1、 概 率 論 與 數 理 統 計 主講：趙敏 概率統計是研究隨機現象數量規律的學科,理論嚴謹,應用廣泛,發展迅速.不僅高等學校各專業都開設了本課程,而且在上世紀末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數學課程之一，希望大家能認真學好這門不易學好的重要課程.引言本學科的 ABC概率(或然率,或幾率) 隨機事件發生的可能性大小的度量起源于中世紀以來的歐洲流行的用骰子賭博. 當時有一個“分賭本問題”曾引起熱烈的討論，并經歷了長達一百多年才得到正確的解決，在這過程中孕育了概率論一些重要的基本概念。 舉該問題的一個簡單情況：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機會均等，都是1/2。約定

2、：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現已賭完3局，甲2勝1負，而因故中斷賭情，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平？ 在數學史上,它的產生是以法國數學家帕斯卡和費馬在1654年的七封通信為標志的。 初看覺得應按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結果都不正確，正確的分法應考慮到如在這個基礎上繼續賭下去，甲、乙最終獲勝的機會如何？ 至多再賭2局即可分出勝負，這2局有4種可 能： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。 當時的一些學者，如惠更斯（荷蘭

3、 ）、巴斯噶 （法國） 、費馬（法國）等人，對這類賭情問題進行了許多研究，這些研究使原始的概率和有關概念得到發展和深化。 惠更斯是概率論學科的奠基者之一。其1657年發表的 論賭博中的計算是第一部概率論著作，該書首次提出數學期望的概念，創立了“惠更斯分析法”，第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。 在概率論的草創階段，最重要的里程碑是伯努利（瑞士）的著作推測術。該著作在他死后的1713年發表，其中一個極重要的內容，即如今以他的名字命名的“大數定律”。在某種程度上可以說，這個大數定律是整個概率論最基本的規律之一，也是數理統計學的理論基石。 概率論雖發端于賭博，但很快在

4、現實生活中找到多方面的應用，首先是在人口、保險精算等方面，在其發展過程中出現了若干里程碑的機遇的原理，其第三版發表于1756年，法國大數學家拉普拉斯的分析概率論，發表于1812年，1933年蘇聯教學家柯爾莫哥洛夫完成了概率論的公理體系，在幾條簡潔的公理之下，發展出概率論整座的宏偉建筑，有如在歐幾里得公理體系之下發展出整部幾何。自那以來，概率論成長為現代數學的一個重要分支，使用了許多深刻和抽象的數學理論，在其影響下，數理統計的理論也日益向深化的方向發展。 第二次世界大戰軍事上的需要以及大工業與管理的復雜化產生了運籌學、系統論、信息論、控制論與數理統計學等學科. 數理統計學是一門研究怎樣去有效地收

5、集、整理和分析帶有隨機性的數據，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據和建議的 數學分支學科. 對客觀世界中隨機現象的分析產生了概率論；使概率論成為數學的一個分支的真正奠基人是瑞士數學家J.伯努利；而概率論的飛速發展則在17世紀微積分學說建立以后. 概率論是一門研究客觀世界隨機現象數量規律的 數學分支學科.統計方法的數學理論要用到很多近代數學知識，如函數論、拓撲學、矩陣代數、組合數學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數理統計學的基礎，數理統計學是概率論的一種應用. 但是它們是兩個并列的數學分支學科，并無從屬關系. 我國的概率論研究起步較晚，從195

6、7年開始，先驅者是許寶騄先生。1957年暑期許老師在北大舉辦了一個概率統計的講習班，從此，我國對概率統計的研究有了較大的發展，近年來，我國科學家在概率統計方面也取得了較大的成果。 許寶騄(19101970年)是中國最早在概率論與數理統計研究方面達到世界先進水平的杰出數學家。在中國開創了概率論、數理統計的教學與研究工作。他奠定了中國概率論與數理統計學科的基礎,并為之付出了畢生精力。其研究成果已成為當代概率論與數理統計理論的重要組成部分,至今“許方法”仍被認為是解決檢驗問題的最實用方法。 許寶騄，字閑若。1910年出生于北京。原籍浙江杭州，祖父曾任蘇州知府，父親曾任兩浙鹽運使，系名門世家。兄弟姊妹

7、共人，他最幼。兩個兄長均為專家，姊夫俞平伯是著名的文學家。 1910年9月1日出生于北京。 1928年考入燕京大學化學系。 19291933年轉入清華大學數學系，讀到畢業，獲理學士學位。畢業后考取留英名額，因體重不合格未能成行，因而在北京西山休養一年。 19341936年任北京大學數學系助教。 19361940年在英國倫敦大學學院當研究生，1936年再次考取了赴英留學，派往倫敦大學在統計系學習數理統計，攻讀博士學位。 1938年獲哲學博士學位，1940年獲科學博士學位。 19401945年任北京大學數學系教授，執教于昆明西南聯合大學。 19451947年先后在美國加州大學伯克利分校，哥倫比亞大

8、學，北卡羅萊納大學任訪問教授。 19471970年任北京大學數學系教授。 1955年當選為中國科學院學部委員。自中國數學會成立起，任歷屆理事。 1970年12月18日逝世于北京。 許寶騄是中央研究院第一屆當選的5名數學所院士之一。1955年當選為中國科學院學部委員。1979年美國數理統計學年鑒高度評價了他對概率論與數理統計學科所做出的卓越貢獻。1981年和1983年,科學出版社和德國施普林格出版社分別出版了許寶騄文集和許寶騄選集。在美國斯坦福大學統計系走廊里至今懸掛著許寶騄的畫像。本學科的應用 概率統計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產和國民經濟的各個部門中. 例如 1.氣象

9、、水文、地震預報、人口控制及預測都與概率論緊密相關； 2.產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均要用到假設檢驗； 3.尋求最佳生產方案要進行實驗設計和數據處理； 4.電子系統的設計, 火箭衛星的研制及其發射都離不開可靠性估計; 5.處理通信問題, 需要研究信息論； 6.探討太陽黑子的變化規律時,時間序列分析方法非常有用; 7.研究化學反應的時變率，要以馬爾可夫過程 來描述; 8.生物學中研究群體的增長問題時，提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程； 9.許多服務系統，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一

10、類概率模型來描述，其涉及到的知識就是 排隊論. 目前, 概率統計理論進入其他自然科學領域的趨勢還在不斷發展. 在社會科學領領域 ,特別是經濟學中研究最優決策和經濟的穩定增長等問題 ,都大量采用概率統計方法.法國數學家拉普拉斯(Laplace)說對了: “生活中最重要的問題 ,其中絕大多數在實質上只是概率的問題.” 英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“ 概率論是生活真正的領路人, 如果沒有對概率的某種估計, 那么我們就寸步難行, 無所作為.”1、深刻理解，牢固掌握基本概念。2、多做練習，很抓解題基本功。 概率論與數理統計是一門處理隨機現象的學科，初學者對概率論與數理統計的基本概念

11、感到很抽象，基本方法難以掌握，習題難做。但是只要講究學習方法，勤奮努力，不利因素就會轉化為有利因素，概率論與數理統計之難恰好能培養大家分析問題和解決問題的能力，總之： 學習方法 概率論 第一冊 概率論基礎 概率論 第二冊 數理統計 概率論與數理統計（上下冊） 概率論與數理統計 概率論與數理統計 復旦大學編 中山大學 梁之瞬 鄧集賢 南開大學 周概容 浙江大學 主要參考書目概率論與數理統計教程 茅詩松等編國內有關經典著作1.概率論基礎及其應用 王梓坤著 科學出版社 1976 年版 2.數理統計引論陳希儒著 科學出版社 1981年版國外有關經典著作1.概率論的分析理論P.- S.拉普拉斯著 181

12、2年版2. 統計學數學方法H. 克拉默著 1946年版概率論的最早著作數理統計最早著作 概率統計專業首位中科院院士A. 太陽從東方升起；B. 明天的最高溫度；C. 上拋物體一定下落；D. 新生嬰兒的體重.考察下面的現象:確定性現象必然現象與隨機現象 概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律的一門數學學科。那什么是隨機現象呢？ 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變萬化，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性. 如同物理學中基本粒子的運動、生物學中遺傳因子和染色體的游動、以及處

13、于緊張社會中的人們的行為一樣，自然界中的不定性是固有的. 這些與其說是基于決定論的法則，不如說是基于隨機論法則的不定性現象，已經成為自然科學、生物科學和社會科學理論發展的必要基礎. 從亞里士多德時代開始，哲學家們就已經認識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性看作為破壞生活規律、超越了人們理解能力范圍的東西. 他們沒有認識到有可能去研究隨機性，或者是去測量不定性. 將不定性數量化,來嘗試回答這些問題，是直到20世紀初葉才開始的.還不能說這個努力已經十分成功了, 但就是那些已得到的成果,已經給人類活動的一切領域帶來了一場革命. 這場革命為研究新的設想,發展自然科學知識,繁榮人類生活,開拓了道路.而

14、且也改變了我們的思維方法,使我們能大膽探索自然的奧秘. 下面我們就來開始一門“將不定性數量化”的課程的學習，這就是概率論與數理統計 特點 1 當人們在一定的條件下對不定性現象加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結果是多個可能結果中的某一個. 而且在每次試驗或觀察前都無法確知其結果.現在我們來考察一下不定性現象的特點例如: 在相同的條件下拋同一枚硬幣, 其結果可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結果是什么.又如:一門火炮在一定條件下向同一目標進行射擊,各次的彈著點不盡相同,在一次射擊之前無法預測彈著點的確切位置. 例如:一門火炮在一定條件下進行射擊,個別炮彈的彈著

15、點可能偏離目標而有隨機性的誤差, 但大量炮彈的彈著點則表現出一定的規律性,如一定的命中率,一定的分布規律等等. 又如:在一個容器內有許多氣體分子,每個氣體分子的運動存在著不定性,無法預言它在指定時刻的動量和方向.但大量分子的平均活動卻呈現出某種穩定性,如在一定的溫度下,氣體對器壁的壓力是穩定的,呈現“無序中的規律”. 特點 2 不定性現象在大量重復觀察或試驗下，它的結果卻呈現出固有規律性.統計規律性 在個別試驗中其結果呈現出不確定性,在大量重復觀察或試驗中其結果卻具有統計規律性的現象,稱為隨機現象. 從表面上看,隨機現象的每一次觀察結果都是隨機的,但多次觀察某個隨機現象,便可以發現,在大量的偶然之中存在著必然的規律.概率論的研究對象 隨機現象的統計規律性確定性現象（決定性現象）：有一類現象在一定條件下必然發生（或必然不發生）隨機現象：一類現象，在個別試驗中呈現不確定性，在大量重復試驗中又具有統計規律性試驗：對隨機現象所進行的觀察或試驗這種試