1、數學史上的三次危機數學史學習總結報告一、無理數的發現第一次數學危機有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數都對應著直線上的一個點。古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應于有理數，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發明新的數

2、對應這樣的點，并且因為這些數不可能是有理數，只好稱它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要里程碑。無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對于全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關于相似形的一般理論也失效了。誘發第一次數學危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作

3、為一門精確的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得原本第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。二、無窮小是零嗎？第二次數學危機這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關于時空的有限與無限的四個悖論。芝諾揭示的矛盾是深刻而復雜的。前兩個悖論詰難了關于時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專

4、門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注于微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等

5、人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。三、悖論的產生-第三次數學危機數學基礎的第三次危機是由1897年的突然沖擊而出現的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由于集合概念已經滲透到眾多的數學分支，并且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結

6、構的有效性的懷疑。1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年后，康托發現了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，羅素發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答復下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。羅素悖論使整個數學大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的算術的基本法則第2卷本末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我就置于這種境地”。狄德金原來打算把連續性及無理數第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發現