三角形面積的和故得：S1ar1br1crpra,即haa2pp ppapapa 222S1ah a（3）依據三角形面積公式2所以,h a2S2p papapaaa同理h b2p papapa,ch2 cp paab【三角形中的常見結論】（1）ABC2 sinABsinC,cosABcosC tanABtanC,csinC;sin2 A2sinAcosA,sinA2BcosC,cosA2B22（3）如ABCabsinAsinBsinC

7、如sinAsinBsinCabcABC（大邊對大角,小邊對小角）（4）三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊（5）三角形中最大角大于等于60 ,最小角小于等于 606銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方. 鈍角三角形最大角是鈍角最大角的余弦值為負值（7）ABC 中, A,B,C 成等差數列的充要條件是B60. 第 3 頁 共 24 頁8 高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 ABC 為正三角形的充要條件是A,B,C 成等差數列,且a,b,c 成等比數列 .二、題型匯總 : 題型 1: 判定三角形外形判定三角形的類型（1）利用

8、三角形的邊角關系判定三角形的外形邊角轉化,統一成邊的形式或角的形式 . : 判定三角形外形時,可利用正余弦定理實現（2）在ABC 中,由余弦定理可知 :a a a2b 22bb 2c c c2 22cA 是直角A 是鈍角A 是銳角cABC是直角三角形ABC外形. 2ABC是鈍角三角形2ABC是銳角三角形（留意：A 是銳角ABC是銳角三角形 ）2. ab3ab,試判定3 如sin2Asin2B,就 A=B或AB例 1. 在ABC中,c2 bcosA,且ba題型 2: 解三角形及求面積一般地,把三角形的三個角A,B,C 和它們的對邊 a,b,c,叫做三角形的元素 . 已知三角形的幾個元素求其他元素

9、的過程叫做解三角形 . 的值例 2. 在ABC 中,a1,b3,A300,求b,c,已知c2,C3例 3. 在 ABC中,內角A,B,C對邊的邊長分別是a（）如ABC 的面積等于3 ,求 a,bABC 的面積（）如2sin2A,求sinCsinBA題型 3: 證明等式成立證明等式成立的方法： （1）左右,（2）右左,（3）左右相互推 . 第 4 頁 共 24 頁例 4. 已知ABC 中,角A ,高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 bcos CccosB. B,C的對邊分別為a,b ,c,求證：a題型 4: 解三角形在實際中的應用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、視角）例 5如下列圖,

10、貨輪在海上以40km/h 的速度沿著方位角（從指北方向順時針轉到目標方向線的水平轉角）為 140 的方向航行,為了確定船位,船在 B 點觀測燈塔 A 的方位角為110 ,航行半小時到達 C點觀測燈塔 A 的方位角是 65 ,就貨輪到達 C點時,與燈塔 A 的距離是多少？三、解三角形的應用1. 坡角和坡度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角, 坡面的垂直高度 h 和水平寬度 l 的比叫做坡度,用 i 表示,依據定義可知：坡度是坡角的正切,即itan. hl2. 俯角和仰角：如下列圖,在同一鉛垂面內,在目標視線與水平線所成夾角中,目標視線在水平視線的上方時叫做仰角,目標視線在水平視線下方時叫做俯角 .

11、 第 5 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 3. 方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角,如B 點的方位角為. 注：仰角、俯角、方位角的區分是：三者的參照不同；仰角與俯角是相對于水平線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的；4. 方向角：相對于某一正方向的水平角 . 5. 視角：由物體兩端射出的兩條光線,在眼球內交叉而成的角叫做視角第 6 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 其次章 數列一、數列的概念1、數列的概念：一般地,按肯定次序排列成一列數叫做 數列,數列中的每一個數叫做這個數列的 項,數列的一般形式可以寫成 a a 2 , a 3

12、 , L , a n , L ,簡記為數列 a n,其中第一項 1a 也成為 首項；a 是數列的第 n 項,也叫做數列的 通項 . 數列可看作是定義域為正整數集N （或它的子集）的函數,當自變量從小到大取值時,該函數對應的一列函數值就是這個數列 . 2、數列的分類：按數列中項的多數分為：（1） 有窮數列 ：數列中的項為有限個,即項數有限；（2） 無窮數列 ：數列中的項為無限個,即項數無限 . 3、通項公式：假如數列a n的第 n 項a 與項數 n 之間的函數關系可以用一個式子表示成a n. fn ,那么這個式子就叫做這個數列的通項公式 ,數列的通項公式就是相應函數的解析式4、數列的函數特點：一

13、般地,一個數列a n,a n1a ,那么這個數列叫做 遞增數列 ; 假如從其次項起,每一項都大于它前面的一項,即假如從其次項起,每一項都小于它前面的一項,即a n1a ,那么這個數列叫做 遞減數列 ; 假如數列a n的各項都相等,那么這個數列叫做常數列 . 5、遞推公式：某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系,這個關系用一個公式來表示,叫做 遞推公式 二、等差數列 1、等差數列的概念：假如一個數列從其次項起,每一項與前一項的差是同一個常數,那么這個數列久叫做等差數 列,這個常數叫做等差數列的公差 . 即 a n 1 a n d （常數）,這也是證明或判定一個數列是否為等差數列的依據 . 第 7 頁

14、 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 2、等差數列的通項公式：設等差數列a n的首項為a ,公差為 d ,就通項公式為：1a na 1n1da mnm d,n、mN. 3、等差中項：（1）如 a、 、 成等差數列,就 A 叫做 a 與 b 的等差中項,且A =a2b; （2）如數列a n為等差數列,就an,an1,an2成等差數列,即an1是a 與a n2的等差中項,且a n1=a nan2；反之如數列a n滿意an1=anan2,就數列a n是等差數列 . 224、等差數列的性質：（1）等差數列a n中,如mnpq m、 、 、qN,就a manapa ,如 qm1n.2

15、p,就a ma n2 a ；（2）如數列a n和b n均為等差數列,就數列anb n也為等差數列；（3）等差數列a n的公差為 d ,就d0a n為遞增數列,d0a n為遞減數列,d0a n為常數列 . 5、等差數列的前n 項和S ：（1）數列a n的前 n 項和S =a 1a 2a 3La n1a n,nN；（2）數列a n的通項與前 n 項和S 的關系：a nS nS n1,12.S nnd（3）設等差數列a n的首項為a 公差為 d ,就前 n 項和S n=n a1anna1n n226、等差數列前 n 和的性質：（1）等差數列a n中,連續 m項的和仍組成等差數列, 即a 1a2Lam

16、,am1am2La2m,a 2m1a 2m2La 3m, 仍為等差數列（即S m,S 2mS m,S 3mS 2m, L 成等差數列）；S 可看作關a n的前 n 項和S n=na1n n1d=dn2a 1dn 當d0時,（2）等差數列222于 n 的二次函數,且不含常數項；第 8 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 S 2n1（3）如等差數列a n共有 2n+1（奇數）項,就S 奇S 偶=a n1中間項 且S 奇=nn1,S 偶如等差數列a n共有 2n（偶數）項,就S 偶S 奇=nd 且S 偶=a n1.S 奇a n（4）等差數列 anb n的前 n 項和為S n,

17、T n 為奇數）,就a na 1a 2n1n a 1a 2n12 b 22 b 2nb nb 1n1n b 11T 2n122（5）在等差數列 an中.S =a,S mb ,就S n mnmab ,nm特殊地,當S nS 時,S n m0,當S =m,S =n 時S nmnm （6）如S 為等差數列 an的前 n 項和,就數列 S n也為等差數列 . n7、等差數列前 n 項和S 的最值問題：設等差數列a n的首項為a 公差為 d ,就（1）a 10且d0（即首正遞減）時,S 有最大值且S 的最大值為全部非負數項之和；（2）a 10且d0（即首負遞增）時,S 有最小值且S 的最小值為全部非正數

18、項之和. 三、等比數列 1、等比數列的概念：假如一個數列從其次項起,每一項與前一項的比是同一個不為零的常數,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q 表示（q.0）. 即an1q q 為非零常數,這也是證明或判定一個數列是否為等比數列的依據a n2、等比數列的通項公式：a n設 等 比 數 列a n的 首 項 為1a, 公 比 為q, 就 通 項 公 式 為 ：a qn1a qn m,nm n、mN. 3、等比中項：（1）如 a、 、 成等比數列,就 A 叫做 a 與 b 的等比中項,且A 2=ab ; 2的等比中項,且（2）如數列a n為等比數列,就an,an

19、1,an2成等比數列,即an1是a 與a n2 a n1=a na n2；反之如數列a n滿意2 a n1= a na n2,就數列a n是等比數列 .第 9 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 4、等比數列的性質：（1）如數列 a n, nb為等比數列,就數列1, k a n,an2,a 2n1,a b nan kanb n為非零常數 均為等比數列 .（2）等比數列 a n 中,如 m n p q m、 、 、q N , 就 a m a n a p a ,如 m n 2 p,就a m a n a ；2p（3）如數列 a n 和 b n 均為等比數列,就數列 a n b

20、 n 也為等比數列；（4）等比數列 a n 的首項為 a ,公比為 q ,就 1a 1 0或 a 1 0a n 為遞增數列,a 1 0或 a 1 0a n 為遞減數列,q 1 0 q 1 0 q 1 q 1q 1 a n 為常數列 . 5、等比數列的前 n 項和：（1）數列 a n 的前 n 項和 S = a 1 a 2 a 3 L a n 1 a n , n N；S n 1（2）數列 a n 的通項與前 n 項和 S 的關系：a n .S n S n 1 , n 2na q 1 1（3）設等比數列 a n 的首項為 a ,公比為 1 q q 0,就 S n a 1 1 q n ., q 11

21、 q由等比數列的通項公式及前 n 項和公式可知,已知 a q n a n , S 中任意三個,便可建立方程組求出另外兩個 . 6、等比數列的前n 項和性質：0,就mam2La 2m,設等比數列a n中,首項為a ,公比為q q（1）連續 m項的和仍組成等比數列,即a 1a2La m,a m1a 2m1a 2m2La 3m, 仍為等比數列（即S m,S 2mS m,S 3mS 2, L 成等差數列）；（2）當q1時,S na 11qn1a 1q1n qa 1a 1n qa 11qna 111q1q1qqq設a11t,就S ntqnt . q第 10 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納

22、 人教版最全 四、遞推數列求通項的方法總結1、遞推數列的概念：一般地,把數列的如干連續項之間的關系叫做遞推關系,把表達遞推關系式子叫做遞推公式,而把由遞推公式和初始條件給出數列叫做遞推數列 . 2、兩個恒等式：對于任意的數列a n恒有：La2an1a 4a 3LNanan1（1）a na 1a 2a 1a 3（2）ana 1a2a3a4,a n0,na 1a2a3a n3、遞推數列的類型以及求通項方法總結：類型一（公式法）：已知 S （即 a 1 a 2 L a n f n ）求 a ,用作差法：a n SS 1n , nS n 11 , n 2類型二（累加法）：已知：數列 a n 的首項 a

23、 , 且 a n 1 a n f n , n N,求 通項 a n . 給遞推公式 a n 1 a n f n , n N 中的 n 依次取 1,2,3 , ,n-1, 可得到下面 n-1 個式子：a 2 a 1 f 1 , a 3 a 2 f 2 , a 4 a 3 f 3 , L , a n a n 1 f n 1 .利用公式 a n a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 L a n a n 1 可得：a n a 1 f 1 f 2 f 3 L f n 1 .類型三（累乘法）：已知：數列 a n 的首項 a , 且 a n 1 f n , n N,求 通項 a n . a

24、 n給遞推公式 a n 1 f n , n N 中的 n 一次取 1,2,3 , , n-1, 可得到下面 n-1 個式子：a na 2 f 1 , a 3 f 2 , a 4 f 3 , L , a n f n 1 .a 1 a 2 a 3 a n 1利用公式 a n a 1 a 2 a 3 a 4 L a n , a n 0, n N 可得：a 1 a 2 a 3 a n 1a n a 1 f 1 f 2 f 3 L f n 1 .類型四（構造法） ：形如 a n 1 pa n q、a n 1 pa n q n（k , b , p , q 為常數）的遞推數列都可以第 11 頁 共 24 頁

25、高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 ,其中t1qp,再利用待定系數法轉化為公比為k 的等比數列后 ,再求a ；an 1panq解法 ：把原遞推公式轉化為：a n1tp a nt用換元法轉化為等比數列求解；an1panqn解法 ：該類型較要復雜一些；一般地,要先在原遞推公式兩邊同除1an. 以qn1,得：an1p.an1引入幫助數列b n（其中bna n）,得：b n1pbnqn1qnqnqqqq再應用an 1panq的方法解決；通項類型五（倒數法）：已知：數列a n的首項a , 且 1an1panr,r0,nN,求qana n1panra11qannra11rnq11r1qqannpa

26、npapanp anp設b n1,就b n1a11.b n1rb nq p,a nnp如rp 就b n1b nqb n1b n=q,即數列nb是以q p為公差的等差數列 . pp如rp 就b n1rb nq p（轉換成類型四 ）.p五、數列常用求和方法 第一類：公式法 利用以下常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法；1、等差數列的前 n 項和公式S nna12anna 1nn21 d2、等比數列的前 n 項和公式S nna1qq1 a 1anqq1 a 1 1n1q1q3、常用幾個數列的求和公式（1）、S nkn1k123n1n n12第 12 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總

27、結歸納 人教版最全 （2）、S nkn1k22 12232n21nn1 2n16（3）、S nkn1k33 12333n31nn1 22其次類：乘公比錯項相減（等差等比）這種方法是在推導等比數列的前n 項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數列anb n或a n的前 n 項和,其中a n,b n分別是等差數列和等比數列；b n例：求數列nqn1 q 為常數 的前 n 項和；解：、如 q =0, 就S =0 、如 q =1,就Sn123n1n n1 2、如 q 0 且 q 1,就S n12 q3q2nqn13qn1nqnqSnq2q2 3q3nqn式式： 1qSn1qq2qnqn1S n11q

28、1qq2q3qnSn11q1qnnqn1qS n1qn2nqn1q1q0 且q10q0 綜上所述：S n1nn1 q1 21qn2nqnq 1q1q第三類：裂項相消法 這是分解與組合思想在數列求和中的詳細應用；裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最 終達到求和的目的通項分解（裂項）如：1、乘積形式,如：第 13 頁 共 24 頁高中數學必修 5 學問點總結歸納 人教版最全 （1）、an 1 1 1n n 1 n n 12（2）、an 2 n 1 1 1 1 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1（3）、an 1 1 1 1 n n 1 n 2

29、2 n n 1 n 1 n 2 （4）、a n n 2 1n 2 n 1 n 1n 1n 1 1n , 就 S n 1 1nn n 1 2 n n 1 2 n 2 n 1 2 n 1 22、根式形式,如：a n 1 n 1 nn 1 n例：求數列 1,1,1, ,1, 的前 n 項和 S n1 3 2 4 3 5 n n 2 解：由于：1 = 1 1 1）n n 2 2 n n 2就：Sn 1 1 1 1 1 1 12 3 2 4 n n 2Sn 1 1 1 1 1 2 2 n 1 n 23 1 1Sn4 2 n 2 2 n 4第四類：倒序相加法這是推導等差數列的前 n項和公式時所用的方法,就

30、是將一個數列倒過來排列（反序）,再把它與原數列相加,就可以得到 n 個 a 1 a n ；例：如函數 f x 對任意 x R 都有 f x f 1 x 2；（1）a n f 0 f 1 f 2 f n 1 f 1 ,數列 a n 是等差數列嗎？是證明你的n n n結論；（2）求數列 1 的的前 n 項和 T ；a n a n 1解：（1）、a n f 0 f 1 f 2 f n 1 f 1（倒序相加）n n nn 1 n 2 1a n f 1 f f f f 0 n n n1 n 1 2 n 21 0 1n n n n第 14 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 就,由

31、條件：對任意xR都有fxf1x2；2a n2222（n1）a nn1a n1n2an1an1從而：數列a n是a12,d1的等差數列；（2）、an1n1n1n2n11n12a1 nT =213314415（n1n2 1）T =1111n11n121n12334222n4故：T =2nn4第五類：分組求和法（等差+等比）有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,如將這類數列適當拆開,可分為幾個 等差、等比或常見的數列,然后分別求和,再將其合并即可；例：求數列 n 11 +n2n1 的前 n 項和S nan1b n322n2n1n解：令an11b nn2n1nnS na 1b 1a2b 2a3b

32、 3S na 1a 2a31an b 1b 2b32bnS n 11111n1 1122233nS n 1n1 1 12n2n22322nn2n1令T n1223222 Tn2222323n2nn1222232式式：12 Tn1nT n 1222232n1n2n第 15 頁 共 24 頁T n12n2n2n高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 12n1T nn1 故：S n1n11n1 2n12n11n12n第六類：拆項求和法在這類方法中,我們先爭論通項,通項可以分解成幾個等差或等比數列和或差形式,再代入公式求和；例：求數列 9,99,999,的前 n 項和S nan10n1分析：此數列

33、也既不是等差數列也不是等比數列啟示同學先歸納出通項公式可轉化為一個等比數列與一個常數列；分別求和后再相加；解：由于：an10 n11 1 10n1就：S n99999S n1011 1021 103S n10110210310n 111 S n1010n10n110Sn10n110n9例 8：S =112131n12482n11（等差 +等比,利用公式求和）解：由于：ann1n12n2n就：S =123n 112482n=1n n11 1 1 21n2212=1n n111n22第 16 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 第三章 不等式一不等式的性質 ：bd （如1同

34、向不等式可以相加；異向不等式可以相減：如ab cd ,就 acab cd ,就 acbd ）,但異向不等式不行以相加；同向不等式不行以相減；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 異向不等式可以相除 ,但不能相乘：如ab0,cd0,就 acbd （如ab0,0cd ,就a cb）；nanb ；d3左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：如ab0,就ann b 或4如ab0, ab ,就1 a1；如ab0, ab ,就1 a1；bb例（ 1）對于實數a,b,c中,給出以下命題：bc2,就ab；如ab,就ac2bc2；如ac2b0 就11；如ab0,就a2abb2；如a0；ab如ab

35、0,就ba；如ab,0就ab；abb,11,就a0,b 如 c a b 0 , 就 ac其中正確的命題是 _ acbb；如aab（答：）；（2）已知1xy1, 1xy3,就 3xy 的取值范疇是 _ 3xy7）；（答： 1二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判定差的符號得出結果；2作商（常用于分數指數冪的代數式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數的單調性；7查找中間量或放縮法；8圖象法；其中比較法（作差、作商）是最基本的方法；例（ 1）已知ab0,m0,試比較bm與b 的大小 aam答：bmbabamabbmm abamaaam aam a

36、b0 ,m0,ab0,am0m ab0bmbaam ama從而得到結論,糖水加糖甜更甜；（t（2）設a0 且a1 ,t0,比較t1loga和logat21的大小a1時,1 2logatlogat212（答：當 a 1 時,121 時取等號）；logatloga21（t1時取等號）；當 0第 17 頁 共 24 頁當x高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 log x3 2logx2；（3）設a2,paa12,q2a24a2,試比較p, 的大小a1（答：pa22224,q2a24a24, 故 pq ）；2（4）比較 1+log x3與2logx2x0 且x1 的大小（答：當 0 x1 或x4

37、時, 1+log x3 2logx2；當1x4時, 1+334時, 1+log x3 2logx2）3（5）比較312與10 的大小（答：提示：31232,3221020）三利用重要不等式求函數最值 最小 ” 這 17 字方針；例（1）以下命題中正確選項時,你是否留意到：“ 一正二定三相等,和定積最大,積定和 A、yx1的最小值是 2 12y22y（答： C）；x B、yx1 的最大值是 2 x C、y23x4x0的最大值是 24 3x D、y23x4x0的最小值是 24 3x（2）如x2y1,就 2x4y 的最小值是 _ （3）正數222 2 ）；（答：提示：2,x y 滿意x2y1,就11

38、的最小值為 _ xy（答： 32 2 ）；四常用不等式有：（1）a22b2a2bab1 a21 b 依據目標不等式左右的運算結構選用 ；）（2）a、b、cR,a2b2c2abbcca （當且僅當 abc時,取等號）；（3）如ab0,m0,就b abm（糖水的濃度問題）；am例 假如正數a、b滿意abab3,就ab的取值范疇是 _ （答：提示：ab2ab,abab3 ,ab2ab39,五證明不等式的方法 ：比較法、分析法、綜合法和放縮法 通過分解因式、配方、通分等手段變形判定符號或與 比較法的步驟是：作差（商）后 1 的大小,然后作出結論； . 常用的放縮技巧有：1n1111111n111nn

39、nn2n nn第 18 頁 共 24 頁k1kk1k高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 11kk112kk1k六、不等式的解法 1、不等式的同解原理：原理 1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式,所得不等式與原不等式是 同解不等式；原理 2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數或同一個大于零的整式,所得不等式與 原不等式是同解不等式；原理 3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數或同一個小于零的整式,并把不等式改 變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式；2、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端點值是對應二次方程根,是對應二次函數圖像與 x 軸交點的橫坐 標

40、；二次函數（）的圖象有兩相異實根 有兩相等實根 無實根留意：（1）一元二次方程ax2bxcy0a20的兩根x 1,x 是相應的不等式ax2bxc0a0的解集的端點的取值,是拋物線axbxc a0與 x 軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數均為正,假如不等式的二次項系數為負,應先利用不等式的性質 轉化為二次項系數為正的形式,然后爭論解決； 3（ 3 ） 解 集 分0,0,0 三 種 情 況 , 得 到 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0與ax2bxc0a0的解集；、簡潔的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成如干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數為正；

41、（2）將每一個一次因式的根標在數軸上,從最大根的右上方依次通過每一第 19 頁 共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 點畫曲線；并留意 奇穿過偶彈回 ；（3）依據曲線顯現f x 的符號變化規律,寫出不等式的解集；0,再通,最終例 （1）解不等式x1x220；（2）解不等式x1 2x1 x2x40（3）解不等式x2x1 2x1 3x204、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數為正用標根法求解；解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母；fx0fxg x0;fx0fxg x00.g

42、xg xg xfx0fxg x0;fx0fxg x00.g xg xg x例 解不等式 2 5 xx 2 x 35、肯定值不等式的解法 ：1）：（答： 1,1U2,3）；（1）分段爭論法（ 最終結果應取各段的并集例 解不等式 | 2 3x | 24（2）利用肯定值的定義；|x1|（答： xR）；2例 解不等式axbc（答：caxbc）；（3）數形結合；例 解不等式 | x | | x 1| 3（答： , 1 U 2, ）；（4）兩邊平方：例 如不等式 | 3 x 2| | 2 x a 對 x R恒成立,就實數 a的取值范疇為 _；（答： 4）36、含參不等式的解法 ：求解的通法是“ 定義域為前

43、提, 函數增減性為基礎, 分類爭論是關鍵”留意解完之后要寫上： “ 綜上,原不等式的解集是 ”；留意 ：按參數爭論,最終應按參數取值分別說明其解集；但如按未知數爭論,最終應求并集 .例（1）如 log a 2 1,就 a 的取值范疇是 _ 3（答：a 1 或 0 a 2）；32（2）解不等式 ax x a R ax 1（答：a 0 時, x | x 0；a 0 時, x x 1 或 x 0；a 0 時, x | 1x 0 或 x 0）；a a提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最終務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范疇的端點值；第 20 頁

44、共 24 頁高中數學必修5 學問點總結歸納 人教版最全 7、指數、對數不等式的解法：（1）afxfag xaa1fxg x;g x0;afxag x0a1 afxg xlogxlogg x1fx（2）alogafxlogag x 0a10fxg x七、基本不等式1、基本不等式：如 a 0,b 0,就 a b ab ,當且僅當 a b時,等號成立2a b 稱為正數 a 、 b 的算術平均數,ab 稱為正數 a 、 b 的幾何平均數22變形應用：ab a ba 0, b 0,當且僅當 a b時,等號成立22、基本不等式推廣形式：2 2假如 a b R ,就 a ba b ab 2,當且僅當 a b

45、 時,等號成立2 2 1 1a b3、基本不等式的應用：設 x 、 y 都為正數,就有：2如 x y s （和為定值）,就當 x y 時,積 xy 取得最大值 s 4如 xy p （積為定值）,就當 x y 時,和 x y 取得最小值 2 p 留意 ：在應用的時候,必需留意“4、常用不等式：一正二定三相等 ” 三個條件同時成立；如 、bR , 就a22 b2 ab2 ab； 2a2b2|ab2八、含肯定值不等式的性質：|b|a|b| |ab ；a、 同號或有 0|ab| |a|a、 異號或有 0|a|a|b| |ab . b| |a|b|九、不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等問題 ：不等

46、式恒成立問題的常規處理方式？（常應用函數方程思想和“ 分別變量法” 轉化為最值問題,也可抓住宅給不等式的結構特點,利用數形結合法）1. 恒成立問題如不等式 f x A 在區間 D 上恒成立 , 就等價于在區間 D 上 f x min A如不等式 f x B 在區間 D 上恒成立 , 就等價于在區間 D 上 f x max B2 2例（1）設實數 x y 滿意 x y 1 1,當 x y c 0 時, c 的取值范疇是 _ （答：提示：設 x sin a , y 1 cos a,x y c sin a cos a 1 c 2 sin a 45 1 c第 21 頁 共 24 頁高中數學必修 5 學

47、問點總結歸納 人教版最全 c 1 2 0 2 1,）；（2）不等式 x 4 x 3 a 對一切實數x恒成立,求實數 a 的取值范疇 _ （答：a 1）；2. 能成立問題如在區間 D 上存在實數 x使不等式 f x A 成立 , 就等價于在區間 D 上 f x max A ；如在區間 D 上存在實數 x使不等式 f x B 成立 , 就等價于在區間 D 上的 f x min B . 例 已知不等式 x 4 x 3 a 在實數集 R 上的解集不是空集,求實數 a 的取值范疇 _ （答：a 1）3. 恰成立問題如不等式 f x A 在區間 D 上恰成立 , 就等價于不等式 f x A 的解集為 D ；如不等式 f x B 在區間 D 上恰成立 , 就等價于不等式 f x B 的解集為 D . 十、簡潔的線性規劃問題1、 二元一次不等式表示平面區域: Ax+By+C=0,坐標平面內的點P（x0,y0）在平面直角坐標系中,已知直線B0 時, Ax0+By0+C0,就點 P（x