1、第七章 光的衍射 7.1光波的標量衍射理論 7.2菲涅耳衍射 7.3夫瑯禾費衍射 7.4光學成像系統的衍射和分辨本領 7.5衍射光柵 縫較大時，光是直線傳播的縫很小時，衍射現象明顯陰 影屏幕屏幕7.1 光波的標量衍射理論 衍射現象：光線偏離直線傳播的現象. 7.1.1 衍射的基本概念 障礙物(衍射屏)的復振幅透射系數 剛剛透過衍射屏的復振幅表示為： 光源障礙物接收屏 衍射圖樣和衍射屏的結構一一對應，衍射屏結構越細微，相應的衍射圖樣越擴大。光場 的傳播將發生衍射，在接收屏上得到新的復振幅衍射現象的基本問題：已知或已知或已知7.1.2 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯原理：波前（面）上的每一點都可以看作一

2、個發射球面子波的新的波源（次級擾動中心）.在后一時刻,這些子波的包絡面就是此刻新的波前。利用該原理可說明衍射現象的存在。如右圖所示，s為單色點光源。 沒有回答光振幅的傳播問題沒有回答光相位的傳播問題惠更斯原理的不足：惠更斯菲涅耳原理：波前外任一點的光振動應該是波前上所有子波相干疊加的結果，補充了惠更斯原理。單色點光源S在波面上任一點Q產生的復振幅為R是波面的半徑A為離點光源單位距離處的振幅Q點處面元產生的光擾動在空間P點處為 為傾斜因子 面上ZZ范圍內每一面元在P點產生的復振幅總和為： 惠菲原理的數學表達 衍射實質上是無窮多個子波在空間的相干疊加.積分面可以任選,不一定是某一等相面,設在該衍射

3、面上的復振幅為則 惠菲原理的推廣說明：惠菲原理的問題:（1）C沒有具體形式，（2）K() 沒有理論依據，且沒有確切的表達式。7.1.3菲涅耳基爾霍夫衍射公式基爾霍夫從波動微分方程出發，利用格林定理及電磁場的邊值條件，找到了惠菲原理的較完善表達式 菲涅耳基爾霍夫衍射公式其中表明子波源的位相比自s傳來到上的波位相超前/2。當點光源離開衍射屏足夠遠，使入射光可看成平行光入射，則因此7.1.4基爾霍夫衍射公式的近似 1、傍軸近似 z1衍射屏限度和觀察屏范圍，有 取 2、菲涅耳近似和菲涅耳衍射公式菲涅耳近似 當 時 菲涅耳衍射公式卷積形式: 3、夫瑯和費近似和夫瑯和費衍射公式菲涅耳近似 當 時, 夫瑯和

4、費衍射公式可忽略將積分限擴展為到由菲涅耳近似所確定的衍射區稱為菲涅耳衍射區，由夫瑯和費近似所確定的衍射區稱為夫瑯和費衍射區，它包含于菲涅耳衍射區內。菲涅耳衍射是近場衍射，而夫瑯和費衍射是遠場衍射。說明：當然，近場、遠場的劃分是相對的，對一定波長的光來說，衍射孔徑愈大，相應的近場與遠場的距離愈遠。孔的投影菲涅耳衍射夫瑯禾費衍射圓孔的衍射圖象：P1P2P3P4SLB7.2 菲涅耳衍射7.2.1 菲涅耳波帶法及圓孔、圓屏菲涅耳衍射因此第j個半波帶在點產生的振幅可以表示為：，表示各個波帶面積近似為常數 因為相鄰波帶引起的振動相位相反，則 點光場振幅應為： 因為各波帶振幅在點呈單調減小狀，即但變化十分緩

5、慢，近似有： 當N足夠大時 討論：1、，當衍射孔徑變化時，N變化，則點亮暗交替變化。2.當衍射孔徑不變，變化N變化，則點亮暗交替變化。3.當衍射孔徑很大，則過渡到幾何光學。4.若考察觀察屏上任意點P，以P為中心，以半徑rj為與衍射屏平面相交成圓。圓孔中心為O。此時z1為P點到衍射屏距離.圓孔衍射圖樣：中心或明或暗的環形條紋。分別作出一系列球面，由于圓孔和波面對P點的波帶不同心，這些波帶在P點產生的光強不僅取決于波帶數目，還取決于每個波帶露出部分的大小。若,則 為常數。5.對于圓屏衍射，仍以為半徑作波帶，為圓屏邊緣點到的距離。則即P0點的振幅總是剛露出的第一個波帶在P0點所產生的光場振幅的一半，

6、軸上點恒為亮點。圓屏衍射圖樣：中心為亮點，周圍亮暗相間的圓環條紋。所不同的只是光的強弱有差別而已菲涅耳圓屏衍射 7.2.2菲涅耳透鏡（菲涅耳波帶片）一、原理在菲涅耳波帶中，設法擋住奇數帶（或偶數帶），則 點的光強會大大增加,這種特殊衍射屏（光闌）稱為菲涅耳波帶片，或菲涅耳透鏡。例如，設波帶片包含20個波帶，讓10個奇數帶通光，而10個偶數帶不通光，則 點振幅為：式中為不存在光闌時點振幅。加波帶片后 點光強是不存在光闌時的400倍.二、焦距波帶片的設計使得用單色平面波垂直照明時，在點形成亮點. 類比普通透鏡，點稱菲涅耳透鏡焦點，點的距離就是透鏡焦距 P0QCSSfl波帶片 l三、物象關系點光源S

7、照明波帶片，像點應在S處，滿足： 代入方程得：P0QCSSfl波帶片 l又因為，所以整理得出：四、 多焦點問題菲涅耳透鏡利用光的衍射原理實現聚光，不同于普通透鏡利用光的折射原理。其表現在于，菲涅耳透鏡還有多個次焦點，其焦距為：（相鄰波帶光程差是 ）（相鄰波帶光程差是 另外，還有一系列與這些焦點相對應的虛焦點。五、 色散關系除了用擋住奇（偶）數波帶的辦法，還可用相位補償的辦法做成二元相位菲涅爾透鏡。由知，焦距與波長成反比，這與一般光學透鏡的色散相反，故可以利用玻帶片和普通透鏡相結合，達到消色差的目的。優點：適應波段范圍廣。 比如用金屬薄片制作的波帶片，由于透明環帶沒有任何材料，可以在從紫外到軟X

8、射線的波段內作透鏡用，而普通的玻璃透鏡只能在可見光區內使用。 此外， 還可制作成聲波和微波的波帶片。 菲涅耳波帶片與普通透鏡相比：主要缺點：色差較大。 波帶片的焦距與波長成反比，使得波帶片的色差比普通透鏡大得多。7.3 典型孔徑的夫瑯和費衍射 7.3.1夫瑯和費衍射系統與透鏡作用 是孔徑面坐標原點處的子波源發出的子波到達P點的相位 代表孔徑內任意一點和坐標原點C發出子波到達P點的相位差。 7.3.2、矩孔衍射設矩形孔的長和寬分別為 a和b，用單位平面波照射 觀察平面上任一點P處的復振幅 對于在透鏡光軸上的P0點，復振幅P點的光強為: 其中， 討論x軸上點的強度分布，此時y=0，故 （1）當時,

9、 ，中央主極大 （2）當極小 （3）次極大 即 （4） 次極大寬度 衍射效應明顯,反之亦然 與成反比,越小，（5）中央主極大的半寬度和角半寬度： （6）在y軸上的強度分布 （7）中央亮斑集中了光能的絕大部分 沿對角線方向第一個次極大對應于所以7.3.3 單縫衍射 當時, 稱為單縫衍射因子 的衍射角方向為光強極小值(暗條紋)。單色光照明時，當=0， 對應于=0的衍射位置是光強中央主極大值(亮條紋)；當=m，對應于滿足對上式兩邊取微分，有 相鄰暗條紋的角寬度為 對于中央亮條紋，其角寬度0為的兩倍， 即 正負K級暗 (亮)紋之間的距離為：用線光源照明的單縫夫朗和費衍射裝置 7.3.4 多縫的夫瑯和費

10、衍射、光強計算每個單縫在P點的復振幅為：為常數 相鄰單縫在P點產生的相位差 則N個單縫在P點的合振幅為： 因此光強為：多光束干涉因子 單縫衍射因子 二、衍射圖樣 0I單I0單-2-112單縫衍射光強曲線IN2I0單048-4-8單縫衍射 輪廓線光柵衍射光強曲線N2sin2N/sin204-8-48多光束干涉光強曲線(1)包絡線零值 影響光強在各主極大間的分配 0I單I0單-2-112單縫衍射光強曲線IN2I0單048-4-8單縫衍射 輪廓線光柵衍射光強曲線N2sin2N/sin204-8-48多光束干涉光強曲線 (2) 主極大 (3)極小 當即(4)次極大：相鄰兩個零值之間也有一個次極大。兩個

11、主極大間，有N-2個次極大 N2I0單sin048-4-8( /d )干涉因子 有極小值0，因此兩個相鄰主極大間有N-1個零值 。(5)缺級現象 若同時滿足衍射因子極小和干涉因子m級極大此時在應該干涉加強的位置上沒有衍射光到達，稱為缺級,即： N2I0單sin048-4-8( /d )缺級d = 4ak=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6缺級：k=3,6,9,.缺級第三級極 大值位置單縫衍射 第一級極 小值位置(6)主極大的半角寬度 可見，主極大的半角寬度與N成反比，當N增大時，衍射圖樣最顯著的改變就是亮紋變成很細的亮線。 夫朗和費單縫、 雙

12、縫、 多縫衍射的衍射圖樣照片(a) 單縫；(b) 雙縫；(c) 3縫；(d) 5 縫；(e) 6 縫；(f) 20 縫 7.3.5 圓孔的夫瑯和費衍射 利用零階和一階貝塞爾函數的性質，可推得 衍射圖樣討論：當 時，即在中心有極大強度點，稱為愛里斑當 時，出現暗環 當時，出現次級極大 愛里斑半徑是：圓孔夫瑯和費衍射第一暗環所圍成的中央光斑稱為愛里斑愛里斑半徑r0 對透鏡光心的張角稱為愛里斑的半角寬度圓孔衍射的光強分布 例：小孔直徑的測量當 時，只要測得第m級暗環半徑rm，并查表得第m級暗環對應的的值，就可求得圓孔的半徑a 出現暗環測量時小孔離開中心位置，衍射圓環并不移動。（1）、衍射現象擴散程度

13、與孔徑大小成反比。（2）、衍射屏在自身平面內平移不改變衍射圖樣的位置和形狀，只是存在一附加相位7.3.6、夫瑯和費衍射有以下特點：即原函數在空域中“伸展”,頻譜函數在頻譜中“收縮”，反之亦然。（3）、傾斜平面波照明孔徑，使衍射圖樣產生平移。（4）互補屏的夫瑯和費衍射圖樣的強度，除了中心點外，具有相同分布巴比涅原理 設有兩個互補屏，復振幅透射系數進行傅里葉變換得：其中只在譜面中心點（x=0,y=0）不為零 因此除去中心點，有 例 動態絲徑儀測得細絲的夫瑯禾費衍射零級亮紋的寬度2W 衍射第一極小對應的衍射角為 (x1,y1)7.4 光學成像系統的衍射和分辨本領7.4.1、在像面觀察的夫瑯和費衍射按

14、照菲涅爾衍射計算式，像面上復振幅分布為：照相物鏡、顯微鏡等儀器，一般是對近處的點物成像。按照波動光學的觀點，像S是會聚球面波在孔徑光闌上的衍射像斑。(x1,y1)因為孔徑光闌受會聚球面波照射，對于光闌上任意一點Q，設QS距離為r，所以有: 根據菲涅爾近似條件此處有:所以:將代入菲涅爾衍射公式:可見，像面上觀察的衍射像斑可看成單色平面波垂直入射到孔徑光闌，并在一個焦距為R的透鏡的后焦面上產生的夫朗和費衍射的復振幅分布。對比夫瑯和費衍射公式，說明在像面上觀察到的近處點物的衍射也是孔徑光闌的夫瑯和費衍射圖樣，相應的愛里斑半徑為：7.4.2 光學儀器分辨本領的衍射極限1、物與像的關系幾何光學物像一一對

15、應，像點是幾何點物理光學像點不再是幾何點，而是具有一定大小的艾里斑。SLSSSLS1SSS1LO點物S和S1在透鏡的焦平面上呈現兩個艾里斑，屏上總光強為兩衍射光斑的非相干迭加。當兩個物點距離足夠小時，就有能否分辨的問題。S1SS1SAf1f2O2、瑞利判據當一個象點的衍射光斑主極大和另一個像點的衍射的第一極小值重合時，兩個像點剛好被分開. S1S2S1S2S1S2可分辨恰可分辨不可分辨瑞利判據滿足瑞利判據的兩物點間的距離，就是光學儀器所能分辨的最小距離。對透鏡中心所張的角0稱為最小分辨角。最小分辨角的倒數稱為儀器的分辨本領分辨本領與D成正比，與波長成反比：D大，分辨本領大；波長小，分辨本領大*

16、望遠鏡的分辨本領和物鏡口徑物鏡目鏡fofe眼睛望遠鏡的角分辨本領決定于物鏡的口徑Do，望遠鏡的孔徑光闌是物鏡，望遠鏡的最小分辨角為： 不可選擇， 世界上最大的光學望遠鏡：D = 16 m望遠鏡的作用:角度放大人眼的最小分辨角：照像物鏡的分辨本領 底片位置與物鏡焦面大體重合，在感光底片上，能分辨的最靠近的兩直線的距離為 ：照相物鏡的分辨率以像面上每毫米能分辨的直線數N來表示 顯微物鏡的分辨本領：艾里斑的半徑為按照瑞利判據，兩衍射圖樣剛好可以分辨，兩點物之間的距離 就是物鏡的最小分辨距離。如果兩個衍射圖樣的中心之間的距離l0uu因故顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝正弦條件n、n為物方和像方折射率。對顯微鏡

17、，n=1，是物鏡的數值孔徑l0uu*幾點說明：顯微鏡的有效放大倍數：比如，顯微鏡的N.A.=1.5,照明波長為550nm的有效放大倍數：這是光學顯微鏡的最大放大倍數，因為超過Meff的放大倍數以試圖看到小于的細節是徒勞的。 提高分辨率的方法之一是提高N.A.，可通過油浸和使用廣角透鏡獲得較大的數值孔徑。不過N.A.最大為1.5左右，此時 /2,這是傳統光學顯微鏡的極限分辨率半波長。2、提高顯微鏡分辨率的途徑：選擇短波長光照明是提高顯微鏡分辨本領的另一個途徑。*電子顯微鏡： 利用運動電子的具有波動性制造的電子顯微鏡，因為電子的德布羅意波長極短，所以它有極高的空間分辨本領。電子顯微鏡的分辨率，電子

18、束發散角較小，u00.16rad；電子波長取決于電子的加速電壓：加速電壓電子波長分辨率有效放大率104V1.210-2nm510-2nm2106105V3.710-3nm1.510-2nm6106電子顯微鏡下的病毒照片利用多縫最簡單的衍射光柵，可以得到亮度大，分得開，寬度窄的明條紋！對于單縫： 若縫寬大，條紋亮，但條紋間距小，不易分辨若縫寬小，條紋間距大，但條紋暗，也不易分辨因而利用單縫衍射不能精確地進行測量。衍射光柵：能夠對入射光波的振幅或位相或同時進行空間周期性調制的光學元件，其主要作用是作為分光元件 。 7.5 衍射光柵 衍射光柵的分類：1、對光波的調制分式：振幅型和相位型2、工作方式：

19、透射型和反射型3、光柵工作表面的形狀：平面光柵和凹面光柵4、對入射波調制的空間：二維平面光柵和三維體積光柵5、光柵制作方式：機刻光柵、復制光柵、全息光柵一、光柵方程 適用于正入射的光柵方程：7.5.1 衍射光柵概述 適用于斜入射的光柵方程：當衍射光與入射光在法線同側時取加號，異側取減號 二、 光柵的色散 如入射光波是復色光，對應同一級衍射m,不同波長的光將有不同的衍射角.這種現象稱為光柵色散. （1）正入射時，零級（m=0）主極大的衍射角都是=0；斜入射時，sini=sin，即i=對應零級譜。（2）越是高級（m越大）主極大，不同波長的主極大的衍射角錯開越大1、角色散2、線色散波長相差0.1 n

20、m的兩條譜線分開的角距離稱為角色散在聚焦物鏡的焦平面上，波長相差0.1 nm的兩條譜線間分開的距離。 由于實用衍射光柵的光柵常數d通常都很小，亦即光柵的刻痕密度1/d很大，所以光柵光譜儀的色散本領很大。 如果我們在不大的位置記錄光柵光譜，cos幾乎不隨變化，則色散是均勻的。對于某一確定的級次m, d/d=m/d=常數，即光柵的角色散與波長無關，衍射角與波長變化成線性關系，這種光譜稱為勻排光譜。 三、光柵的色分辨本領色散本領表示不同波長的兩個主極大分開的程度。由于衍射，每一條譜線都具有一定寬度。當兩譜線靠得較近時，盡管主極大分開了，它們還可能因彼此部分重疊而分辨不出是兩條譜線。色分辨本領表征光譜

21、儀分辨開兩條波長相差很小的譜線能力。當同一級不同波長的的極大剛好與+的相鄰極小相重合時，由瑞利判斷認為剛好可分辨。就是能分辨的最小波長差。定義色分辨本領 ：由：和 四、光柵的自由光譜范圍光譜儀的自由光譜范圍是指它的光譜不重疊區 當 時恰好重疊，即 光柵在低級次下使用，故其自由光譜范圍很大， 在可見光范圍內為幾百nm，所以它可在寬闊的光譜區內使用。而F-P干涉儀在使用時的干涉級次均較高(一般為105量級)，只能在很窄的光譜區內使用。 例題：納黃光垂直照射一光柵，它的第二級光譜恰好分辨開鈉雙線（）并測得前者的第二級光譜線所對應衍射角為，第三級缺級，試求光柵總縫數N，光柵常數d和縫寬a。由于第三級缺

22、級，有 解：例：用波長為500nm的單色光垂直照射到每毫米有500條刻痕的光柵上，若縫寬與縫間距相等，求：用此光柵最多能看到幾條明紋。 由光柵方程 解：光柵常量 理論上能看到的最高級譜線的極限，對應衍射角=/2，第2、4級明紋不出現，從而實際只能看到5條明紋。 即最多能看到第4級明條紋考慮缺級條件d/a=(a+a)/a=2一、閃耀光柵 不同波長的零級主峰重合，即所謂“零級無色散”，同時正好處在單元衍射因子的最大值上，對光能是極大的浪費。光譜分析只需要其中一個序列光譜，但是透射光柵的衍射光強分散到正負各級光譜中，也是對光能的浪費。使我們觀察的那級光譜只能分配到少量的能量。7.5.2 幾種典型光柵

23、 干涉零級主極大與單縫衍射主極大重合，起因于干涉和衍射的光程差均由同一衍射角決定。如圖所示, 光沿任一角度i入射時，衍射單縫的縫兩邊緣點之間的光程差為 衍=a(sini-sin) 多縫干涉的相鄰縫之間的光程差為 干=d(sini-sin) 顯然，=i時，兩個極大(單縫衍射主極大與干涉零級主極大)的方向一致。 因此， 要想將這兩個極大方向分開， 必須使衍射和干涉的光程差分別由不同的因素決定。 閃耀光柵的結構b閃耀角Nnd閃耀光柵的刻槽面與光柵面間有一夾角b ，適當選擇光柵閃耀角b ，就可使得0級單槽衍射主極大與多槽干涉某一m級主極大重合 照明方式（2）沿N的方向入射（1）沿n的方向入射（1）沿n的方向入射槽間光程差： 現在假設一塊閃耀光柵對波長b的一級光譜閃耀，則 單槽衍射中央主極大方向正好落在b的一級譜線上。bNndNnd 槽間干涉因子單槽衍射因子閃耀光柵衍射場由于閃耀光柵的單槽寬度a和光柵周期d相近，使得一級閃耀波長的其他級別的主峰方向，正好落在單槽衍射的零點上，均成為缺級，從而全部消失，僅保留了一級主峰，因此閃耀光柵僅有一列光譜。乘積衍=a(sini+sin) 干=d(sini+sin) 現在的優質光柵可以把近 80%的能量集中到所需要的b的一級光譜上去，使其閃耀，b稱為一級閃耀波長。由上式還可以看出，對b的一級光譜閃耀的光柵，也分別對b/2、b /