1、第八章 重積分8.1 重積分的概念與性質 在一元函數微積分學中我們已經知道，定積分是某種確定形式的和的極限。 這種和的極限的概念推廣到定義在區域、曲線、曲面上多元函數的情形，便得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。 本章首先介紹重積分的概念、計算法以及它們的應用。18.1.1 重積分的定義 回顧在第五章中用定積分計算物體的質量問題，假定物體的密度是連續變化的。 首先考慮一根長度為l 的細直桿。 不妨假定它在軸上占據區間0，l，設其線密度為2 在每個小區間上“以常代變”，作積求和得到細直桿質量的近似值為然后通過求極限便可得到細直桿的質量為 如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐

2、標面上的區域D，并設其面密度函數為= (x,y)常數。這里(x,y)0且在D上連續。3均勻薄片:質量=面密度面積 參照上述細直桿的討論方法，yxo現在要計算該薄片的質量。 我們將分割成n個彼此沒有公共內點的閉子域該薄板的質量可表示為 4 如果我們考慮的物體占據三維空間o-xyz的閉區域，其體密度函數為= (x,y,z)常數,則其質量可表示為 綜上所述，(2)、(3)的右端都是與 (1) 式右端同一類型的和式極限，它們為定義重積分提供了物理背景。下面我們先給出二重積分的定義。5積分區域積分和積分變量被積表達式面積元素被積函數 由二重積分的定義可知，平面薄板的質量是面密度函數在薄板所占閉區域上的二

3、重積分7下面我們再給出重積分的定義。定義8. 1. 2 設是Rn中一個可求體積（n=2時為面積）的有界閉區域，f(X)是在上有定義的有界函數，將分割為彼此沒有公共內點的任意閉子域8 當n=3時函數 f(X)= f(x,y,z) (x,y,z)， 即為函數f(x,y,z) 在 上的三重積分，dv稱為體積元素。 有了上述定義，空間立體的質量也可以通過密度函數的三重積分來表示，即可以證明定理8.1.1 (1)（充分條件）若 在 上連續，則它在 上可積；(2)（必要條件）若 在 上可積，則它在 上有界。108.1.2 重積分的性質 我們僅給出二重積分的性質，三重積分的性質完全類似。 假設性質中涉及的函

4、數在相應區域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區域。(2) (關于被積函數的線性可加性）若、為常數，則表示D的面積11(3)（關于積分區域的可加性）無公共內點，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y) g(x,y) ,則特別地，有12(5)由于f(x,y)在有界閉區域D上可積， M、m是f(x,y)在有界閉區域D的最大值和最小值，所以m f(x,y) M。上面的不等式也稱為估值不等式。(6)令則14(6)由連續函數的介值定理知， f(x,y)在D上至少存在一點(,)，使f(,)=，即上式兩端同乘以即得結論成立。15(1) D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2) D2：(x2)2

5、+(y1)2 2解 (1)因為在區域D1上0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2根據性質4，得 (1)若f (x)在a,b上連續, f (x)0,且 f (x)不恒為零, 則 。 171 2 從圖形易知在D上除切點外，處處有x+y 1 (x+y)2 (x+y)3所以有(x2)2+(y1)2 2該圓域與直線x+y=1相切。18例3 利用二重積分的性質，估計積分的值。解因為 fx=2x，fy=8y，所以有駐點(0,0) 。先求f (x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。19 顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。 于是f (x,y)在D上的最小值為1

6、，最大值為5，積分區域的面積為。所以有20例4. 設函數D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當區域關于 y 軸對稱, 函數關于變量 x 有奇偶性時, 仍在 D 上在閉區域上連續,域D 關于x 軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分, 則有21第八章 重積分8.2 二重積分的計算法 利用二重積分的定義直接計算二重積分一般很困難，計算二重積分的基本途徑是將二重積分轉化為累次積分，然后通過計算兩次定積分來計算二重積分。22 (1)分割 用一組曲線網將D分成n個小閉區域1,2 , , n ，分別以這些小區域的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來的曲頂柱體分割成n個細曲頂柱體。24(2)

7、近似 當這些小區域的直徑di很小時，由于f(x,y)連續，對于同一個小區域上的不同點，f(x,y)的變化很小，細曲頂柱體可近似地看作平頂柱體2527yxzo282、用幾何觀點討論二重積分的計算法 應用 “定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計算這個曲頂柱體的體積。 (1)設f (x,y) 0，f(x,y)在D上連續。X型o a b xyo a b xy29o a x0 b xyz 在區間a,b上任取一點x0，作平行于yOz面的平面x = x0。 這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間 1(x0), 2(x0)為底、曲線z =f (x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為： 先計算

8、截面面積。30 一般地，過區間a,b上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為： 于是，應用計算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為 這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式o a x b xyz31 上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。 就是說，先把x看作常數，把f(x,y)只看作y的函數，并對y計算從1(x)到 2(x)的定積分； 再把計算所得的結果（是x的函數）對x計算在區間a,b上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作32Y型DyoxdcyoxdcD33 計算時先把y看作常數，因此f(x,y)是x的一元函數， 在區間1(y) x 2(y

9、)上對x積分,得到一個關于y的函數, 再在區間c y d上對y積分,。 這就是把二重積分化為先對x 、后對 y的二次積分的公式。34 應用公式(1) 時，積分區域必須是X型區域。 應用公式(2) 時，積分區域必須是Y型區域。 X型區域D的特點是：穿過D內部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點。 Y型區域D的特點是：穿過D內部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點。35 若積分區域D既不是X型區域也不是Y型區域，此時要將積分區域D分成幾部分，使得每一部分是X型區域或Y型區域，再利用積分關于區域的可加性可得整個區域上的積分。yox 若積分區域D既是X型區域也是Y型區域，則這表明二次積分可

10、以交換積分次序。363、二重積分計算的一般方法 要依被積函數及積分區域兩方面的情況選定積分順序。化為兩次單積分 (1) 作圖，確定D的類型。 (2) 選定積分順序。 (3) 定出積分上下限。 (4) 計算定積分。 確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點而定的。 要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。3711 xo 1 xy = xy解 畫出積分區域D如圖所示。既是X型，又是Y型的。3811 o 1 xy = xyy39解 首先畫出積分區域D的圖形。 O 1 x- 221 y(1，1)(4 ,-2)(1) 如先積y后積x，則有40O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)41O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)(2) 如先積x后積y，則有評注 本例說明，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當的二次積分的次